Теорема Фермаца (стационарные точки) - Fermats theorem (stationary points) - Wikipedia

Эта статья посвящена теореме Ферма о максимумах и минимумах функций. По поводу других теорем, также названных в честь Пьера де Ферма, см. Теорема Ферма.

В математика, Теорема Ферма (также известный как внутренняя экстремальная теорема) - это метод поиска локальных максимумы и минимумы из дифференцируемые функции на открытые наборы показывая, что каждый местный экстремум из функция это стационарный пункт (функция производная равен нулю в этой точке). Теорема Ферма - это теорема в реальный анализ, названный в честь Пьер де Ферма.

Используя теорему Ферма, потенциальные экстремумы функции ${\displaystyle \displaystyle f}$, с производной ${\displaystyle \displaystyle f'}$, находятся путем решения уравнение в ${\displaystyle \displaystyle f'}$. Теорема Ферма дает только необходимое условие для экстремальных значений функции, так как некоторые стационарные точки точки перегиба (не максимум или минимум). Функция вторая производная, если он существует, иногда может использоваться, чтобы определить, является ли стационарная точка максимумом или минимумом.

Заявление

Один из способов сформулировать теорему Ферма состоит в том, что если функция имеет локальную экстремум в какой-то момент и дифференцируемый тогда производная функции в этой точке должна быть равна нулю. На точном математическом языке:

Позволять ${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ - функция, и предположим, что ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ это точка, где ${\displaystyle f}$ имеет локальный экстремум. Если ${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$, тогда ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$.

Другой способ понять теорему - через контрапозитивный Утверждение: если производная функции в любой точке не равна нулю, то в этой точке нет локального экстремума. Формально:

Если ${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$, и ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, тогда ${\displaystyle x_{0}}$ не является локальным экстремумом ${\displaystyle f}$.

Следствие

Глобальные экстремумы функции ж на домен А происходят только в границы, недифференцируемые точки и стационарные точки. ${\displaystyle x_{0}}$ является глобальным экстремумом ж, то верно одно из следующих:

• граница: ${\displaystyle x_{0}}$ находится на границе А
• недифференцируемые: ж не дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}}$
• стационарная точка: ${\displaystyle x_{0}}$ стационарная точка ж

Расширение

В высших измерениях верно то же самое утверждение; однако доказательство несколько сложнее. Сложность состоит в том, что в одном измерении можно двигаться влево или вправо от точки, в то время как в более высоких измерениях можно двигаться во многих направлениях. Таким образом, если производная не обращается в нуль, нужно утверждать, что существует немного направление, в котором функция увеличивается - и, следовательно, в противоположном направлении функция уменьшается. Это единственное изменение в доказательстве или анализе.

Заявление также можно распространить на дифференцируемые многообразия. Если ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ это дифференцируемая функция на коллекторе ${\displaystyle M}$, то его локальные экстремумы должны быть критические точки из ${\displaystyle f}$, в частности, точки, где внешняя производная ${\displaystyle df}$ равно нулю.^[1]

Приложения

Смотрите также: Максимумы и минимумы

Теорема Ферма занимает центральное место в методе исчисления для определения максимумов и минимумов: в одном измерении можно найти экстремумы, просто вычисляя стационарные точки (вычисляя нули производной), недифференцируемых точек и граничных точек, а затем исследуя это набор для определения экстремумов.

Это можно сделать либо путем оценки функции в каждой точке и взятия максимума, либо путем дальнейшего анализа производных с использованием первая производная проверка, то тест второй производной, или тест производной высшего порядка.

Интуитивный аргумент

Интуитивно дифференцируемая функция аппроксимируется своей производной - дифференцируемая функция ведет себя бесконечно мало, как линейная функция ${\displaystyle a+bx,}$ или точнее, ${\displaystyle f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}$ Таким образом, с точки зрения того, что «если ж дифференцируема и имеет отличную от нуля производную в точке ${\displaystyle x_{0},}$ то не достигает экстремума при ${\displaystyle x_{0},}$"интуиция такова, что если производная в ${\displaystyle x_{0}}$ положительна, функция увеличение возле ${\displaystyle x_{0},}$ а если производная отрицательна, функция уменьшение возле ${\displaystyle x_{0}.}$ В обоих случаях он не может достичь максимума или минимума, потому что его значение меняется. Он может достичь максимума или минимума только в том случае, если он «останавливается» - если производная обращается в нуль (или если она не дифференцируема, или если кто-то сталкивается с границей и не может продолжаться). Однако для того, чтобы сделать «ведет себя как линейная функция» точным, требуется тщательное аналитическое доказательство.

Точнее, интуицию можно сформулировать так: если производная положительна, существует какой-то момент справа от ${\displaystyle x_{0}}$ куда ж больше, и какой-то момент слева от ${\displaystyle x_{0}}$ куда ж меньше, и поэтому ж не достигает ни максимума, ни минимума при ${\displaystyle x_{0}.}$ И наоборот, если производная отрицательна, есть точка справа, которая меньше, и точка слева, которая больше. Сказанное таким образом, доказательство просто переводит это в уравнения и проверяет, «насколько больше или меньше».

В интуиция основан на поведении полиномиальные функции. Предположим, что функция ж имеет максимум на Икс₀, рассуждения аналогичны для минимума функции. Если ${\displaystyle \displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ является локальным максимумом, то, грубо говоря, существует (возможно, небольшой) район из ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ например, функция "увеличивается до" и "уменьшается после"^{[примечание 1]} ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$. Поскольку производная положительна для возрастающей функции и отрицательна для убывающей функции, ${\displaystyle \displaystyle f'}$ положительный до и отрицательный после ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$. ${\displaystyle \displaystyle f'}$ не пропускает значения (по Теорема Дарбу ), поэтому в какой-то момент между положительным и отрицательным значениями он должен быть равен нулю. Единственная точка по соседству, где можно ${\displaystyle \displaystyle f'(x)=0}$ является ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$.

Теорема (и ее доказательство ниже) является более общим, чем интуиция, в том, что она не требует, чтобы функция была дифференцируемой по окрестности вокруг ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$. Достаточно, чтобы функция была дифференцируемой только в крайней точке.

Доказательство

Доказательство 1: ненулевые производные не влечет экстремум

Предположим, что ж дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}\in (a,b),}$ с производной K, и предполагать не теряя общий смысл который ${\displaystyle K>0,}$ так что касательная линия в ${\displaystyle x_{0}}$ имеет положительный наклон (увеличивается). Тогда есть окрестность ${\displaystyle x_{0}}$ на котором секущие линии через ${\displaystyle x_{0}}$ все имеют положительный наклон и, следовательно, правее ${\displaystyle x_{0},}$ ж больше, и слева от ${\displaystyle x_{0},}$ ж меньше.

Схема доказательства:

• бесконечно малое утверждение о производной (касательная линия) в ${\displaystyle x_{0}}$ подразумевает
• местное утверждение о коэффициентах разности (секущие линии) возле ${\displaystyle x_{0},}$ что подразумевает
• местное заявление о ценить из ж возле ${\displaystyle x_{0}.}$

Формально, по определению производной, ${\displaystyle f'(x_{0})=K}$ Значит это

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}=K.}$

В частности, при достаточно малых ${\displaystyle \varepsilon }$ (меньше, чем некоторые ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$), частное должно быть не менее ${\displaystyle K/2,}$ по определению лимита. Таким образом, на интервал ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$ надо:

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}>K/2;}$

один заменил равенство в пределе (бесконечно малый оператор) с неравенство на окрестности (местное заявление). Таким образом, переписывая уравнение, если ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ тогда:

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )>f(x_{0})+(K/2)\varepsilon >f(x_{0}),}$

так что на интервале справа, ж больше, чем ${\displaystyle f(x_{0}),}$ и если ${\displaystyle \varepsilon <0,}$ тогда:

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )<f(x_{0})+(K/2)\varepsilon <f(x_{0}),}$

так что на интервале слева, ж меньше чем ${\displaystyle f(x_{0}).}$

Таким образом ${\displaystyle x_{0}}$ не является локальным или глобальным максимумом или минимумом f.

Доказательство 2: из экстремума следует, что производная обращается в нуль.

В качестве альтернативы можно начать с предположения, что ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ является локальным максимумом, а затем докажите, что производная равна 0.

Предположим, что ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ является локальным максимумом (аналогичное доказательство применимо, если ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ является локальным минимумом). Тогда существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subset (a,b)}$ и такой, что у нас есть ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ для всех ${\displaystyle x}$ с ${\displaystyle \displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$. Следовательно, для любого ${\displaystyle h\in (0,\delta )}$ у нас есть

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

Поскольку предел этого отношения как ${\displaystyle \displaystyle h}$ приближается к 0 сверху, существует и равен ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ мы заключаем, что ${\displaystyle f'(x_{0})\leq 0}$. С другой стороны, для ${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$ мы замечаем, что

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

но снова предел как ${\displaystyle \displaystyle h}$ приближается к 0 снизу существует и равно ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ так что у нас также есть ${\displaystyle f'(x_{0})\geq 0}$.

Отсюда заключаем, что ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Предостережения

Тонкое заблуждение, которое часто встречается в контексте теоремы Ферма, - это предположение, что она делает более сильное утверждение о локальном поведении, чем это делает. Примечательно, что теорема Ферма делает нет говорят, что функции (монотонно) "увеличиваются до" или "уменьшаются вниз" от локального максимума. Это очень похоже на заблуждение, что предел означает «монотонное приближение к точке». Для "корректных функций" (что здесь означает непрерывно дифференцируемый ), некоторые интуиции верны, но в целом функции могут вести себя плохо, как показано ниже. Мораль заключается в том, что производные определяют бесконечно малый поведение, и это непрерывный производные определяют местный поведение.

Непрерывно дифференцируемые функции

Если ж является непрерывно дифференцируемый ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$ на открытый район по делу ${\displaystyle x_{0}}$, тогда ${\displaystyle f'(x_{0})>0}$ означает, что ж растет в окрестности ${\displaystyle x_{0},}$ следующее.

Если ${\displaystyle f'(x_{0})=K>0}$ и ${\displaystyle f\in C^{1},}$ то по непрерывности производной найдется ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ такой, что ${\displaystyle f'(x)>K/2}$ для всех ${\displaystyle x\in (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$. потом ж возрастает на этом интервале на теорема о среднем значении: наклон любой секущей не менее ${\displaystyle K/2,}$ поскольку он равен наклону некоторой касательной.

Однако в общей формулировке теоремы Ферма, где указано только, что производная в ${\displaystyle x_{0}}$ положительна, можно только заключить, что секущие линии через ${\displaystyle x_{0}}$ будет иметь положительный наклон, для секущих линий между ${\displaystyle x_{0}}$ и достаточно точек.

Наоборот, если производная от ж в точке равен нулю (${\displaystyle x_{0}}$ является стационарной точкой), в общем случае нельзя сделать никаких выводов о локальном поведении ж - может увеличиваться в одну сторону и уменьшаться в другую (как в ${\displaystyle x^{3}}$), увеличивая в обе стороны (как в ${\displaystyle x^{4}}$), убавляем в обе стороны (как в ${\displaystyle -x^{4}}$) или вести себя более сложным образом, например, колебаться (как в ${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$, как обсуждается ниже).

Можно проанализировать бесконечно малое поведение с помощью тест второй производной и тест производной высшего порядка, если функция достаточно дифференцируема и первая отличная от нуля производная в точке ${\displaystyle x_{0}}$ это непрерывная функция, тогда можно сделать вывод о локальном поведении (т. е. если ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$ - первая отличная от нуля производная, а ${\displaystyle f^{(k)}}$ непрерывно, поэтому ${\displaystyle f\in C^{k}}$), то можно лечить ж как локально близкий к многочлену от степень k, поскольку ведет себя примерно как ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},}$ но если k-я производная не является непрерывной, таких выводов делать нельзя, и она может вести себя иначе.

Патологические функции

Функция ${\displaystyle \sin(1/x)}$ - он все быстрее колеблется между ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle 1}$ в качестве Икс стремится к 0. Следовательно, функция ${\displaystyle f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2}}$ быстро колеблется между 0 и ${\displaystyle 2x^{2}}$ в качестве Икс приближается к 0. Если расширить эту функцию, определив ${\displaystyle f(0)=0}$ тогда расширенная функция непрерывна и всюду дифференцируема (она дифференцируема в 0 с производной 0), но имеет довольно неожиданное поведение вблизи 0: в любой окрестности 0 она достигает 0 бесконечно много раз, но также равна ${\displaystyle 2x^{2}}$ (положительное число) бесконечно часто.

Продолжая в том же духе, можно определить ${\displaystyle g(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}}$, который колеблется между ${\displaystyle x^{2}}$ и ${\displaystyle 3x^{2}}$. Функция имеет локальный и глобальный минимум в ${\displaystyle x=0}$, но ни в какой окрестности 0 он не убывает или не увеличивается от 0 - он сильно колеблется около 0.

Эту патологию можно понять потому, что пока функция грамм везде дифференцируема, не непрерывно дифференцируемый: предел ${\displaystyle g'(x)}$ в качестве ${\displaystyle x\to 0}$ не существует, поэтому производная не является непрерывной в 0. Это отражает колебания между увеличением и уменьшением значений по мере приближения к 0.

Смотрите также

• Оптимизация (математика)
• Максимумы и минимумы
• Производная
• Экстремальная ценность
• arg max
• Адекватность

Примечания

1. Эта интуиция верна только для непрерывно дифференцируемый ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$ функций, хотя в целом это не совсем правильно - функция не должна увеличиваться до локального максимума: вместо этого она может колебаться, поэтому не увеличивается и не уменьшается, а просто локальный максимум больше любых значений в небольшой окрестности, чтобы слева или справа от него. Подробности смотрите в патологиях.

Рекомендации

1. «Верна ли теорема Ферма о локальных экстремумах для гладких многообразий?». Обмен стеком. 11 августа 2015 г.. Получено 21 апреля 2017.

внешняя ссылка

• «Теорема Ферма (стационарные точки)». PlanetMath.
• «Доказательство теоремы Ферма (стационарные точки)». PlanetMath.