Вспомогательная функция - Auxiliary function

В математика, вспомогательные функции являются важной конструкцией в трансцендентная теория чисел. Они есть функции которые встречаются в большинстве доказательств в этой области математики и имеют определенные желательные свойства, такие как принятие нулевого значения для многих аргументов или наличие нуля высокого порядок в какой-то момент.^[1]

Определение

Вспомогательные функции не являются строго определенным видом функций, скорее, это функции, которые либо явно построены, либо, по крайней мере, доказано, что существуют и которые противоречат некоторой предполагаемой гипотезе или иным образом доказывают рассматриваемый результат. Создание функции в ходе доказательства для доказательства результата не является эксклюзивной техникой теории трансцендентности, но термин «вспомогательная функция» обычно относится к функциям, созданным в этой области.

Явные функции

Критерий трансцендентности Лиувилля

Из-за упомянутого выше соглашения об именах, вспомогательные функции могут быть датированы их источником, просто взглянув на самые ранние результаты в теории трансцендентности. Одним из этих первых результатов был Лиувилля доказательство того, что трансцендентные числа существуют, когда он показал, что так называемые Числа Лиувилля были трансцендентными.^[2] Он сделал это, открыв критерий трансцендентности, которому эти числа удовлетворяли. Чтобы вывести этот критерий, он начал с общего алгебраическое число α и нашел некоторое свойство, которому обязательно должно удовлетворять это число. Вспомогательная функция, которую он использовал при доказательстве этого критерия, была просто минимальный многочлен α, который является несводимый многочлен ж с целыми коэффициентами такими, что ж(α) = 0. Эта функция может использоваться для оценки того, насколько хорошо алгебраическое число α можно оценить с помощью рациональное число п/q. В частности, если α имеет степень d по крайней мере два, то он показал, что

${displaystyle left|fleft({frac {p}{q}}ight)ight|geq {frac {1}{q^{d}}},}$

а также, используя теорема о среднем значении, что существует некоторая константа, зависящая от α, скажем c(α) такая, что

${displaystyle left|fleft({frac {p}{q}}ight)ight|leq c(alpha )left|alpha -{frac {p}{q}}ight|.}$

Объединение этих результатов дает свойство, которому должно удовлетворять алгебраическое число; поэтому любое число, не удовлетворяющее этому критерию, должно быть трансцендентным.

Вспомогательная функция в работе Лиувилля очень проста, это просто многочлен, который обращается в нуль при заданном алгебраическом числе. Этому типу свойства обычно удовлетворяют вспомогательные функции. Они либо исчезают, либо становятся очень маленькими в определенных точках, что обычно сочетается с предположением, что они не исчезают или не могут быть слишком маленькими для получения результата.

Фурье-доказательство иррациональности е

Еще одно простое раннее явление - в Фурье доказательство иррациональности е,^[3] хотя используемые обозначения обычно маскируют этот факт. В доказательстве Фурье использовался степенной ряд экспоненциальная функция:

${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}.}$

Обрезая этот степенной ряд после, скажем, N + 1 слагаемых получаем многочлен с рациональными коэффициентами степени N что в некотором смысле «близко» к функции е^Икс. В частности, если мы посмотрим на вспомогательную функцию, определяемую остатком:

${displaystyle R(x)=e^{x}-sum _{n=0}^{N}{frac {x^{n}}{n!}}}$

тогда эта функция - экспоненциальный многочлен - должен принимать небольшие значения для Икс близко к нулю. Если е является рациональным числом, тогда, полагая Икс = 1 в приведенной выше формуле мы видим, что р(1) также является рациональным числом. Однако Фурье доказал, что р(1) не может быть рациональным, если исключить все возможные знаменатели. Таким образом е не может быть рациональным.

Доказательство Эрмита иррациональности е^р

Эрмит расширил работу Фурье, аппроксимируя функцию е^Икс не с полиномом, а с рациональная функция, то есть частное двух многочленов. В частности, он выбрал многочлены А(Икс) и B(Икс) такая, что вспомогательная функция р определяется

${displaystyle R(x)=B(x)e^{x}-A(x)}$

можно было сделать настолько маленьким, насколько он хотел Икс = 0. Но если е^р были тогда рациональны р(р) должен был быть рациональным с определенным знаменателем, но Эрмит мог сделать р(р) слишком мал, чтобы иметь такой знаменатель, отсюда противоречие.

Доказательство Эрмита трансцендентности е

Чтобы доказать, что е был на самом деле трансцендентным, Эрмит пошел еще дальше, приблизив не только функцию е^Икс, но и функции е^kx для целых чисел k = 1,...,м, где он предположил е был алгебраическим со степенью м. Приближая е^kx рациональными функциями с целыми коэффициентами и с тем же знаменателем, скажем А_k(Икс) / B(Икс), он мог определить вспомогательные функции р_k(Икс) к

${displaystyle R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x).}$

В ответ на свое противоречие Эрмит предположил, что е удовлетворяет полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами а₀ + а₁е + ... + а_ме^м = 0. Умножая это выражение на B(1) он заметил, что это подразумевает

${displaystyle R=a_{0}+a_{1}R_{1}(1)+cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+cdots +a_{m}A_{m}(1).}$

Правая часть представляет собой целое число, поэтому, оценивая вспомогательные функции и доказывая, что 0 <|р| <1 он получил необходимое противоречие.

Вспомогательные функции по принципу ячеек

Основная статья: Лемма Зигеля

Вспомогательные функции, описанные выше, могут быть вычислены явно и с ними можно работать. Прорыв Аксель Туэ и Карл Людвиг Сигель В двадцатом веке пришло осознание того, что эти функции не обязательно должны быть известны явно - может быть достаточно знать, что они существуют и обладают определенными свойствами. С использованием Принцип голубятни Туэ, а затем и Сигел, сумели доказать существование вспомогательных функций, которые, например, принимали нулевое значение во многих разных точках или принимали нули высокого порядка в меньшем наборе точек. Более того, они доказали, что такие функции можно построить, не делая их слишком большими.^[4] Тогда их вспомогательные функции не были явными функциями, но, зная, что существует определенная функция с определенными свойствами, они использовали ее свойства, чтобы упростить доказательства трансцендентности девятнадцатого века и дать несколько новых результатов.^[5]

Этот метод подхватили и использовали несколько других математиков, в том числе Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер кто использовал это независимо, чтобы доказать Теорема Гельфонда – Шнайдера.^[6] Алан Бейкер также использовал этот метод в 1960-х в своей работе над линейными формами логарифмов и, в конечном итоге, Теорема Бейкера.^[7] Другой пример использования этого метода из 1960-х годов представлен ниже.

Вспомогательная теорема о полиномах

Пусть β равно кубическому корню из б / а в уравнении топор³ + bx³ = c и предполагать м целое число, удовлетворяющее м + 1 > 2п/3 ≥ м ≥ 3 где п положительное целое число.

Тогда существует

${displaystyle F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)}$

такой, что

${displaystyle sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X),}$

${displaystyle sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X).}$

Вспомогательная теорема о полиномах утверждает

${displaystyle max _{0leq ileq m+n}{(|u_{i}|,|v_{i}|)}leq 2b^{9(m+n)}.}$

Теорема Ланга

Основная статья: Теорема Шнайдера – Ланга

В 1960-е годы Серж Ланг доказал результат, используя этот неявный вид вспомогательных функций. Из теоремы следует как Эрмит – Линдеманн и Теоремы Гельфонда – Шнайдера.^[8] Теорема имеет дело с числовое поле K и мероморфный функции ж₁,...,ж_N из порядок в большинстве ρ, по крайней мере, две из которых являются алгебраически независимыми и такие, что если мы дифференцируем любую из этих функций, то результат будет полиномом от всех функций. При этих предположениях теорема утверждает, что если есть м отчетливый сложные числа ω₁, ..., ω_м такой, что ж_я (ω_j ) в K для всех комбинаций я и j, тогда м ограничен

${displaystyle mleq 20ho [K:mathbb {Q} ].}$

Для доказательства результата Лэнг взял две алгебраически независимые функции из ж₁,...,ж_N, сказать ж и грамм, а затем создал вспомогательную функцию, которая была просто полиномом F в ж и грамм. Эту вспомогательную функцию нельзя было указать явно, поскольку ж и грамм явно не известны. Но используя Лемма Зигеля Ланг показал, как сделать F таким образом, что он исчез в высшей степени на м комплексные числа₁, ..., ω_м. Из-за этого высокого порядка обращения в нуль можно показать, что производная высокого порядка от F принимает малую величину одного из значений ω_яs, «размер» здесь относится к алгебраическому свойству числа. С использованием принцип максимального модуля Лэнг также нашел отдельный способ оценить абсолютные значения производных от F, и используя стандартные результаты, сравнивая размер числа и его абсолютное значение, он показал, что эти оценки противоречили, если только заявленное ограничение на м держит.

Детерминанты интерполяции

После бесчисленных успехов, достигнутых при использовании существующих, но не явных вспомогательных функций, в 1990-х Мишель Лоран представил идею интерполяционных детерминантов.^[9] Это альтернанты - определители матриц вида

${displaystyle {mathcal {M}}=left(varphi _{i}(zeta _{j})ight)_{1leq i,jleq N}}$

где φ_я - набор функций, интерполированных в множестве точек ζ_j. Поскольку определитель - это просто многочлен от элементов матрицы, эти вспомогательные функции поддаются анализу. Проблемой этого метода была необходимость выбора основы, прежде чем с матрицей можно было работать. Разработка Жана-Бенуа Боста устранила эту проблему с помощью Теория аракелова,^[10] и исследования в этой области продолжаются. Пример ниже дает представление об изюминке этого подхода.

Доказательство теоремы Эрмита – Линдемана.

Одно из самых простых применений этого метода - доказательство реальной версии Теорема Эрмита – Линдемана.. То есть, если α - ненулевое вещественное алгебраическое число, то е^α трансцендентно. Сначала мы позволим k быть некоторым натуральным числом и п быть большим кратным k. Рассматриваемый определитель интерполяции - это определитель Δ из п⁴×п⁴ матрица

${displaystyle left({exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1}}^{(i_{1}-1)}{Big |}_{x=(i_{2}-1)alpha }ight).}$

Строки этой матрицы пронумерованы 1 ≤я₁ ≤ п⁴/k и 1 ≤я₂ ≤ k, а столбцы имеют индекс 1 ≤j₁ ≤ п³ и 1 ≤j₂ ≤ п. Таким образом, функции в нашей матрице являются одночленами от Икс и е^Икс и их производные, и мы интерполируем в k точки 0, α, 2α, ..., (k - 1) α. При условии, что е^α является алгебраическим, мы можем сформировать числовое поле Q(α,е^α) степени м над Q, а затем умножить Δ подходящим знаменатель а также все его изображения при вложениях поля Q(α,е^α) в C. По алгебраическим причинам этот продукт обязательно является целым числом, и с использованием аргументов, относящихся к Вронскианцы можно показать, что он не равен нулю, поэтому его абсолютное значение является целым числом Ω ≥ 1.

Используя версию теорема о среднем значении для матриц можно получить аналитическую оценку и на Ω, и фактически используя большой-O обозначения у нас есть

${displaystyle Omega =Oleft(exp left(left({frac {m+1}{k}}-{frac {3}{2}}ight)n^{8}log night)ight).}$

Номер м фиксируется степенью поля Q(α,е^α), но k - это количество точек, в которых мы интерполируем, поэтому мы можем увеличивать его по желанию. И однажды k > 2(м + 1) / 3, то Ω → 0, что в итоге противоречит установленному условию Ω ≥ 1. Таким образом, е^α в конце концов, не может быть алгебраическим.^[11]

Примечания

1. Вальдшмидт (2008).
2. Лиувилля (1844 г.).
3. Эрмит (1873 г.).
4. Туэ (1977) и Сигель (1929).
5. Сигель (1932).
6. Гельфонд (1934) и Шнайдер (1934).
7. Бейкер и Вюстхольц (2007).
8. Ланг (1966).
9. Лоран (1991).
10. Бост (1996).
11. По материалам Pila (1993).

Рекомендации

• Вальдшмидт, Мишель. «Введение в методы иррациональности и трансценденции» (PDF).
• Лиувилль, Жозеф (1844 г.). "Sur des classes très étendues de Quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même reductible à des irrationnelles algébriques". J. Math. Pures Appl. 18: 883–885 и 910–911.
• Эрмит, Чарльз (1873 г.). "Sur la fonction exponentielle". C. R. Acad. Sci. Париж. 77.
• Туэ, Аксель (1977). Избранные статьи по математике. Осло: Universitetsforlaget.
• Сигель, Карл Людвиг (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Abhandlungen Akad. Берлин. 1: 70.
• Сигель, Карл Людвиг (1932). "Uber die Perioden elliptischer Funktionen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 167: 62–69. Дои:10.1515 / crll.1932.167.62.
• Гельфонд, А.О. (1934). "Sur le septième Problème de D. Hilbert". Изв. Акад. АН СССР. 7: 623–630.
• Шнайдер, Теодор (1934). "Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen". J. Reine Angew. Математика. 172: 65–69.
• Бейкер, Алан; Вюстхольц, Г. (2007), "Логарифмические формы и диофантова геометрия", Новые математические монографии, Издательство Кембриджского университета, 9, п. 198
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа. Издательство Эддисон – Уэсли.
• Лоран, Мишель (1991). "Sur quelques résultats récents de transcendance". Astérisque. 198–200: 209–230.
• Бост, Жан-Бенуа (1996). "Периоды и изогении абельенских сортов по корпусу номеров (d'après D. Masser et G. Wüstholz)". Astérisque. 237: 795.
• Пила, Джонатан (1993). «Геометрическое и арифметическое постулирование экспоненциальной функции». J. Austral. Математика. Soc. А. 54: 111–127. Дои:10,1017 / с1446788700037022.