Теорема Абеля – Руффини - Abel–Ruffini theorem

Не путать с Теорема Абеля.

В математика, то Теорема Абеля – Руффини (также известен как Теорема невозможности Абеля) утверждает, что нет раствор в радикалах генералу полиномиальные уравнения из пятая степень или выше с произвольным коэффициенты. Вот, Общее означает, что коэффициенты уравнения рассматриваются и обрабатываются как неопределенный.

Теорема названа в честь Паоло Руффини, который сделал неполное доказательство в 1799 г.,^[1] и Нильс Хенрик Абель, который предоставил доказательство в 1824 году.^[2][3]

Теорема Абеля – Руффини относится также к немного более сильному результату, заключающемуся в том, что существуют уравнения пятой степени и выше, которые нельзя решить с помощью радикалов. Это не следует из утверждения Абеля теоремы, но является следствием его доказательства, так как его доказательство основано на том факте, что некоторые многочлены в коэффициентах уравнения не являются нулевым многочленом. Это улучшенное утверждение следует непосредственно из Теория Галуа § Неразрешимый квинтический пример. Теория Галуа также предполагает, что

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

- простейшее уравнение, которое нельзя решить в радикалах, и что почти все многочлены пятой степени и выше не могут быть решены в радикалах.

Невозможность решения в пятой и более высокой степени контрастирует со случаем более низкой степени: квадратичная формула, то кубическая формула, а формула четвертой степени для второй, третьей и четвертой степеней соответственно.

Контекст

Полиномиальные уравнения степени два можно решить с помощью квадратичная формула, который известен с древность. Аналогичным образом кубическая формула для третьей степени и формула четвертой степени для четвертой степени были найдены в 16 веке. В то время фундаментальная проблема заключалась в том, можно ли аналогичным образом решить уравнения более высокой степени.

Тот факт, что каждое полиномиальное уравнение положительной степени имеет решения, возможно, ненастоящий, утверждалось еще в 17 веке, но полностью подтвердилось только в начале 19 века. Это основная теорема алгебры. Эта теорема не дает никаких инструментов для точного вычисления решений, но Метод Ньютона позволяет аппроксимировать их с любой желаемой точностью.

С 16 по начало 19 века основной проблемой алгебры был поиск формулы для решений полиномиальных уравнений пятой и более высокой степени, отсюда и название «фундаментальная теорема алгебры». Это означало раствор в радикалах, то есть выражение с участием только коэффициентов уравнения, а операции дополнение, вычитание, умножение, деление, и пизвлечение корня th.

Теорема Абеля – Руффини доказывает, что это невозможно. Однако это не означает, что конкретное уравнение любой степени не может быть решено в радикалах. Напротив, есть уравнения любой степени, которые можно решить в радикалах. Это случай уравнения ${\displaystyle x^{n}-1=0}$ для любого п, и уравнения, определяемые циклотомические многочлены, все решения которой выражаются в радикалах.

Доказательство теоремы Абелем не содержит явного утверждения о том, что существуют конкретные уравнения, которые нельзя решить радикалами. Такое утверждение не является следствием утверждения Абеля теоремы, поскольку это утверждение не исключает возможности того, что «каждая конкретная уравнение пятой степени может быть разрешимым, со специальной формулой для каждого уравнения ».^[4] Однако существование конкретных уравнений, которые не могут быть решены в радикалах, кажется следствием доказательства Абеля, поскольку доказательство использует тот факт, что некоторые многочлены в коэффициентах не являются нулевыми многочленами, и, учитывая конечное число многочленов, существует являются значениями переменных, при которых ни один из полиномов не принимает нулевое значение.

Вскоре после того, как Абель опубликовал свое доказательство, Эварист Галуа представил теорию, которая теперь называется Теория Галуа который позволяет решить для любого данного уравнения, разрешимо ли оно в радикалах (это теоретически, так как на практике это решение может потребовать огромных вычислений, которые могут быть трудными даже с мощными компьютеры ). Это решение принимается введением вспомогательных многочленов, называемых противовоспалительные средства, коэффициенты которого полиномиально зависят от коэффициентов исходного многочлена. Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда некоторая резольвента имеет рациональный корень.

Доказательство

Следующее доказательство основано на Теория Галуа и это действительно для любого поля характеристика 0. Исторически сложилось так, что Руффини^[1] и доказательства Абеля предшествуют теории Галуа. Современное представление доказательства Абеля см. В статье Розен^[5] или книги Тиньола^[6] или Пешич.^[7]

Одна из основных теорем теории Галуа утверждает, что многочлен ${\displaystyle P(x)\in F\left[x\right]}$ разрешима радикалами над ${\displaystyle F}$ если и только если это поле расщепления ${\displaystyle K}$ над ${\displaystyle F}$ имеет разрешимый Группа Галуа,^[8] так что доказательство теоремы Абеля – Руффини сводится к вычислению группы Галуа общего многочлена пятой степени и показу, что она неразрешима.

Рассмотрим пять неопределенный ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}}$, и ${\displaystyle y_{5}}$, позволять ${\displaystyle E=\mathbf {Q} \left(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5}\right)}$, и разреши

${\displaystyle P(x)=\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\left(x-y_{3}\right)\left(x-y_{4}\right)\left(x-y_{5}\right)\in E[x]}$.

Расширение ${\displaystyle P(x)}$ из дает элементарный симметричные функции из ${\displaystyle y_{i}}$:

${\displaystyle s_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}}$,

${\displaystyle s_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{1}y_{4}+y_{1}y_{5}+y_{2}y_{3}+y_{2}y_{4}+y_{2}y_{5}+y_{3}y_{4}+y_{3}y_{5}+y_{4}y_{5}}$,

${\displaystyle s_{3}=y_{1}y_{2}y_{3}+y_{1}y_{2}y_{4}+y_{1}y_{2}y_{5}+y_{1}y_{3}y_{4}+y_{1}y_{3}y_{5}+y_{1}y_{4}y_{5}+y_{2}y_{3}y_{4}+y_{2}y_{3}y_{5}+y_{2}y_{4}y_{5}+y_{3}y_{4}y_{5}}$,

${\displaystyle s_{4}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}+y_{1}y_{2}y_{3}y_{5}+y_{1}y_{2}y_{4}y_{5}+y_{1}y_{3}y_{4}y_{5}+y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}}$,

${\displaystyle s_{5}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}}$.

Коэффициент ${\displaystyle x^{n}}$ в ${\displaystyle P(x)}$ таким образом ${\displaystyle (-1)^{5-n}s_{5-n}}$. Позволять ${\displaystyle F=\mathbf {Q} (s_{1},s_{2},s_{3},s_{4},s_{5})}$ - поле, полученное присоединением элементарных симметричных функций к рациональным числам. потом ${\displaystyle P(x)\in F\left[x\right]}$. Поскольку ${\displaystyle y_{i}}$являются неопределенными, каждая перестановка ${\displaystyle \sigma }$ в симметричной группе по 5 букв ${\displaystyle S_{5}}$ вызывает отчетливую автоморфизм ${\displaystyle \sigma '}$ на ${\displaystyle E}$ что оставляет ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ фиксирует и переставляет элементы ${\displaystyle y_{i}}$. Поскольку произвольная перестановка корней формы продукта по-прежнему дает тот же полином, например,

${\displaystyle \left(x-y_{3}\right)\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\left(x-y_{5}\right)\left(x-y_{4}\right)}$

тот же полином, что и

${\displaystyle \left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\left(x-y_{3}\right)\left(x-y_{4}\right)\left(x-y_{5}\right)}$,

автоморфизмы ${\displaystyle \sigma '}$ также оставить ${\displaystyle F}$ фиксировано, поэтому они являются элементами группы Галуа ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$. Таким образом, мы показали, что ${\displaystyle S_{5}\subseteq \operatorname {Gal} (E/F)}$; однако там могут быть автоморфизмы, которых нет в ${\displaystyle S_{5}}$. Но поскольку группа Галуа поля разложения полинома пятой степени имеет не более ${\displaystyle 5!}$ элементы, и поскольку ${\displaystyle E}$ является полем расщепления ${\displaystyle P(x)}$, это следует из того ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$ является изоморфный к ${\displaystyle S_{5}}$. Обобщение этого рассуждения показывает, что группа Галуа любого общего многочлена степени ${\displaystyle n}$ изоморфен ${\displaystyle S_{n}}$.

Единственный серия композиций из ${\displaystyle S_{5}}$ является ${\displaystyle S_{5}\geq A_{5}\geq \lbrace e\rbrace }$ (где ${\displaystyle A_{5}}$ это переменная группа на пяти буквах, также известных как группа икосаэдров ). Однако факторгруппа ${\displaystyle A_{5}/\lbrace e\rbrace }$ (изоморфен ${\displaystyle A_{5}}$ сам) не абелевский, и так ${\displaystyle S_{5}}$ неразрешима, значит, общий многочлен пятой степени не имеет решения в радикалах. Поскольку первая нетривиальная нормальная подгруппа симметрической группы на${\displaystyle n}$ буквы всегда чередующиеся группы на${\displaystyle n}$ буквы, а поскольку знакопеременные группы на${\displaystyle n}$ письма для ${\displaystyle n\geq 5}$ всегда просто и неабелев, и, следовательно, не разрешимый, он также говорит, что общие многочлены всех степеней выше пятой также не имеют решения в радикалах. Q.E.D.

Приведенная выше конструкция группы Галуа для полинома пятой степени применима только к общий многочлен; конкретные многочлены пятой степени могут иметь разные группы Галуа с совершенно разными свойствами, например, ${\displaystyle x^{5}-1}$ имеет поле расщепления, порожденное примитивный корень пятой степени из единства, следовательно, его группа Галуа абелева, а само уравнение разрешимо в радикалах; более того, аргумент не дает никакой рациональнозначной квинтики, которая имеет ${\displaystyle S_{5}}$ или ${\displaystyle A_{5}}$ как его группа Галуа. Однако, поскольку результат относится к общему многочлену, он говорит, что общая «формула пятой степени» для корней пятерки, использующая только конечную комбинацию арифметических операций и радикалов в терминах коэффициентов, невозможна.

Доказательство недействительно, если применить его к многочленам, степень которых меньше 5. В самом деле:

• группа ${\displaystyle A_{4}}$ является не простой, потому что подгруппа ${\displaystyle \{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$, изоморфный Кляйн четыре группы, - нормальная подгруппа;
• группы ${\displaystyle A_{2}}$ и ${\displaystyle A_{3}}$ находятся простые, но поскольку они тоже абелевы (${\displaystyle A_{2}}$ - тривиальная группа и ${\displaystyle A_{3}}$ это циклическая группа порядка 3), это не проблема.

Доказательство остается в силе, если вместо работы с пятью неопределенными один работает с пятью конкретными объектами. алгебраически независимый комплексные числа, потому что по тому же аргументу${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)=S_{5}}$.

История

Около 1770 г. Жозеф Луи Лагранж начал работу, которая объединила множество различных приемов, которые использовались до этого для решения уравнений, связывая их с теорией групп перестановки, в виде Резольвенты Лагранжа.^[9] Эта новаторская работа Лагранжа была предшественницей теории Галуа, и ее неспособность разработать решения для уравнений пятой и более высоких степеней намекала на то, что такие решения могут быть невозможны, но не предоставила убедительных доказательств. Первым, кто предположил, что проблему решения квинтик радикалами, возможно, невозможно решить, был Карл Фридрих Гаусс, который написал в 1798 году в разделе 359 своей книги Disquisitiones Arithmeticae (который будет опубликован только в 1801 году), что «мало сомнений в том, что эта проблема не столько бросает вызов современным методам анализа, сколько предполагает невозможное». В следующем году в его Тезис он писал: «После того, как труды многих геометров оставили мало надежды когда-либо прийти к разрешению общего уравнения алгебраически, становится все более и более вероятным, что это решение невозможно и противоречиво». И добавил: «Возможно, будет не так сложно доказать со всей строгостью невозможность пятой степени. Я изложу свои исследования по этому поводу более подробно в другом месте». Собственно, больше ничего по этому поводу Гаусс не опубликовал.^[1]

Паоло Руффини, Teoria generale delle equazioni, 1799

Теорема была впервые почти доказана Паоло Руффини в 1799 г.^[10] Он послал свое доказательство нескольким математикам, чтобы они признали его, среди них Лагранж (который не ответил) и Огюстен-Луи Коши, который прислал ему письмо, в котором говорилось: "Ваши мемуары об общем решении уравнений - это работа, которую, как я всегда считал, следует иметь в виду математикам и которая, на мой взгляд, убедительно доказывает алгебраическую неразрешимость общих уравнений высшего четвертая степень ".^[11] Однако в целом доказательство Руффини не было сочтено убедительным. Абель писал: «Первым и, если не ошибаюсь, единственным, кто до меня пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений, был математик Руффини. Но его мемуары настолько сложны, что очень трудно определить обоснованность его аргумента. Мне кажется, что его аргумент не полностью удовлетворителен ».^[11][12]

Доказательство также, как выяснилось позже, было неполным. Руффини предположил, что все радикалы, с которыми он имел дело, могут быть выражены из корней многочлена, используя только полевые операции; Говоря современным языком, он предположил, что радикалы принадлежат полю расщепления полинома. Чтобы понять, почему это действительно лишнее предположение, рассмотрим, например, многочлен ${\displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}$. Согласно с Формула Кардано, один из его корней (на самом деле все они) можно выразить как сумму кубического корня из ${\displaystyle 10+5i}$ с кубическим корнем из ${\displaystyle 10-5i}$. С другой стороны, поскольку ${\displaystyle P(-3)<0}$, ${\displaystyle P(-2)>0}$, ${\displaystyle P(-1)<0}$, и ${\displaystyle P(5)>0}$, корни ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, и ${\displaystyle r_{3}}$ из ${\displaystyle P(x)}$ все реальны, и поэтому поле ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$ является подполем ${\displaystyle \mathbf {R} }$. Но тогда числа ${\displaystyle 10\pm 5i}$ не может принадлежать ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$. Хотя Коши либо не заметил предположение Руффини, либо посчитал его второстепенным, большинство историков полагают, что доказательство не было полным, пока Абель не доказал теорему о естественной иррациональности, которая утверждает, что это предположение выполняется в случае общих многочленов.^[6][13] Таким образом, теорему Абеля – Руффини обычно приписывают Абелю, который опубликовал в 1824 году доказательство, сжатое всего на шесть страниц.^[2] (Авель использовал очень лаконичный стиль, чтобы сэкономить бумагу и деньги: проба была напечатана за его счет.^[7]Более подробная версия доказательства будет опубликована в 1826 году.^[3]

Доказательство того, что уравнения общей пятой (и более высокой степени) неразрешимы с помощью радикалов, не решило полностью вопрос, поскольку теорема Абеля – Руффини не дает необходимых и достаточных условий для точного определения того, какие уравнения пятой степени (и выше) неразрешимы с помощью радикалов. Абель работал над полной характеристикой, когда умер в 1829 году.^[14]

Согласно с Натан Джейкобсон «Доказательства Руффини и Абеля [...] вскоре были заменены венцом этого направления исследований: открытиями Галуа в теории уравнений».^[8] В 1830 году Галуа (в возрасте 18 лет) подчинился Парижская академия наук мемуары о его теории разрешимости радикалами, которая была в конечном итоге отвергнута в 1831 году как слишком схематичная и из-за того, что давала условие в терминах корней уравнения вместо его коэффициентов. Галуа был осведомлен о вкладе Руффини и Абеля, поскольку он писал: «Сегодня общепринятая истина заключается в том, что общее уравнение степени больше, чем 4 не могут быть решены радикалами ... эта истина стала общепринятой (по слухам), несмотря на то, что геометры проигнорировали доказательства Абеля и Руффини ... "^[1] Затем Галуа умер в 1832 году, и его статья Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux^[15] оставался неопубликованным до 1846 г., когда он был опубликован Джозеф Лиувиль сопровождается некоторыми из его собственных объяснений.^[14] Перед этой публикацией Лиувиль объявил академии результат Галуа в речи, которую он произнес 4 июля 1843 года.^[4] Упрощение доказательства Абеля было опубликовано Пьер Ванцель в 1845 г.^[16] Когда он опубликовал его, он уже знал о вкладе Галуа, и он упоминает, что, в то время как доказательство Абеля справедливо только для общих многочленов, подход Галуа можно использовать для получения конкретного многочлена степени 5, корни которого не могут быть выражены в радикалах. от его коэффициентов.

В 1963 г. Владимир Арнольд обнаружил топологическое доказательство теоремы Абеля – Руффини,^[17][18][19] который послужил отправной точкой для топологическая теория Галуа.^[20]

использованная литература

1. Аюб, Раймонд Г. (1980), «Вклад Паоло Руффини в Quintic», Архив истории точных наук, 22 (3): 253–277, Дои:10.1007 / BF00357046, JSTOR  41133596, Г-Н  0606270, Zbl  0471.01008
2. Абель, Нильс Хенрик (1881) [1824], "Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'énérale du cinquième degré" (PDF), в Силов, Людвиг; Ложь, Софус (ред.), Uvres Complètes de Niels Хенрик Абель (На французском), я (2-е изд.), Grøndahl & Søn, стр. 28–33
3. Абель, Нильс Хенрик (1881) [1826], "Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré" (PDF), в Силов, Людвиг; Ложь, Софус (ред.), Uvres Complètes de Niels Хенрик Абель (На французском), я (2-е изд.), Grøndahl & Søn, стр. 66–87
4. Стюарт, Ян (2015), «Историческое введение», Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-4822-4582-0
5. Розен, Майкл И. (1995), «Нильс Хендрик Абель и уравнения пятой степени», Американский математический ежемесячный журнал, 102 (6): 495–505, Дои:10.2307/2974763, JSTOR  2974763, Г-Н  1336636, Zbl  0836.01015
6. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Руффини и Абель об общих уравнениях», Теория Галуа алгебраических уравнений (2-е изд.), Всемирный научный, ISBN  978-981-4704-69-4, Zbl  1333.12001
7. Пешич, Питер (2004), Доказательство Абеля: очерк об источниках и значении математической неразрешимости, Кембридж: MIT Press, ISBN  0-262-66182-9, Zbl  1166.01010
8. Джейкобсон, Натан (2009), "Теория уравнений Галуа", Основы алгебры, 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47189-1
9. Лагранж, Жозеф-Луи (1869) [1771], «Рефлексии на основе альтернативного решения уравнений», в Серре, Жозеф-Альфред (ред.), Uvres de Lagrange, III, Готье-Виллар, стр. 205–421.
10. Руффини, Паоло (1799), Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impssibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al Quarto (на итальянском языке), Stamperia di S. Tommaso d'Aquino
11. Кирнан, Б. Мелвин (1971), "Развитие теории Галуа от Лагранжа до Артина", Архив истории точных наук, 8 (1/2): 40–154, Дои:10.1007 / BF00327219, JSTOR  41133337
12. Абель, Нильс Хенрик (1881) [1828], "Sur la algébrique des équations" (PDF), в Силов, Людвиг; Ложь, Софус (ред.), Uvres Complètes de Niels Хенрик Абель (На французском), II (2-е изд.), Grøndahl & Søn, стр. 217–243
13. Стюарт, Ян (2015), «Идея теории Галуа», Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-4822-4582-0
14. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Галуа», Теория Галуа алгебраических уравнений (2-е изд.), Всемирный научный, ISBN  978-981-4704-69-4, Zbl  1333.12001
15. Галуа, Эварист (1846), "Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux" (PDF), Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), XI: 417–433
16. Вантзель, Пьер (1845), "Démonstration de l'impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux", Nouvelles Annales de Mathématiques (На французском), 4: 57–65
17. Алексеев, В. Б. (2004), Теорема Абеля в задачах и решениях: на основе лекций профессора В. И. Арнольда, Kluwer Academic Publishers, ISBN  1-4020-2186-0, Zbl  1065.12001
18. "Краткое доказательство теоремы Абеля о неразрешимости полиномиальных уравнений 5-й степени" на YouTube
19. Гольдмахер, Лев, Элементарное доказательство неразрешимости квинтики Арнольда (PDF)
20. Хованский, Аскольд (2014), Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечных членах, Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-38871-2, ISBN  978-3-642-38870-5