Теорема о среднем значении - Mean value theorem

По поводу теоремы из теории гармонических функций см. Гармоническая функция § Свойство среднего значения.

Для любой функции, непрерывной на ${displaystyle [a,b]}$ и дифференцируемый на ${displaystyle (a,b)}$ есть некоторые ${displaystyle c}$ в интервале ${displaystyle (a,b)}$ такая, что секущая, соединяющая концы интервала ${displaystyle [a,b]}$ параллельна касательной в точке ${displaystyle c}$ .

В математика, то теорема о среднем значении утверждает, грубо, что для данной плоской дуга между двумя конечными точками есть хотя бы одна точка, в которой касательная к дуге параллельно секущий через его конечные точки. Это один из самых важных результатов в реальный анализ. Эта теорема используется для доказательства утверждений о функции на интервале, исходя из локальных гипотез о производных в точках интервала.

Точнее, теорема утверждает, что если ${displaystyle f}$ это непрерывная функция на закрытый интервал ${displaystyle [a,b]}$ и дифференцируемый на открытый интервал ${displaystyle (a,b)}$, то существует точка ${displaystyle c}$ в ${displaystyle (a,b)}$ такая, что касательная в c параллельна секущей линии, проходящей через конечные точки ${displaystyle (a,f(a))}$ и ${displaystyle (b,f(b))}$, то есть,

${displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

История

Частный случай этого теорема был впервые описан Парамешвара (1370–1460), из Керальская школа астрономии и математики в Индия, в своих комментариях к Говиндасвами и Бхаскара II.^[1] Ограниченная форма теоремы была доказана Мишель Ролль в 1691 г .; в результате получилось то, что сейчас известно как Теорема Ролля, и был доказан только для многочленов, без использования техники исчисления. Теорема о среднем в ее современном виде была сформулирована и доказана Огюстен Луи Коши в 1823 г.^[2]

Официальное заявление

Функция ${displaystyle f}$ достигает наклона секущей между ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ как производная в точке ${displaystyle xi in (a,b)}$.

Также возможно наличие нескольких касательных, параллельных секущей.

Позволять ${displaystyle f:[a,b] o mathbb {R} }$ быть непрерывная функция на закрытом интервал ${displaystyle [a,b]}$ , и дифференцируемый на открытом интервале ${displaystyle (a,b)}$, куда ${displaystyle a<b}$. Тогда существует некая ${displaystyle c}$ в ${displaystyle (a,b)}$ такой, что

${displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Теорема о среднем является обобщением Теорема Ролля, что предполагает ${displaystyle f(a)=f(b)}$, так что правая часть выше равна нулю.

Теорема о среднем значении все еще верна в несколько более общем контексте. Достаточно предположить, что ${displaystyle f:[a,b] o mathbb {R} }$ является непрерывный на ${displaystyle [a,b]}$ , и это для каждого ${displaystyle x}$ в ${displaystyle (a,b)}$ то предел

${displaystyle lim _{h o 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

существует как конечное число или равно ${displaystyle infty }$ или же ${displaystyle -infty }$ . Если конечно, этот предел равен ${displaystyle f'(x)}$ . Пример, в котором применяется эта версия теоремы, дается вещественнозначным кубический корень отображение функций ${displaystyle x o x^{frac {1}{3}}}$ , чей производная стремится к бесконечности в начале координат.

Обратите внимание, что утвержденная теорема неверна, если дифференцируемая функция является комплексной, а не действительной. Например, определите ${displaystyle f(x)=e^{xi}}$ для всех реальных ${displaystyle x}$ . потом

${displaystyle f(2pi )-f(0)=0=0(2pi -0)}$

пока ${displaystyle f'(x)eq 0}$ для любого реального ${displaystyle x}$ .

Эти формальные утверждения также известны как теорема Лагранжа о среднем значении.^[3]

Доказательство

Выражение ${displaystyle {frac {f(b)-f(a)}{(b-a)}}}$ дает склон линии, соединяющей точки ${displaystyle (a,f(a))}$ и ${displaystyle (b,f(b))}$ , который является аккорд графика ${displaystyle f}$ , пока ${displaystyle f'(x)}$ дает наклон касательной к кривой в точке ${displaystyle (x,f(x))}$ . Таким образом, теорема о среднем значении утверждает, что для любой хорды гладкой кривой мы можем найти точку, лежащую между концами хорды, такую, что касательная в этой точке параллельна хорде. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею.

Определять ${displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ , куда ${displaystyle r}$ является константой. С ${displaystyle f}$ продолжается на ${displaystyle [a,b]}$ и дифференцируемый на ${displaystyle (a,b)}$ , то же самое верно для ${displaystyle g}$ . Теперь мы хотим выбрать ${displaystyle r}$ так что ${displaystyle g}$ удовлетворяет условиям Теорема Ролля. А именно

${displaystyle {egin{aligned}g(a)=g(b)&iff f(a)-ra=f(b)-rb&iff r(b-a)=f(b)-f(a)&iff r={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}cdot end{aligned}}}$

К Теорема Ролля, поскольку ${displaystyle g}$ дифференцируема и ${displaystyle g(a)=g(b)}$ , существует некоторое ${displaystyle c}$ в ${displaystyle (a,b)}$ для которого ${displaystyle g'(c)=0}$ , а это следует из равенства ${displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ который,

${displaystyle {egin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r&g'(c)=0&g'(c)=f'(c)-r=0&Rightarrow f'(c)=r={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}end{aligned}}}$

Последствия

Теорема 1. Предположим, что ж - непрерывная функция с действительными значениями, определенная на произвольном интервале я реальной линии. Если производная от ж на каждом внутренняя точка интервала я существует и равен нулю, то ж является постоянный в интерьере.

Доказательство: Предположим производную от ж на каждом внутренняя точка интервала я существует и равен нулю. Позволять (а, б) - произвольный открытый интервал в я. По теореме о среднем значении существует точка c в (а,б) такие, что

${displaystyle 0=f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Отсюда следует, что ж(а) = ж(б). Таким образом, ж постоянно на внутренней части я и поэтому постоянно на я по преемственности. (См. Ниже многовариантную версию этого результата.)

Примечания:

• Только преемственность ж, не дифференцируемость, нужна на концах интервала я. Гипотезы непрерывности не требуется, если я является открытый интервал, так как наличие производной в точке влечет непрерывность в этой точке. (См. Раздел преемственность и дифференцируемость статьи производная.)
• Дифференцируемость ж можно расслабиться односторонняя дифференцируемость, доказательство приведено в статье о полудифференцируемость.

Теорема 2: если f '(Икс) = грамм'(Икс) для всех Икс в интервале (а, б) области определения этих функций, то f - g постоянно или е = г + с куда c постоянная на (а, б).

Доказательство: Позволять F = f - g, тогда F '= f' - g '= 0 на интервале (а, б), поэтому приведенная выше теорема 1 говорит, что F = f - g это постоянная c или же е = г + с.

Теорема 3: если F является первообразной от ж на интервале я, то самая общая первообразная ж на я является F (x) + c куда c является константой.

Доказательство: Он непосредственно выводится из приведенной выше теоремы 2.

Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши о среднем значении, также известный как расширенная теорема о среднем значении,^[4] является обобщением теоремы о среднем значении. В нем говорится: если функции ж и грамм оба непрерывны на отрезке [а, б] и дифференцируемо на открытом интервале (а, б), то существует c ∈ (а, б), такое что^[3]

Геометрический смысл теоремы Коши

${displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Конечно, если грамм(а) ≠ грамм(б) и если грамм'(c) ≠ 0, это эквивалентно:

${displaystyle {frac {f'(c)}{g'(c)}}={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Геометрически это означает, что есть касательная к графику изгиб^[5]

${displaystyle {egin{cases}[a,b] o mathbf {R} ^{2} mapsto (f(t),g(t))end{cases}}}$

который параллельно к линии, определяемой точками (ж(а), грамм(а)) и (ж(б), грамм(б)). Однако теорема Коши не утверждает существования такой касательной во всех случаях, когда (ж(а), грамм(а)) и (ж(б), грамм(б)) являются разными точками, так как это может быть выполнено только для некоторого значения c с f ′(c) = грамм'(c) = 0, другими словами, значение, для которого указанная кривая стационарный; в таких точках вряд ли вообще будет определена касательная к кривой. Примером такой ситуации является кривая, представленная

${displaystyle tmapsto (t^{3},1-t^{2}),}$

который на интервале [−1, 1] идет из точки (−1, 0) в (1, 0), но никогда не имеет горизонтальной касательной; однако у него есть стационарная точка (на самом деле куспид ) в т = 0.

Теорема Коши о среднем значении может быть использована для доказательства Правило л'Опиталя. Теорема о среднем значении является частным случаем теоремы Коши о среднем значении, когда грамм(т) = т.

Доказательство теоремы Коши о среднем значении

Доказательство теоремы Коши о среднем значении основано на той же идее, что и доказательство теоремы о среднем значении.

• Предполагать грамм(а) ≠ грамм(б). Определять час(Икс) = ж(Икс) − rg(Икс), куда р фиксируется таким образом, что час(а) = час(б), а именно

${displaystyle {egin{aligned}h(a)=h(b)&iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)&iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)&iff r={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.end{aligned}}}$

С ж и грамм продолжаются на [а, б] и дифференцируемо на (а, б), то же верно и для час. В целом, час удовлетворяет условиям Теорема Ролля: следовательно, есть некоторые c в (а, б) для которого час'(c) = 0. Теперь, используя определение час у нас есть:

${displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-left({frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}ight)g'(c).}$

Следовательно:

${displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),}$

откуда и следует результат.^[3]

• Если грамм(а) = грамм(б), то применяя Теорема Ролля к грамм, следует, что существует c в (а, б) для которого грамм'(c) = 0. Используя этот выбор c, Теорема Коши о среднем значении (тривиально) верна.

Обобщение для детерминант

Предположить, что ${displaystyle f,g,}$ и ${displaystyle h}$ дифференцируемые функции на ${displaystyle (a,b)}$ которые продолжаются ${displaystyle [a,b]}$. Определять

${displaystyle D(x)=left|{egin{array}{ccc}f(x)&g(x)&h(x)f(a)&g(a)&h(a)f(b)&g(b)&h(b)end{array}}ight|}$

Существует ${displaystyle cin (a,b)}$ такой, что ${displaystyle D'(c)=0}$.

Заметь

${displaystyle D'(x)=left|{egin{array}{ccc}f'(x)&g'(x)&h'(x)f(a)&g(a)&h(a)f(b)&g(b)&h(b)end{array}}ight|}$

и если мы разместим ${displaystyle h(x)=1}$, получаем теорему Коши о среднем значении. Если мы разместим ${displaystyle h(x)=1}$ и ${displaystyle g(x)=x}$ мы получили Теорема Лагранжа о среднем значении.

Доказательство обобщения довольно просто: каждое из ${displaystyle D(a)}$ и ${displaystyle D(b)}$ - определители с двумя одинаковыми строками, поэтому ${displaystyle D(a)=D(b)=0}$. Из теоремы Ролля следует, что существует ${displaystyle cin (a,b)}$ такой, что ${displaystyle D'(c)=0}$.

Теорема о среднем значении нескольких переменных

Теорема о среднем значении обобщается на реальные функции нескольких переменных. Уловка состоит в том, чтобы использовать параметризацию для создания реальной функции одной переменной, а затем применить теорему об одной переменной.

Позволять ${displaystyle G}$ - открытое выпуклое подмножество ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ , и разреши ${displaystyle f:G o mathbb {R} }$ - дифференцируемая функция. Исправить точки ${displaystyle x,yin G}$ , и определим ${displaystyle g(t)=f{Big (}(1-t)x+ty{Big )}}$ . С ${displaystyle g}$ является дифференцируемой функцией от одной переменной, теорема о среднем дает:

${displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

для некоторых ${displaystyle c}$ от 0 до 1. Но поскольку ${displaystyle g(1)=f(y)}$ и ${displaystyle g(0)=f(x)}$ , вычисление ${displaystyle g'(c)}$ явно мы имеем:

${displaystyle f(y)-f(x)=abla f{Big (}(1-c)x+cy{Big )}cdot (y-x)}$

куда ${displaystyle abla }$ обозначает градиент и ${displaystyle cdot }$ а скалярное произведение. Заметим, что это точный аналог теоремы с одной переменной (в случае ${displaystyle n=1}$ это является теорема с одной переменной). Посредством Неравенство Коши – Шварца, уравнение дает оценку:

${displaystyle {Bigg |}f(y)-f(x){Bigg |}leq {Bigg |}abla f{Big (}(1-c)x+cy{Big )}{Bigg |} {Big |}y-x{Big |}.}$

В частности, когда частные производные от ${displaystyle f}$ ограничены, ${displaystyle f}$ является Липшицева непрерывная (и поэтому равномерно непрерывный ).

В качестве приложения к вышесказанному, мы доказываем, что ${displaystyle f}$ постоянно, если ${displaystyle G}$ открыта и связана, и каждая частная производная от ${displaystyle f}$ равно 0. Выберите какую-нибудь точку ${displaystyle x_{0}in G}$ , и разреши ${displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ . Мы хотим показать ${displaystyle g(x)=0}$ для каждого ${displaystyle xin G}$ . Для этого пусть ${displaystyle E={xin G:g(x)=0}}$ . потом E закрыто и непусто. Он тоже открыт: для всех ${displaystyle xin E}$ ,

${displaystyle {Big |}g(y){Big |}={Bigg |}g(y)-g(x){Bigg |}leq (0){Big |}y-x{Big |}=0}$

для каждого ${displaystyle y}$ в каком-то районе ${displaystyle x}$ . (Здесь важно, чтобы ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ достаточно близки друг к другу.) Поскольку ${displaystyle G}$ связано, заключаем ${displaystyle E=G}$ .

Вышеупомянутые аргументы сделаны безкоординатным способом; следовательно, они обобщаются на случай, когда ${displaystyle G}$ является подмножеством банахова пространства.

Теорема о среднем значении для векторных функций

Точного аналога теоремы о среднем для векторных функций не существует.

В Принципы математического анализа, Рудин дает неравенство, которое можно применить ко многим из тех же ситуаций, к которым применима теорема о среднем значении в одномерном случае:^[6]

Теорема. Для непрерывной векторнозначной функции ${displaystyle mathbf {f} :[a,b] o mathbb {R} ^{k}}$ дифференцируемый на ${displaystyle (a,b)}$, Существует ${displaystyle xin (a,b)}$ такой, что ${displaystyle |mathbf {f} '(x)|geq {frac {1}{b-a}}|mathbf {f} (b)-mathbf {f} (a)|}$.

Жан Дьедонне в его классическом трактате Основы современного анализа отбрасывает теорему о среднем значении и заменяет ее неравенством среднего значения, поскольку доказательство неконструктивно, и нельзя найти среднее значение, а в приложениях требуется только неравенство среднего значения. Серж Ланг в Анализ I использует теорему о среднем значении в интегральной форме как мгновенный рефлекс, но это использование требует непрерывности производной. Если использовать Интеграл Хенстока – Курцвейла можно иметь теорему о среднем значении в интегральной форме без дополнительного предположения, что производная должна быть непрерывной, поскольку каждая производная интегрируема по Хенстоку – Курцвейлу. Проблема в следующем: если ж : U → р^м - дифференцируемая функция (где U ⊂ р^п открыто) и если Икс + th, х, ч ∈ р^п, т ∈ [0, 1] - рассматриваемый отрезок (лежащий внутри U), то можно применить описанную выше процедуру параметризации к каждой из составляющих функций ж_я (я = 1, ..., м) из ж (в обозначениях выше установите у = Икс + час). Поступая так, можно найти точки Икс + т_ячас на отрезке, удовлетворяющем

${displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=abla f_{i}(x+t_{i}h)cdot h.}$

Но вообще не будет Один точка Икс + т * ч на отрезке, удовлетворяющем

${displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=abla f_{i}(x+t^{*}h)cdot h.}$

для всех я одновременно. Например, определите:

${displaystyle {egin{cases}f:[0,2pi ] o mathbf {R} ^{2}f(x)=(cos(x),sin(x))end{cases}}}$

потом ${displaystyle f(2pi )-f(0)=mathbf {0} in mathbf {R} ^{2}}$, но ${displaystyle f_{1}'(x)=-sin(x)}$ и ${displaystyle f_{2}'(x)=cos(x)}$ никогда одновременно не равны нулю, поскольку ${displaystyle x}$ колеблется над ${displaystyle left[0,2pi ight]}$.

Однако некоторый тип обобщения теоремы о среднем на вектор-функции получается следующим образом: Пусть ж - непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, заданная на открытом интервале я, и разреши Икс а также Икс + час быть точками я. Теорема о среднем значении одной переменной говорит нам, что существуют некоторые т * между 0 и 1 такие, что

${displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)cdot h.}$

С другой стороны, мы имеем основная теорема исчисления с последующей заменой переменных,

${displaystyle f(x+h)-f(x)=int _{x}^{x+h}f'(u),du=left(int _{0}^{1}f'(x+th),dtight)cdot h.}$

Таким образом, значение f ′(Икс + т * ч) в конкретной точке т * заменено средним значением

${displaystyle int _{0}^{1}f'(x+th),dt.}$

Эту последнюю версию можно обобщить на векторные функции:

Лемма 1. Позволять U ⊂ р^п быть открытым, ж : U → р^м непрерывно дифференцируемый, и Икс ∈ U, час ∈ р^п векторы такие, что отрезок прямой Икс + th, 0 ≤ т ≤ 1 остается в U. Тогда у нас есть:

${displaystyle f(x+h)-f(x)=left(int _{0}^{1}Df(x+th),dtight)cdot h,}$

куда Df обозначает Матрица якобиана из ж а интеграл матрицы следует понимать покомпонентно.

Доказательство. Позволять ж₁, ..., ж_м обозначим компоненты ж и определите:

${displaystyle {egin{cases}g_{i}:[0,1] o mathbf {R} g_{i}(t)=f_{i}(x+th)end{cases}}}$

Тогда у нас есть

${displaystyle {egin{aligned}&f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=g_{i}(1)-g_{i}(0)=int _{0}^{1}g_{i}'(t),dt={}&int _{0}^{1}left(sum _{j=1}^{n}{frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}(x+th)h_{j}ight),dt=sum _{j=1}^{n}left(int _{0}^{1}{frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}(x+th),dtight)h_{j}.end{aligned}}}$

Утверждение следует из того, что Df - матрица, состоящая из компонентов ${displaystyle { frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}.}$

Лемма 2. Позволять v : [а, б] → р^м - непрерывная функция, определенная на интервале [а, б] ⊂ р. Тогда у нас есть

${displaystyle left|int _{a}^{b}v(t),dtight|leqslant int _{a}^{b}|v(t)|,dt.}$

Доказательство. Позволять ты в р^м обозначим значение интеграла

${displaystyle u:=int _{a}^{b}v(t),dt.}$

Теперь у нас есть (используя Неравенство Коши – Шварца ):

${displaystyle |u|^{2}=langle u,uangle =leftlangle int _{a}^{b}v(t),dt,uightangle =int _{a}^{b}langle v(t),uangle ,dtleqslant int _{a}^{b}|v(t)|cdot |u|,dt=|u|int _{a}^{b}|v(t)|,dt}$

Теперь отменяя норму ты с обоих концов дает нам желаемое неравенство.

Неравенство средних значений. Если норма Df(Икс + th) ограничена некоторой постоянной M за т в [0, 1], то

${displaystyle |f(x+h)-f(x)|leqslant M|h|.}$

Доказательство. Из леммы 1 и 2 следует, что

${displaystyle |f(x+h)-f(x)|=left|int _{0}^{1}(Df(x+th)cdot h),dtight|leqslant int _{0}^{1}|Df(x+th)|cdot |h|,dtleqslant M|h|.}$

Теоремы о среднем значении для определенных интегралов

Первая теорема о среднем значении для определенных интегралов

Геометрически: интерпретация f (c) как высота прямоугольника и б–а что касается ширины, этот прямоугольник имеет такую ​​же площадь, что и область под кривой из а к б^[7]

Позволять ж : [а, б] → р - непрерывная функция. Тогда существует c в [а, б] такой, что

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=f(c)(b-a).}$

Поскольку среднее значение ж на [а, б] определяется как

${displaystyle {frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x),dx,}$

мы можем интерпретировать вывод как ж достигает своего среднего значения в некоторых c в (а, б).^[8]

В общем, если ж : [а, б] → р непрерывно и грамм - интегрируемая функция, не меняющая знака на [а, б], то существует c в (а, б) такие, что

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)int _{a}^{b}g(x),dx.}$

Доказательство первой теоремы о среднем для определенных интегралов

Предполагать ж : [а, б] → р непрерывно и грамм - неотрицательная интегрируемая функция на [а, б]. Посредством теорема об экстремальном значении, Существует м и M так что для каждого Икс в [а, б], ${displaystyle mleqslant f(x)leqslant M}$ и ${displaystyle f[a,b]=[m,M]}$. С грамм неотрицательно,

${displaystyle mint _{a}^{b}g(x),dxleqslant int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleqslant Mint _{a}^{b}g(x),dx.}$

Теперь позвольте

${displaystyle I=int _{a}^{b}g(x),dx.}$

Если ${displaystyle I=0}$, мы закончили с

${displaystyle 0leqslant int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleqslant 0}$

средства

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=0,}$

так что для любого c в (а, б),

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)I=0.}$

Если я ≠ 0, то

${displaystyle mleqslant {frac {1}{I}}int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleqslant M.}$

Посредством теорема о промежуточном значении, ж достигает каждого значения интервала [м, M], поэтому для некоторых c в [а, б]

${displaystyle f(c)={frac {1}{I}}int _{a}^{b}f(x)g(x),dx,}$

то есть,

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(c)int _{a}^{b}g(x),dx.}$

Наконец, если грамм отрицательный на [а, б], тогда

${displaystyle Mint _{a}^{b}g(x),dxleqslant int _{a}^{b}f(x)g(x),dxleqslant mint _{a}^{b}g(x),dx,}$

и мы по-прежнему получаем тот же результат, что и выше.

QED

Вторая теорема о среднем значении для определенных интегралов

Существуют несколько различных теорем, называемых Вторая теорема о среднем значении для определенных интегралов. Обычно встречается следующая версия:

Если грамм : [а, б] → р положительный монотонно убывающий функция и φ: [а, б] → р - интегрируемая функция, то существует число Икс в (а, б] такой, что

${displaystyle int _{a}^{b}G(t)varphi (t),dt=G(a^{+})int _{a}^{x}varphi (t),dt.}$

Здесь ${displaystyle G(a^{+})}$ означает ${displaystyle {lim _{x o a^{+}}G(x)}}$, существование которых следует из условий. Отметим, что очень важно, чтобы интервал (а, б] содержит б. Вариант, не имеющий этого требования:^[9]

Если грамм : [а, б] → р это монотонный (не обязательно убывающая и положительная) функция и φ: [а, б] → р - интегрируемая функция, то существует число Икс в (а, б) такие, что

${displaystyle int _{a}^{b}G(t)varphi (t),dt=G(a^{+})int _{a}^{x}varphi (t),dt+G(b^{-})int _{x}^{b}varphi (t),dt.}$

Теорема о среднем значении для интегрирования не работает для векторных функций

Если функция ${displaystyle G}$ возвращает многомерный вектор, тогда MVT для интегрирования не верен, даже если домен ${displaystyle G}$ также многомерна.

Например, рассмотрим следующую двумерную функцию, определенную на ${displaystyle n}$-мерный куб:

${displaystyle {egin{cases}G:[0,2pi ]^{n} o mathbb {R} ^{2}G(x_{1},cdots ,x_{n})=left(sin(x_{1}+cdots +x_{n}),cos(x_{1}+cdots +x_{n})ight)end{cases}}}$

Тогда по симметрии легко увидеть, что среднее значение ${displaystyle G}$ по его области (0,0):

${displaystyle int _{[0,2pi ]^{n}}G(x_{1},cdots ,x_{n})dx_{1}cdots dx_{n}=(0,0)}$

Однако нет смысла ${displaystyle G=(0,0)}$, потому что ${displaystyle |G|=1}$ повсюду.

Вероятностный аналог теоремы о среднем значении

Позволять Икс и Y быть неотрицательным случайные переменные такое, что E [Икс] Y] <∞ и ${displaystyle Xleqslant _{st}Y}$ (т.е. Икс меньше чем Y в обычный стохастический порядок ). Тогда существует абсолютно непрерывная неотрицательная случайная величина Z имея функция плотности вероятности

${displaystyle f_{Z}(x)={Pr(Y>x)-Pr(X>x) over {m {E}}[Y]-{m {E}}[X]},,qquad xgeqslant 0.}$

Позволять грамм быть измеримый и дифференцируемая функция такое, что E [грамм(Икс)], E [грамм(Y)] <∞, и пусть ее производная грамм' быть измеримыми и Интегрируемый по Риману на интервале [Икс, у] для всех у ≥ Икс ≥ 0. Тогда E [грамм'(Z)] конечно и^[10]

${displaystyle {m {E}}[g(Y)]-{m {E}}[g(X)]={m {E}}[g'(Z)],[{m {E}}(Y)-{m {E}}(X)].}$

Обобщение в комплексном анализе

Как отмечалось выше, теорема не выполняется для дифференцируемых комплекснозначных функций. Вместо этого формулируется такое обобщение теоремы:^[11]

Позволять ж : Ω → C быть голоморфная функция на открытом выпуклом множестве Ω, и пусть а и б - различные точки в Ω. Тогда существуют точки ты, v на L_ab (отрезок от а к б) такие, что

${displaystyle mathrm {Re} (f'(u))=mathrm {Re} left({frac {f(b)-f(a)}{b-a}}ight),}$

${displaystyle mathrm {Im} (f'(v))=mathrm {Im} left({frac {f(b)-f(a)}{b-a}}ight).}$

Где Re () - действительная часть, а Im () - мнимая часть комплексной функции.

Смотрите также

• Метод Newmark-beta
• Теорема о среднем значении (разделенные разности)
• Принцип ипподрома
• Столярского

Примечания

1. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (2000). Парамешвара, Архив истории математики MacTutor.
2. Ádám Besenyei. «Историческое развитие теоремы о среднем значении» (PDF).
3. Настоящий анализ Киршны: (Общие). Кришна Пракашан СМИ.
4. В., Вайсштейн, Эрик. «Расширенная теорема о среднем значении». mathworld.wolfram.com. Получено 2018-10-08.
5. "Теорема Коши о среднем значении". Math24. Получено 2018-10-08.
6. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 113. ISBN  978-0-07-054235-8.
7. "Mathwords: теорема о среднем значении для интегралов". www.mathwords.com.
8. Майкл Коменец (2002). Исчисление: элементы. World Scientific. п. 159. ISBN  978-981-02-4904-5.
9. Хобсон, Э. У. (1909). "О второй теореме интегрального исчисления о среднем значении". Proc. Лондонская математика. Soc. S2–7 (1): 14–23. Дои:10.1112 / плмс / с2-7.1.14. МИСТЕР  1575669.
10. Ди Крещенцо, А. (1999). "Вероятностный аналог теоремы о среднем значении и его приложения к теории надежности". J. Appl. Вероятно. 36 (3): 706–719. Дои:10.1239 / jap / 1032374628. JSTOR  3215435.
11. "Комплексная теорема о среднем значении". PlanetMath. PlanetMath.

внешняя ссылка

• «Теорема Коши», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• PlanetMath: Теорема о среднем значении
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о среднем значении». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Коши о среднем значении". MathWorld.
• «Теорема о среднем значении: интуиция, лежащая в основе теоремы о среднем значении» на Ханская академия