Аналитическая теория чисел - Analytic number theory

Дзета-функция Римана ζ(s) в комплексная плоскость. Цвет точки s кодирует значение ζ(s): цвета, близкие к черному, обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует значение аргумент.

В математика, аналитическая теория чисел это филиал теория чисел который использует методы из математический анализ решить проблемы с целые числа.^[1] Часто говорят, что он начался с Питер Густав Лежен Дирихле 1837 г. введение Дирихле L-функции дать первое доказательство Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях.^[1][2] Он хорошо известен своими результатами на простые числа (с участием Теорема о простых числах и Дзета-функция Римана ) и аддитивная теория чисел (такой как Гипотеза Гольдбаха и Проблема Варинга ).

Разделы аналитической теории чисел

Аналитическую теорию чисел можно разделить на две основные части, разделенные больше по типу задач, которые они пытаются решить, чем по фундаментальным различиям в технике.

• Теория мультипликативных чисел занимается распределением простые числа, например, оценка количества простых чисел в интервале, и включает теорему о простых числах и Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
• Аддитивная теория чисел занимается аддитивной структурой целых чисел, например Гипотеза Гольдбаха что каждое четное число больше 2 является суммой двух простых чисел. Одним из основных результатов аддитивной теории чисел является решение Проблема Варинга.

История

Прекурсоры

Большая часть аналитической теории чисел была вдохновлена теорема о простых числах. Пусть π (Икс) быть функция подсчета простых чисел что дает количество простых чисел меньше или равное Икс, для любого действительного числаИкс. Например, π (10) = 4, потому что четыре простых числа (2, 3, 5 и 7) меньше или равны 10. Теорема о простых числах утверждает, что Икс / ln (Икс) является хорошим приближением к π (Икс) в том смысле, что предел из частное двух функций π (Икс) и Икс / ln (Икс) в качестве Икс приближается к бесконечности - 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

известный как асимптотический закон распределения простых чисел.

Адриан-Мари Лежандр предположил в 1797 или 1798 году, что π (а) аппроксимируется функцией а/(А ln (а) + B), куда А и B неуказанные константы. Затем во втором издании своей книги по теории чисел (1808 г.) он высказал более точное предположение: А = 1 и B ≈ −1.08366. Карл Фридрих Гаусс рассмотрел тот же вопрос: «Im Jahr 1792 oder 1793», согласно его собственным воспоминаниям почти шестьдесят лет спустя в письме к Энке (1849), он написал в своей таблице логарифмов (ему тогда было 15 или 16) короткую заметку «Primzahlen унтер ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$". Но Гаусс никогда не публиковал эту гипотезу. В 1838 г. Питер Густав Лежен Дирихле придумал свою аппроксимирующую функцию, логарифмический интеграл ли (Икс) (в несколько иной форме серии, которую он сообщил Гауссу). Из формул Лежандра и Дирихле следует одна и та же предполагаемая асимптотическая эквивалентность π (Икс) и Икс / ln (Икс), о котором говорилось выше, хотя оказалось, что приближение Дирихле значительно лучше, если рассматривать разности, а не частные.

Дирихле

Основная статья: Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле

Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле приписывают создание аналитической теории чисел,^[3] область, в которой он нашел несколько глубоких результатов и для их доказательства представил некоторые фундаментальные инструменты, многие из которых позже были названы его именем. В 1837 г. он опубликовал Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях, с помощью математический анализ концепции для решения алгебраической проблемы и, таким образом, создания раздела аналитической теории чисел. При доказательстве теоремы он ввел Персонажи Дирихле и L-функции.^[3][4] В 1841 году он обобщил свою теорему об арифметической прогрессии с целых чисел на звенеть из Гауссовские целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$.^[5]

Чебышев

Основная статья: Пафнутый Чебышев

В двух статьях 1848 и 1850 гг. Русский математик Пафнутий Львович Чебышев попытался доказать асимптотический закон распределения простых чисел. Его работа примечательна использованием дзета-функции ζ (s) (для реальных значений аргумента "s", как и произведения Леонард Эйлер, еще в 1737 г.), предшествовавшем знаменитым мемуарам Римана 1859 г., и ему удалось доказать несколько более слабую форму асимптотического закона, а именно, что если предел π (Икс)/(Икс/ ln (Икс)) в качестве Икс уходит в бесконечность существует вообще, то обязательно равно единице.^[6] Ему удалось безоговорочно доказать, что это отношение ограничено сверху и снизу двумя явно заданными константами, близкими к 1 для всех Икс.^[7] Хотя работа Чебышева не доказала теорему о простых числах, его оценки для π (Икс) были достаточно сильны, чтобы доказать Постулат Бертрана что существует простое число между п и 2п для любого целого числа п ≥ 2.

Риман

Основная статья: Бернхард Риманн

"… Es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre Allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien."

«… Весьма вероятно, что все корни реальны. Конечно, здесь хотелось бы получить строгое доказательство; я пока, после нескольких мимолетных тщетных попыток, временно отложил поиск этого, поскольку он кажется необязательным для следующая цель моего расследования ".

Утверждение Римана гипотезы Римана из его статьи 1859 года.^[8] (Он обсуждал версию дзета-функции, измененную так, чтобы ее корни были реальными, а не на критической линии.)

Бернхард Риманн внес несколько известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел. В одна короткая статья (единственный, который он опубликовал по теории чисел), он исследовал Дзета-функция Римана и установил его важность для понимания распределения простые числа. Он высказал ряд предположений о свойствах дзета-функция, одна из которых хорошо известна Гипотеза Римана.

Адамар и де ла Валле-Пуссен

Основные статьи: Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен

Продолжая идеи Римана, два доказательства теорема о простых числах были получены независимо Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен и появился в том же году (1896 г.). Оба доказательства использовали методы комплексного анализа, установив в качестве основного шага доказательства, что дзета-функция Римана ζ (s) отличен от нуля для всех комплексных значений переменной s которые имеют форму s = 1 + Это с т > 0.^[9]

Современное время

Самым большим техническим изменением после 1950 года стала разработка ситовые методы,^[10] особенно в мультипликативных задачах. Это комбинаторный по своей природе и довольно разнообразны. В свою очередь, экстремальная ветвь комбинаторной теории находится под сильным влиянием того значения, которое в аналитической теории чисел придается количественным оценкам сверху и снизу. Еще одна недавняя разработка вероятностная теория чисел,^[11] в котором используются методы теории вероятностей для оценки распределения теоретико-числовых функций, например количества простых делителей числа.

Развитие аналитической теории чисел часто является уточнением более ранних методов, которые сокращают количество ошибок и расширяют их применимость. Например, круговой метод из Харди и Littlewood был задуман как применимый к степенной ряд недалеко от единичный круг в комплексная плоскость; теперь он рассматривается в терминах конечных экспоненциальных сумм (то есть на единичной окружности, но с усеченным степенным рядом). Потребности диофантово приближение для вспомогательные функции это не производящие функции - их коэффициенты построены с использованием принцип голубятни - и вовлекать несколько сложных переменных. Поля диофантова приближения и теория трансцендентности расширились до такой степени, что методы были применены к Гипотеза Морделла.

Проблемы и результаты

Теоремы и результаты в рамках аналитической теории чисел обычно не являются точными структурными результатами о целых числах, для которых алгебраические и геометрические инструменты являются более подходящими. Вместо этого они дают приблизительные границы и оценки для различных теоретико-числовых функций, как показывают следующие примеры.

Теория мультипликативных чисел

Основная статья: Теория мультипликативных чисел

Евклид показал, что простых чисел бесконечно много. Важный вопрос - определить асимптотическое распределение простых чисел; то есть приблизительное описание того, сколько простых чисел меньше заданного числа. Гаусс, среди прочего, после вычисления большого списка простых чисел, предположил, что число простых чисел меньше или равно большому числу N близко к значению интеграл

${\displaystyle \,\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log \,t}}\,dt.}$

В 1859 г. Бернхард Риманн использовали комплексный анализ и специальный мероморфный функция, теперь известная как Дзета-функция Римана для получения аналитического выражения для количества простых чисел, меньших или равных действительному числуИкс. Примечательно, что главным членом в формуле Римана был именно вышеуказанный интеграл, что придавало существенный вес гипотезе Гаусса. Риман обнаружил, что ошибки в этом выражении и, следовательно, способ распределения простых чисел тесно связаны с комплексными нулями дзета-функции. Используя идеи Римана и получив дополнительную информацию о нулях дзета-функции, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен удалось завершить доказательство гипотезы Гаусса. В частности, они доказали, что если

${\displaystyle \pi (x)=({\text{number of primes }}\leq x),}$

тогда

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$

Этот замечательный результат известен как теорема о простых числах. Это центральный результат аналитической теории чисел. Грубо говоря, в нем говорится, что при большом количестве N, количество простых чисел меньше или равно N около N/бревно(N).

В более общем плане тот же вопрос можно задать о количестве простых чисел в любом арифметическая прогрессия a + nq для любого целого числа п. В одном из первых приложений аналитических методов к теории чисел Дирихле доказал, что любая арифметическая прогрессия с а и q coprime содержит бесконечно много простых чисел. Теорема о простых числах может быть обобщена на эту проблему; позволяя

${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{number of primes }}\leq x{\text{ such that }}p{\text{ is in the arithmetic progression }}a+nq,n\in \mathbf {Z} ),}$

тогда если а и q взаимно просты,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.}$

В теории чисел также есть много глубоких и разнообразных гипотез, доказательства которых кажутся слишком сложными для современных методов, таких как гипотеза о простых близнецах который спрашивает, бесконечно ли много простых чисел п такой, что п + 2 - простое число. Исходя из предположения Гипотеза Эллиотта – Хальберштама недавно было доказано, что простых чисел бесконечно много п такой, что п + k прост для некоторых положительных даже k не более 12. Кроме того, было безоговорочно доказано (т.е. независимо от недоказанных гипотез), что существует бесконечно много простых чисел п такой, что п + k прост для некоторых положительных даже k максимум 246.

Аддитивная теория чисел

Основная статья: Аддитивная теория чисел

Одна из важнейших проблем аддитивной теории чисел - это Проблема Варинга, который спрашивает, возможно ли это для любого k ≥ 2, чтобы любое положительное целое число можно было записать как сумму ограниченного числа kth полномочия,

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.\,}$

Футляр для квадратов, k = 2, было ответил Лагранжем в 1770 году, который доказал, что каждое положительное целое число является суммой не более четырех квадратов. Общий случай был доказан Гильберта в 1909 г., используя алгебраические методы, не дающие явных оценок. Важным прорывом стало применение аналитических инструментов к проблеме. Харди и Littlewood. Эти методы известны как метод круга и дают явные верхние границы для функции грамм(k), наименьшее количество kнеобходимые силы, такие как Виноградов связан

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).\,}$

Диофантовы проблемы

Основная статья: Диофантова проблема

Диофантовы проблемы связаны с целочисленными решениями полиномиальных уравнений: можно изучать распределение решений, то есть считать решения в соответствии с некоторой мерой «размера» или высота.

Важным примером является Проблема круга Гаусса, который запрашивает целые числа (Икс у) которые удовлетворяют

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

С геометрической точки зрения, если круг с центром в начале координат на плоскости с радиусом р, задача спрашивает, сколько точек целочисленной решетки лежит на круге или внутри него. Нетрудно доказать, что ответ ${\displaystyle \,\pi r^{2}+E(r)\,}$, куда ${\displaystyle \,E(r)/r^{2}\,\to 0\,}$ в качестве ${\displaystyle \,r\to \infty \,}$. Опять же, трудной частью и большим достижением аналитической теории чисел является получение конкретных верхних границ погрешности.E(р).

Гаусс показал, что ${\displaystyle E(r)=O(r)}$. В целом О(р) член ошибки был бы возможен с заменой единичного круга (или, точнее, замкнутого единичного круга) расширениями любой ограниченной плоской области с кусочно гладкой границей. Более того, при замене единичного круга единичным квадратом погрешность для общей задачи может быть такой же большой, как линейная функция отр. Таким образом, получив граница ошибки формы ${\displaystyle O(r^{\delta })}$для некоторых ${\displaystyle \delta <1}$ в случае с кругом - значительное улучшение. Первым, кто этого добился, былСерпинский в 1906 г., который показал ${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$. В 1915 году Харди и Ландо каждый показал, что делает нет имеют ${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$. С тех пор целью было показать, что для каждого фиксированного ${\displaystyle \epsilon >0}$ существует реальное число ${\displaystyle C(\epsilon )}$ такой, что ${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$.

В 2000 г. Хаксли показал^[12] который ${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$, что является лучшим опубликованным результатом.

Методы аналитической теории чисел

Серия Дирихле

Основная статья: Серия Дирихле

Один из самых полезных инструментов в теории мультипликативных чисел: Серия Дирихле, которые являются функциями комплексного переменного, определенного бесконечным рядом вида

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

В зависимости от выбора коэффициентов ${\displaystyle a_{n}}$, этот ряд может сходиться везде, нигде или в какой-то полуплоскости. Во многих случаях, даже если ряд не сходится всюду, определяемая им голоморфная функция может быть аналитически продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. Полезность подобных функций в мультипликативных задачах можно увидеть в формальном тождестве

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

следовательно, коэффициенты произведения двух рядов Дирихле равны мультипликативные свертки исходных коэффициентов. Кроме того, такие методы, как частичное суммирование и Тауберовы теоремы может использоваться для получения информации о коэффициентах из аналитической информации о ряду Дирихле. Таким образом, общий метод оценки мультипликативной функции состоит в том, чтобы выразить ее как ряд Дирихле (или произведение более простого ряда Дирихле с использованием тождеств свертки), изучить этот ряд как сложную функцию и затем преобразовать эту аналитическую информацию обратно в информацию об исходной функции. .

Дзета-функция Римана

Основная статья: Дзета-функция Римана

Эйлер показал, что основная теорема арифметики подразумевает (по крайней мере формально) Произведение Эйлера

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1\,\,\ (p{\text{ is prime number)}}\,}$

Доказательство Эйлера бесконечности простые числа использует расхождение термина в левой части для s = 1 (так называемый гармонический ряд ), чисто аналитический результат. Эйлер также был первым, кто использовал аналитические аргументы с целью изучения свойств целых чисел, в частности, путем построения генерирующий силовой ряд. Это было началом аналитической теории чисел.^[13]

Позже Риман рассмотрел эту функцию для комплексных значений s и показал, что эту функцию можно продолжить до мероморфная функция на всей плоскости с помощью простого столб в s = 1. Эта функция теперь известна как дзета-функция Римана и обозначается ζ(s). По этой функции существует множество литературы, и эта функция является частным случаем более общего L-функции Дирихле.

Теоретиков-аналитиков часто интересует погрешность приближений, таких как теорема о простых числах. В этом случае ошибка меньше, чем Икс/бревноИкс. Формула Римана для π (Икс) показывает, что член ошибки в этом приближении может быть выражен через нули дзета-функции. В его статья 1859 г., Риман предположил, что все "нетривиальные" нули ζ лежат на прямой ${\displaystyle \,\Re (s)=1/2\,}$ но никогда не приводил доказательств этого утверждения. Эта известная и давняя гипотеза известна как Гипотеза Римана и имеет много глубоких последствий в теории чисел; Фактически, многие важные теоремы были доказаны в предположении, что гипотеза верна. Например, в предположении гипотезы Римана, член ошибки в теореме о простых числах будет ${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$.

В начале 20 века Г. Х. Харди и Littlewood доказал многие результаты о дзета-функции в попытке доказать гипотезу Римана. Фактически, в 1914 году Харди доказал, что существует бесконечно много нулей дзета-функции на критической прямой.

${\displaystyle \,\Re (z)=1/2.\,}$

Это привело к нескольким теоремам, описывающим плотность нулей на критической линии.

Смотрите также

• Матричный метод Майера
• Автоморфная L-функция
• Автоморфная форма

Примечания

1. Апостол 1976 г., п. 7. ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFApostol1976 (помощь)
2. Давенпорт 2000, п. 1.
3. Гауэрс, Тимоти; Джун Барроу-Грин; Имре Лидер (2008). Принстонский компаньон математики. Издательство Принстонского университета. С. 764–765. ISBN  978-0-691-11880-2.
4. Канемицу, Сигеру; Чаохуа Цзя (2002). Теоретико-числовые методы: тенденции будущего. Springer. С. 271–274. ISBN  978-1-4020-1080-4.
5. Эльстродт, Юрген (2007). «Жизнь и творчество Густава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF ). Математика из глины. Получено 2007-12-25.
6. Н. Коста Перейра (август – сентябрь 1985 г.). «Краткое доказательство теоремы Чебышева». Американский математический ежемесячный журнал. 92 (7): 494–495. Дои:10.2307/2322510. JSTOR  2322510.
7. М. Наир (февраль 1982 г.). «О неравенствах типа Чебышева для простых чисел». Американский математический ежемесячный журнал. 89 (2): 126–129. Дои:10.2307/2320934. JSTOR  2320934.
8. Риман, Бернхард (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. В Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), перепечатано Dover, New York (1953). Оригинальная рукопись В архиве 23 мая 2013 г. Wayback Machine (с английским переводом). Печатается в (Borwein et al. 2008 г. ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008 (помощь) и (Эдвардс 1874 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEdwards1874 (помощь)
9. Ингхэм, A.E. (1990). Распределение простых чисел. Издательство Кембриджского университета. С. 2–5. ISBN  0-521-39789-8.
10. Тененбаум 1995, п. 56.
11. Тененбаум 1995, п. 267.
12. М.Н. Хаксли, Целочисленные точки, экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана, Теория чисел для тысячелетия, II (Урбана, Иллинойс, 2000), стр. 275–290, А. К. Петерс, Натик, Массачусетс, 2002, МИСТЕР1956254.
13. Иванец и Ковальский: Аналитическая теория чисел, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004 г.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Давенпорт, Гарольд (2000), Теория мультипликативных чисел, Тексты для выпускников по математике, 74 (3-е исправленное издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95097-6, МИСТЕР  1790423
• Тененбаум, Джеральд (1995), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 46, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-41261-7

дальнейшее чтение

• Аюб, Введение в аналитическую теорию чисел
• Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воан, Теория мультипликативных чисел I : Классическая теория
• Х. Иванец и Э. Ковальский, Аналитическая теория чисел.
• Д. Дж. Ньюман, Аналитическая теория чисел, Springer, 1998 г.

По специализированным аспектам особенно известны следующие книги:

• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Oxford University Press
• Х. Хальберштам и Х. Э. Рихерт, Ситовые методы
• Р. К. Воган, В Метод Харди – Литтлвуда, 2-й. edn.

Некоторые темы еще не дошли до книжной формы. Некоторые примеры: (i) Гипотеза парной корреляции Монтгомери и работа, которая началась с этого, (ii) новые результаты Голдстона, Пинца и Илидрима по небольшие промежутки между простыми числами, и (iii) Теорема Грина – Тао показывающий, что существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел.