Уравнение - Equation

Первое использование знака равенства, эквивалентного 14Икс + 15 = 71 в современных обозначениях. Из Точильный камень Витте к Роберт Рекорд Уэльса (1557 г.).^[1]

В математика, уравнение утверждение, которое утверждает равенство из двух выражения, которые связаны знак равенства "=".^[2]^[3]^[4] Слово уравнение и это родственники на других языках может иметь несколько иное значение; например, в Французский ан уравнение определяется как содержащий один или несколько переменные, пока в английский, любое равенство является уравнением.^[5]

Решение уравнение содержащий переменные состоит из определения, какие значения переменных делают равенство истинным. Переменные также называют неизвестные, а значения неизвестных, удовлетворяющие равенству, называются решения уравнения. Есть два вида уравнений: идентичности и условные уравнения. Идентичность истинна для всех значений переменной. Условное уравнение верно только для определенных значений переменных.^[6]^[7]

Уравнение записывается как два выражения, связанных знак равенства ("=").^[3] Выражения на двух стороны знака равенства называются «левой» и «правой частью» уравнения.

Самый распространенный тип уравнения - это алгебраическое уравнение в котором две стороны алгебраические выражения Левая часть алгебраического уравнения будет содержать один или несколько термины. Например, уравнение

{ displaystyle Ax ^ {2} + Bx + C-y = 0}

имеет левую сторону ${ displaystyle Ax ^ {2} + Bx + C-y}$ , в котором четыре члена, а правая часть ${ displaystyle 0}$ , состоящий всего из одного члена. Неизвестные Икс и y, а параметры А, B, и C.

Уравнение аналогично шкале, в которую помещены веса. Когда одинаковые веса чего-либо (например, зерна) помещаются в две чаши, эти два веса приводят к тому, что весы уравновешиваются и считаются равными. Если некоторое количество зерна удаляется из одной чаши весов, такое же количество зерна необходимо удалить из другой чаши, чтобы поддерживать весы в равновесии. В более общем смысле, уравнение остается сбалансированным, если с обеих его сторон выполняется одна и та же операция.

В геометрия, уравнения используются для описания геометрические фигуры. В качестве рассматриваемых уравнений, таких как неявные уравнения или же параметрические уравнения, имеют бесконечно много решений, цель теперь иная: вместо того, чтобы давать решения явно или подсчитывать их, что невозможно, используют уравнения для изучения свойств фигур. Это исходная идея алгебраическая геометрия, важная область математики.

Алгебра изучает два основных семейства уравнений: полиномиальные уравнения и среди них частный случай линейные уравнения. Когда есть только одна переменная, полиномиальные уравнения имеют вид п(Икс) = 0, где п это многочлен, а линейные уравнения имеют вид топор + б = 0, где а и б находятся параметры. Для решения уравнений из любого семейства используются алгоритмические или геометрические методы, основанные на линейная алгебра или же математический анализ. Алгебра также изучает Диофантовы уравнения где коэффициенты и решения равны целые числа. Используемые методы различны и исходят от теория чисел. Эти уравнения в общем сложны; часто ищут только наличие или отсутствие решения и, если они существуют, подсчет количества решений.

Дифференциальные уравнения уравнения, которые включают одну или несколько функций и их производные. Они есть решено найдя выражение для функции, не содержащее производных. Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, которые включают скорость изменения переменной, и используются в таких областях, как физика, химия, биология и экономика.

"= "символ, который встречается в каждом уравнении, был изобретен в 1557 году Роберт Рекорд, считавший, что нет ничего равнее параллельных прямых одинаковой длины.^[1]

Вступление

Аналогичная иллюстрация

Иллюстрация простого уравнения; Икс, y, z являются действительными числами, аналогичными весам.

Уравнение аналогично Весы, баланс или качели.

Каждая сторона уравнения соответствует одной стороне баланса. На каждой стороне могут быть размещены разные количества: если веса на обеих сторонах равны, весы уравновешиваются, и, по аналогии, равенство, которое представляет собой весы, также уравновешивается (если нет, то отсутствие баланса соответствует неравенство представлен неравенство ).

На иллюстрации Икс, y и z все разные величины (в данном случае действительные числа ) в виде круговых гирь, и каждый из Икс, y, и z имеет другой вес. Сложение соответствует добавлению веса, а вычитание - удалению веса из того, что уже есть. При равенстве общий вес с каждой стороны одинаков.

Параметры и неизвестные

Уравнения часто содержат другие термины, кроме неизвестных. Эти другие термины, которые предполагается известен, обычно называют константы, коэффициенты или же параметры.

Пример уравнения, включающего Икс и y как неизвестные и параметр р является

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}.}

Когда р выбирается равным 2 (р = 2), это уравнение будет распознано в Декартовы координаты как уравнение для окружности радиуса 2 вокруг начала координат. Следовательно, уравнение с р undefined - это общее уравнение круга.

Обычно неизвестные обозначаются буквами в конце алфавита, Икс, y, z, ш, ...,^[2] а коэффициенты (параметры) обозначаются буквами в начале, а, б, c, d, .... Например, генерал квадратное уровненеие обычно пишется топор² + bx + c = 0.

Процесс поиска решений или, в случае параметров, выражения неизвестных через параметры, называется решение уравнения. Такие выражения решений через параметры также называются решения.

А система уравнений это набор одновременные уравнения, обычно в нескольких неизвестных, для которых ищутся общие решения. Таким образом, решение системы представляет собой набор значений для каждого из неизвестных, которые вместе образуют решение каждого уравнения в системе. Например, система

{ displaystyle { begin {align} 3x + 5y & = 2 5x + 8y & = 3 end {align}}}

имеет уникальное решение Икс = −1, y = 1.

Идентичности

An личность - это уравнение, которое справедливо для всех возможных значений переменной (переменных), которые оно содержит. Многие тождества известны в алгебре и математике. В процессе решения уравнения тождество часто используется для упрощения уравнения, что делает его более легко решаемым.

В алгебре примером тождества является разница двух квадратов:

{ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = (x + y) (x-y)}

что верно для всех Икс и y.

Тригонометрия это область, где существует много идентичностей; они полезны при манипулировании или решении тригонометрические уравнения. Два из многих, которые связаны с синус и косинус функции:

{ Displaystyle грех ^ {2} ( тета) + соз ^ {2} ( тета) = 1}

и

{ Displaystyle грех (2 тета) = 2 грех ( тета) соз ( тета)}

которые справедливы для всех значений θ.

Например, чтобы найти значение θ который удовлетворяет уравнению:

{ Displaystyle 3 грех ( тета) соз ( тета) = 1 ,,}

куда θ ограничено диапазоном от 0 до 45 градусов, можно использовать вышеуказанный идентификатор для продукта, чтобы дать:

{ Displaystyle { гидроразрыва {3} {2}} грех (2 theta) = 1 ,,}

давая следующее решение для θ:

{ displaystyle theta = { frac {1} {2}} arcsin left ({ frac {2} {3}} right) приблизительно 20,9 ^ { circ}.}

Поскольку синусоидальная функция периодическая функция, существует бесконечно много решений, если нет ограничений на θ. В этом примере ограничение θ значение от 0 до 45 градусов ограничит решение только одним числом.

Характеристики

Два уравнения или две системы уравнений эквивалент, если у них одинаковый набор решений. Следующие операции преобразуют уравнение или систему уравнений в эквивалентную - при условии, что операции имеют смысл для выражений, к которым они применяются:

Добавление или же вычитание одинаковая величина для обеих сторон уравнения. Это показывает, что каждое уравнение эквивалентно уравнению, в котором правая часть равна нулю.
Умножение или же разделение обе части уравнения ненулевой величиной.
Применяя личность чтобы преобразовать одну сторону уравнения. Например, расширение продукт или факторинг сумма.
Для системы: прибавление к обеим сторонам уравнения соответствующей части другого уравнения, умноженной на ту же величину.

Если некоторые функция применяется к обеим сторонам уравнения, результирующее уравнение имеет среди своих решений решения исходного уравнения, но может иметь дополнительные решения, называемые посторонние решения. Например, уравнение ${ displaystyle x = 1}$ есть решение ${ displaystyle x = 1.}$ Возводя обе части в степень 2 (что означает применение функции ${ displaystyle f (s) = s ^ {2}}$ к обеим сторонам уравнения) заменяет уравнение на ${ displaystyle x ^ {2} = 1}$ , который не только имеет предыдущее решение, но также вводит постороннее решение, ${ displaystyle x = -1.}$ Более того, если функция не определена при некоторых значениях (например, 1 /Икс, который не определен для Икс = 0), решения, существующие при этих значениях, могут быть потеряны. Таким образом, следует проявлять осторожность при применении такого преобразования к уравнению.

Приведенные выше преобразования лежат в основе большинства элементарных методов решение уравнения, а также какой-нибудь менее элементарный, например Гауссово исключение.

Алгебра

Полиномиальные уравнения

В решения –1 и 2 из полиномиальное уравнение Икс² – Икс + 2 = 0 это точки, где график из квадратичная функция y = Икс² – Икс + 2 сокращает Икс-ось.

В целом алгебраическое уравнение или же полиномиальное уравнение является уравнением вида

{ displaystyle P = 0}

, или же

{ Displaystyle P = Q}

куда п и Q находятся многочлены с коэффициентами в некоторых поле (например., рациональное число, действительные числа, сложные числа ). Алгебраическое уравнение одномерный если это касается только одного Переменная. С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных, и в этом случае оно называется многомерный (несколько переменных, x, y, z и т. д.). Период, термин полиномиальное уравнение обычно предпочитают алгебраическое уравнение.

Например,

{ displaystyle x ^ {5} -3x + 1 = 0}

является одномерным алгебраическим (полиномиальным) уравнением с целыми коэффициентами и

{ displaystyle y ^ {4} + { frac {xy} {2}} = { frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + y ^ {2} - { frac {1} {7}}}

является многомерным полиномиальным уравнением над рациональными числами.

Некоторые (но не все) полиномиальные уравнения с рациональные коэффициенты есть решение, которое является алгебраическое выражение, с конечным числом операций с участием только этих коэффициентов (т.е. решено алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений степень один, два, три или четыре; но для уравнений пятой степени или более она может быть решена для некоторых уравнений, но, поскольку Теорема Абеля – Руффини демонстрирует, не для всех.

Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективных и точных приближений настоящий или же сложный решения одномерного алгебраического уравнения (см. Нахождение корня многочленов ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Системы линейных уравнений

Девять глав математического искусства анонимная китайская книга, предлагающая метод разрешения линейных уравнений.

А система линейных уравнений (или же линейная система) представляет собой набор линейные уравнения с участием того же набора переменные.^[а] Например,

{ displaystyle { begin {alignat} {7} 3x && ; + ; && 2y && ; - ; && z && ; = ; && 1 & 2x && ; - ; && 2y && ; + ; && 4z && ; = ; && - 2 & - x && ; + ; && { tfrac {1} {2}} y && ; - ; && z && ; = ; && 0 & end {alignat}}}

представляет собой систему трех уравнений от трех переменных $Икс, y, z$ . А решение к линейной системе - это присвоение чисел переменным таким образом, чтобы все уравнения выполнялись одновременно. А решение к системе выше дается

{ Displaystyle { begin {alignat} {2} x & , = , & 1 y & , = , & - 2 z & , = , & - 2 end {alignat}}}

поскольку это делает все три уравнения справедливыми. Слово "система"означает, что уравнения следует рассматривать вместе, а не по отдельности.

В математике теория линейных систем является основой и фундаментальной частью линейная алгебра, предмет, который используется в большинстве разделов современной математики. Вычислительная алгоритмы для поиска решений важная часть числовая линейная алгебра, и играют важную роль в физика, инженерное дело, химия, Информатика, и экономика. А система нелинейных уравнений часто может быть приблизительный линейной системой (см. линеаризация ), полезный прием при создании математическая модель или же компьютерное моделирование относительно сложной системы.

Геометрия

Аналитическая геометрия

А коническая секция есть пересечение плоскости и конуса вращения.

В Евклидова геометрия, можно связать набор координат с каждой точкой в пространстве, например, с помощью ортогональной сетки. Этот метод позволяет характеризовать геометрические фигуры уравнениями. Плоскость в трехмерном пространстве может быть выражена как набор решений уравнения вида ${ displaystyle ax + by + cz + d = 0}$ , куда ${ displaystyle a, b, c}$ и ${ displaystyle d}$ настоящие числа и ${ displaystyle x, y, z}$ - неизвестные, соответствующие координатам точки в системе, заданной ортогональной сеткой. Ценности ${ displaystyle a, b, c}$ - координаты вектора, перпендикулярного плоскости, определяемой уравнением. Линия выражается как пересечение двух плоскостей, то есть как набор решений одного линейного уравнения со значениями в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ или как система решений двух линейных уравнений со значениями в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}.}$

А коническая секция является пересечением конус с уравнением ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$ и самолет. Другими словами, в пространстве все коники определяются как множество решений уравнения плоскости и уравнения только что данного конуса. Этот формализм позволяет определить положение и свойства фокусов коники.

Использование уравнений позволяет обратиться к большой области математики для решения геометрических вопросов. В Декартова координата система превращает геометрическую задачу в задачу анализа, как только фигуры преобразуются в уравнения; таким образом имя аналитическая геометрия. Эта точка зрения, изложенная Декарт, обогащает и изменяет тип геометрии, задуманный древнегреческими математиками.

В настоящее время аналитическая геометрия обозначает активный раздел математики. Хотя он по-прежнему использует уравнения для описания фигур, он также использует другие сложные методы, такие как функциональный анализ и линейная алгебра.

Декартовы уравнения

А Декартова система координат это система координат который определяет каждый точка уникально в самолет парой числовой координаты, которые являются подписанный расстояния от точки до двух фиксированных перпендикуляр направленные линии, отмеченные одинаковыми единица длины.

По тому же принципу можно указать положение любой точки в трехразмерный Космос за счет использования трех декартовых координат, которые представляют собой расстояния со знаком до трех взаимно перпендикулярных плоскостей (или, что то же самое, путем его перпендикулярной проекции на три взаимно перпендикулярные линии).

Декартова система координат с окружностью радиуса 2 с центром в начале координат, отмеченной красным. Уравнение круга: (Икс − а)² + (y − б)² = р² куда а и б координаты центра (а, б) и р это радиус.

Изобретение декартовых координат в 17 веке Рене Декарт (Латинизированный имя: Картезий) произвела революцию в математике, предоставив первую систематическую связь между Евклидова геометрия и алгебра. Используя декартову систему координат, геометрические фигуры (например, кривые ) можно описать как Декартовы уравнения: алгебраические уравнения, включающие координаты точек, лежащих на фигуре. Например, окружность радиуса 2 на плоскости с центром в конкретной точке, называемой началом координат, может быть описана как набор всех точек, координаты которых Икс и y удовлетворяют уравнению Икс² + y² = 4.

Параметрические уравнения

А параметрическое уравнение для изгиб выражает координаты точек кривой как функции Переменная, называется параметр.^[8]^[9] Например,

{ displaystyle { begin {align} x & = cos t y & = sin t end {align}}}

являются параметрическими уравнениями для единичный круг, куда т это параметр. Вместе эти уравнения называются параметрическое представление кривой.

Понятие параметрическое уравнение был обобщен на поверхности, коллекторы и алгебраические многообразия высшего измерение, при этом количество параметров равно размерности многообразия или многообразия, а количество уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность равна один и один параметр используется для размера поверхностей два и два параметры и т. д.).

Теория чисел

Диофантовы уравнения

А Диофантово уравнение это полиномиальное уравнение в двух или более неизвестных, для которых только целое число решения ищутся (целочисленное решение - это такое решение, в котором все неизвестные принимают целые значения). А линейное диофантово уравнение представляет собой уравнение между двумя суммами мономы из степень ноль или один. Пример линейное диофантово уравнение является $топор + к = c$ куда а, б, и c являются константами. An экспоненциальное диофантово уравнение - это такое, для которого показатели членов уравнения могут быть неизвестны.

Диофантовы проблемы иметь меньше уравнений, чем неизвестные переменные, и включать поиск целых чисел, которые правильно работают для всех уравнений. Говоря более техническим языком, они определяют алгебраическая кривая, алгебраическая поверхность, или более общий объект, и спросите о точки решетки в теме.

Слово Диофантин относится к Эллинистический математик III века, Диофант из Александрия, который изучил такие уравнения и был одним из первых математиков, которые представили символизм в алгебра. Математическое исследование диофантовых проблем, начатое Диофантом, теперь называется Диофантов анализ.

Алгебраические и трансцендентные числа

An алгебраическое число число, которое является решением ненулевого полиномиальное уравнение в одной переменной с рациональный коэффициенты (или эквивалентно - по расчетные знаменатели - с целое число коэффициенты). Такие числа, как $π$ которые не являются алгебраическими, называются трансцендентный. Почти все настоящий и сложный числа трансцендентны.

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия это филиал математика, классически изучая решения полиномиальные уравнения. Современная алгебраическая геометрия основана на более абстрактных методах абстрактная алгебра, особенно коммутативная алгебра, с языком и проблемами геометрия.

Основными объектами изучения алгебраической геометрии являются: алгебраические многообразия, которые являются геометрическими проявлениями решения из системы полиномиальных уравнений. Примеры наиболее изученных классов алгебраических многообразий: плоские алгебраические кривые, который включает в себя линии, круги, параболы, эллипсы, гиперболы, кубические кривые подобно эллиптические кривые и кривые четвертой степени, такие как лемнискаты, и Кассини овалы. Точка на плоскости принадлежит алгебраической кривой, если ее координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению. Основные вопросы включают изучение точек, представляющих особый интерес, таких как особые точки, то точки перегиба и указывает на бесконечность. Более сложные вопросы включают топология кривой и соотношений между кривыми, заданными различными уравнениями.

Дифференциальные уравнения

А странный аттрактор, возникающий при решении некоторого дифференциальное уравнение

А дифференциальное уравнение это математический уравнение, которое связывает некоторые функция с этими производные. В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорости их изменения, а уравнение определяет взаимосвязь между ними. Поскольку такие отношения чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения играют важную роль во многих дисциплинах, включая физика, инженерное дело, экономика, и биология.

В чистая математика, дифференциальные уравнения изучаются с нескольких различных точек зрения, в основном связанных с их решениями - набором функций, которые удовлетворяют уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения решаются по явным формулам; однако некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения могут быть определены без нахождения их точного вида.

Если автономная формула для решения недоступна, решение может быть численно аппроксимировано с помощью компьютеров. Теория динамические системы делает упор на качественный анализ систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как многие численные методы были разработаны для определения решений с заданной степенью точности.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

An обыкновенное дифференциальное уравнение или же ODE уравнение, содержащее функцию одного независимая переменная и его производные. Период, термин "обычный"используется в отличие от термина уравнение в частных производных, что может быть относительно больше, чем одна независимая переменная.

Линейные дифференциальные уравнения, решения которых можно складывать и умножать на коэффициенты, хорошо определены и поняты, и получены точные решения в замкнутой форме. Напротив, ОДУ, в которых отсутствуют аддитивные решения, являются нелинейными, и их решение гораздо сложнее, поскольку их редко можно представить в виде элементарные функции в закрытой форме: вместо этого точные и аналитические решения ОДУ представлены в последовательной или интегральной форме. Графический и числовой Методы, применяемые вручную или с помощью компьютера, могут приближать решения ОДУ и, возможно, давать полезную информацию, которой часто бывает достаточно при отсутствии точных аналитических решений.

Уравнения с частными производными

А уравнение в частных производных (PDE) это дифференциальное уравнение что содержит неизвестное функции с несколькими переменными и их частные производные. (Это в отличие от обыкновенные дифференциальные уравнения, которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) PDE используются для формулировки задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются вручную, либо используются для создания соответствующих компьютерная модель.

PDE можно использовать для описания широкого спектра явлений, таких как звук, высокая температура, электростатика, электродинамика, поток жидкости, эластичность, или же квантовая механика. Эти, казалось бы, различные физические явления могут быть формализованы аналогичным образом в терминах PDE. Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы, уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы. PDE находят свое обобщение в стохастические уравнения в частных производных.

Типы уравнений

Уравнения можно классифицировать по типам операции и задействованные количества. Важные типы включают:

An алгебраическое уравнение или же многочлен уравнение - это уравнение, в котором обе части являются многочленами (см. также система полиномиальных уравнений ). Далее они классифицируются по степень:
- линейное уравнение для степени один
- квадратное уровненеие для степени два
- кубическое уравнение для третьей степени
- уравнение четвертой степени для четвертой степени
- уравнение пятой степени для пятой степени
- шестнадцатеричное уравнение для шестой степени
- септическое уравнение для степени семь
- октическое уравнение для восьмой степени
А Диофантово уравнение уравнение, в котором неизвестные должны быть целые числа
А трансцендентное уравнение это уравнение, включающее трансцендентная функция его неизвестных
А параметрическое уравнение это уравнение, в котором решения для переменных выражаются как функции некоторых других переменных, называемых параметры входящие в уравнения
А функциональное уравнение уравнение, в котором неизвестные функции а не простые количества
Уравнения с производными, интегралами и конечными разностями:
- А дифференциальное уравнение функциональное уравнение, включающее производные неизвестных функций, где функция и ее производные вычисляются в одной точке, например ${ Displaystyle F '(х) = х ^ {2}}$ . Дифференциальные уравнения подразделяются на обыкновенные дифференциальные уравнения для функций одной переменной и уравнения в частных производных для функций от нескольких переменных
- An интегральное уравнение - функциональное уравнение, включающее первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от дифференциального уравнения, прежде всего, заменой переменной, заменяющей функцию ее производной, однако это не тот случай, когда интеграл берется по открытой поверхности.
- An интегро-дифференциальное уравнение функциональное уравнение, включающее как производные и первообразные неизвестных функций. Для функций одной переменной такое уравнение отличается от интегральных и дифференциальных уравнений аналогичной заменой переменной.
- А функционально-дифференциальное уравнение из дифференциальное уравнение с запаздыванием является функциональным уравнением, включающим производные неизвестных функций, оцениваемых в нескольких точках, таких как ${ Displaystyle е '(х) = е (х-2)}$
- А разностное уравнение это уравнение, в котором неизвестное является функцией ж что входит в уравнение через ж(Икс), ж(Икс−1), ..., ж(Икс−k), для некоторого целого числа k называется порядок уравнения. Если Икс ограничено целым числом, разностное уравнение совпадает с отношение повторения
- А стохастическое дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением, в котором один или несколько членов являются случайный процесс

Смотрите также

Примечания

^ Предмет этой статьи - основы математики, и ей посвящено множество учебников. Среди них Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005 содержат материал для данной статьи.

внешняя ссылка

Winplot: Универсальный плоттер, который может рисовать и анимировать 2D и 3D математические уравнения.
Плоттер уравнений: Веб-страница для создания и загрузки pdf- или postscript-графиков наборов решений для уравнений и неравенств с двумя переменными (Икс и y).

[8] Предмет этой статьи - основы математики, и ей посвящено множество учебников. Среди них Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005 содержат материал для данной статьи.

[Whetstone-1] а ^б Рекорд, Роберт, Точильный камень Витте … (Лондон, Англия: Джон Кингстон, 1557 г.), третья страница главы «Правило уравнения, обычно называемое правилом Алгебера».

[:0-2] а ^б «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-09-01.

[:1-3] а ^б «Уравнение - открытый справочник по математике». www.mathopenref.com. Получено 2020-09-01.

[4] «Уравнения и формулы». www.mathsisfun.com. Получено 2020-09-01.

[5] Маркус, Соломон; Ватт, Стивен М. "Что такое уравнение?". Получено 2019-02-27.

[6] Лашо, Жиль. "Équation, mathématique". Encyclopdia Universalis (На французском).

[7] "Заявление о равенстве двух выражений. Уравнения бывают двух типов: идентичности и условные уравнения (или обычно просто «уравнения») «.Уравнение ", в Математический словарь, Гленн Джеймс [де ] et Роберт С. Джеймс [де ] (ред.), Ван Ностранд, 1968, 3 изд. 1-е изд. 1948, стр. 131.

[9] Томас, Джордж Б. и Финни, Росс Л., Исчисление и аналитическая геометрия, Addison Wesley Publishing Co., пятое издание, 1979 г., стр. 91.

[10] Вайсштейн, Эрик У. "Параметрические уравнения". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[а]

[8]

[9]