Теорема роллса - Rolles theorem - Wikipedia

Если настоящий -значная функция

ж

является непрерывный на закрытый интервал

[а, б]

, дифференцируемый на открытый интервал

(а, б)

, и

ж (а) = ж (б)

, то существует

c

в открытом интервале

(а, б)

такой, что

ж'(c) = 0

.

В исчисление, Теорема Ролля или же Лемма Ролля по сути, заявляет, что любой реальный дифференцируемая функция который достигает равных значений в двух разных точках, должен иметь хотя бы один стационарный пункт где-то между ними - то есть точка, в которой первая производная (наклон касательной к графику функции) равна нулю. Теорема названа в честь Мишель Ролль.

Стандартная версия теоремы

Если настоящий -значная функция $ж$ является непрерывный на собственном закрытый интервал $[а, б]$ , дифференцируемый на открытый интервал $(а, б)$ , и $ж (а) = ж (б)$ , то существует хотя бы один $c$ в открытом интервале $(а, б)$ такой, что

{ displaystyle f '(c) = 0}

.

Эта версия теоремы Ролля используется для доказательства теорема о среднем значении, частным случаем которой является теорема Ролля. Это также основание для доказательства Теорема Тейлора.

История

Индийский математик Бхаскара II (1114–1185) приписывают знание теоремы Ролля.^[1] Хотя теорема названа в честь Мишель Ролль Доказательство Ролля 1691 г. касалось только случая полиномиальных функций. В его доказательстве не использовались методы дифференциальное исчисление, что в тот момент своей жизни он считал ошибочным. Теорема была впервые доказана Коши в 1823 г. как следствие доказательства теорема о среднем значении.^[2] Название «теорема Ролля» впервые употребил Мориц Вильгельм Дробиш Германии в 1834 г. Джусто Беллавитис Италии в 1846 году.^[3]

Примеры

Первый пример

А полукруг радиуса

р

.

Для радиуса $р > 0$ рассмотрим функцию

{ displaystyle f (x) = { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}, quad x in [-r, r].}

Его график это верхний полукруг с центром в начале координат. Эта функция непрерывна на отрезке $[- р, р]$ и дифференцируемо в открытом интервале $(- р, р)$ , но не дифференцируемо в конечных точках $- р$ и $р$ . С $ж (- р) = ж (р)$ , Применима теорема Ролля, и действительно, есть точка, в которой производная от $ж$ равно нулю. Обратите внимание, что теорема применяется даже тогда, когда функцию нельзя дифференцировать в конечных точках, потому что она требует, чтобы функция была дифференцируемой только в открытом интервале.

Второй пример

График функции абсолютного значения.

Если дифференцируемость не удается во внутренней точке интервала, заключение теоремы Ролля может не выполняться. Рассмотрим абсолютная величина функция

{ Displaystyle f (x) = | x |, qquad x in [-1,1].}

потом $ж (-1) = ж (1)$ , но нет $c$ от −1 до 1, для которого $ж'(c)$ равно нулю. Это потому, что эта функция, хотя и непрерывная, не дифференцируема в $Икс = 0$ . Обратите внимание, что производная от $ж$ меняет знак на $Икс = 0$ , но без достижения значения 0. Теорема не может быть применена к этой функции, так как она не удовлетворяет условию, что функция должна быть дифференцируемой для любого $Икс$ в открытом интервале. Однако, когда требование дифференцируемости опускается из теоремы Ролля, $ж$ все еще будет критическое число в открытом интервале $(а, б)$ , но он может не дать горизонтальной касательной (как в случае абсолютного значения, представленного на графике).

Обобщение

Второй пример иллюстрирует следующее обобщение теоремы Ролля:

Рассмотрим вещественную непрерывную функцию $ж$ на закрытом интервале $[а, б]$ с $ж (а) = ж (б)$ . Если для каждого $Икс$ в открытом интервале $(а, б)$ то правый предел

{ displaystyle f '(x ^ {+}): = lim _ {h to 0 ^ {+}} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

и левый предел

{ displaystyle f '(x ^ {-}): = lim _ {h to 0 ^ {-}} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

существуют в расширенная реальная линия $[-\infty, \infty]$ , то есть какое-то число $c$ в открытом интервале $(а, б)$ так что один из двух пределов

{ displaystyle f '(c ^ {+}) quad { text {and}} quad f' (c ^ {-})}

≥ 0, а другой ≤ 0 (в расширенной вещественной прямой). Если правый и левый пределы согласуются для каждого $Икс$ , то они соглашаются, в частности, для $c$ , следовательно, производная от $ж$ существует в $c$ и равен нулю.

Замечания

Если $ж$ является выпуклым или вогнутым, то правая и левая производные существуют в каждой внутренней точке, следовательно, указанные выше пределы существуют и являются действительными числами.
Этого обобщенного варианта теоремы достаточно для доказательства выпуклость когда односторонние производные монотонно возрастающий:^[4]

{ displaystyle f '(x ^ {-}) leq f' (x ^ {+}) leq f '(y ^ {-}), qquad x

Доказательство обобщенной версии

Поскольку доказательство стандартной версии теоремы Ролля и обобщения очень похоже, мы докажем обобщение.

Идея доказательства состоит в том, чтобы доказать, что если $ж (а) = ж (б)$ , тогда $ж$ должен достичь либо максимум или минимум где-то между $а$ и $б$ скажи на $c$ , и функция должна измениться с возрастающей на убывающую (или наоборот) при $c$ . В частности, если производная существует, она должна быть равна нулю при $c$ .

По предположению, $ж$ продолжается на $[а, б]$ , и теорема об экстремальном значении достигает как своего максимума, так и минимума в $[а, б]$ . Если они оба достигаются в конечных точках $[а, б]$ , тогда $ж$ является постоянный на $[а, б]$ так что производная от $ж$ равен нулю в каждой точке $(а, б)$ .

Предположим тогда, что максимум достигается при внутренняя точка $c$ из $(а, б)$ (аргумент в пользу минимума очень похож, просто рассмотрим $- ж$ ). Мы рассмотрим указанные выше правые и левые пределы отдельно.

Для настоящего $час$ такой, что $c + час$ в $[а, б]$ , Значение $ж (c + час)$ меньше или равно $ж (c)$ потому что $ж$ достигает максимума в $c$ . Следовательно, для каждого $час > 0$ ,

{ displaystyle { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} leq 0,}

следовательно

{ displaystyle f '(c ^ {+}): = lim _ {h to 0 ^ {+}} { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} leq 0 ,}

где предел существует по предположению, он может быть минус бесконечность.

Аналогично для каждого $час < 0$ , неравенство меняется, потому что знаменатель теперь отрицательный, и мы получаем

{ displaystyle { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} geq 0,}

следовательно

{ displaystyle f '(c ^ {-}): = lim _ {h to 0 ^ {-}} { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} geq 0 ,}

где предел может быть плюс бесконечность.

Наконец, когда вышеуказанные правые и левые пределы согласуются (в частности, когда $ж$ дифференцируема), то производная от $ж$ в $c$ должно быть равно нулю.

(В качестве альтернативы мы можем подать заявку Теорема Ферма о стационарной точке напрямую.)

Обобщение на высшие производные

Мы также можем обобщить теорему Ролля, потребовав, чтобы $ж$ имеет больше точек с равными значениями и большей регулярностью. В частности, предположим, что

функция $ж$ является $п - 1$ раз непрерывно дифференцируемый на закрытом интервале $[а, б]$ и $п$ -я производная существует на открытом интервале $(а, б)$ , и
Существуют $п$ интервалы, заданные $а 1 < б 1 \leq а 2 < б 2 \leq \dots \leq а п < б п$ в $[а, б]$ такой, что $ж (а k) = ж (б k)$ для каждого $k$ от 1 до $п$ . Тогда есть номер $c$ в $(а, б)$ так что $п$ -я производная от $ж$ в $c$ равно нулю.

Красная кривая - это график функции с 3 корнями в интервале

[-3, 2]

. Таким образом, его вторая производная (выделенная зеленым цветом) также имеет корень в том же интервале.

Требования к $п$ -я производная от $ж$ можно ослабить, как в приведенном выше обобщении, дав соответствующие (возможно, более слабые) утверждения для правого и левого пределов, определенных выше с помощью $ж (п - 1)$ на месте $ж$ .

В частности, в этой версии теоремы утверждается, что если достаточно дифференцируемая функция имеет $п$ корни (так что они имеют одинаковое значение, то есть 0), то есть внутренняя точка, где $ж (п - 1)$ исчезает.

Доказательство

Доказательство использует математическая индукция. Дело $п = 1$ это просто стандартная версия теоремы Ролля. За $п > 1$ , примем в качестве индукционного предположения, что обобщение верно для $п - 1$ . Мы хотим доказать это для $п$ . Предположим, что функция $ж$ удовлетворяет условиям теоремы. По стандартной версии теоремы Ролля для любого целого числа $k$ от 1 до $п$ , существует $c k$ в открытом интервале $(а k, б k)$ такой, что $ж'(c k) = 0$ . Следовательно, первая производная удовлетворяет предположениям о $п - 1$ закрытые интервалы $[c 1, c 2], \dots, [c п - 1, c п]$ . По предположению индукции существует $c$ так что $(п - 1)$ я производная от $ж'$ в $c$ равно нулю.

Обобщения на другие поля

Теорема Ролля - это свойство дифференцируемых функций над действительными числами, которые являются упорядоченное поле. Таким образом, он не распространяется на другие поля, но действует следующее следствие: если действительный многочлен множит (имеет все свои корни) над действительными числами, то его производная тоже. Это свойство поля можно назвать Собственность Ролля.^{[нужна цитата ]} Более общие поля не всегда имеют дифференцируемые функции, но всегда имеют многочлены, которые можно символьно дифференцировать. Точно так же более общие поля могут не иметь порядка, но есть понятие корня многочлена, лежащего в поле.

Таким образом, теорема Ролля показывает, что действительные числа обладают свойством Ролля. Любое алгебраически замкнутое поле, такое как сложные числа имеет собственность Ролля. Однако рациональные числа этого не делают - например, $Икс 3 - Икс = Икс (Икс - 1)(Икс + 1)$ факторы над рациональные, но его производная,

{ displaystyle 3x ^ {2} -1 = 3 left (x - { tfrac {1} { sqrt {3}}} right) left (x + { tfrac {1} { sqrt {3}) }}верно),}

не. Вопрос о том, какие поля удовлетворяют свойству Ролля, был поднят в (Капланский 1972 ).^[5] За конечные поля, ответ в том, что только $F 2$ и $F 4$ иметь собственность Ролля.^[6]^[7]

Для сложной версии см. Индекс Вурхоува.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Лейтольд, Луи (1972). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Нью-Йорк: Харпер и Роу. С. 201–207. ISBN 0-06-043959-9.
Тейлор, Ангус Э. (1955). Расширенный расчет. Бостон: Джинн и компания. С. 30–37.

внешняя ссылка

"Теорема Ролля", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Теоремы Ролля и среднего значения в завязать узел.
Система Мицар доказательство: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

[1] Гупта, Р.С. Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах. п. 156.

[2] Бесеньей А. (17 сентября 2012 г.). «Краткая история теоремы о среднем значении» (PDF).

[3] Видеть Кахори, Флориан. История математики. п. 224.

[4] Артин, Эмиль (1964) [1931], Гамма-функция, переведенный Батлером, Майкл, Холт, Райнхарт и Уинстон, стр. 3–4

[5] Каплански, Ирвинг (1972), Поля и кольца

[6] Крейвен, Томас; Csordas, Джордж (1977), «Последовательности множителей для полей», Иллинойс J. Math., 21 (4): 801–817

[7] Ballantine, C .; Робертс, Дж. (Январь 2002 г.), "Простое доказательство теоремы Ролля для конечных полей", Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 109 (1): 72–74, Дои:10.2307/2695770, JSTOR 2695770

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]