Неопределенный (переменный) - Indeterminate (variable)

В математика, и / или особенно в формальных алгебра, неопределенный - это символ, который рассматривается как переменная, не обозначает ничего, кроме самого себя, и часто используется в качестве заполнителя в таких объектах, как многочлены и формальный степенной ряд.[1][2][3] Особенно:

  • Он не обозначает константу или параметр проблемы.
  • Неизвестно, что можно решить.
  • Это не Переменная обозначение аргумента функции или суммируемой или интегрированной переменной.
  • Это не какой-то тип связанная переменная.
  • Это просто символ, используемый в формальном смысле.[4]

Полиномы

Многочлен от неопределенного является выражением формы , где называются коэффициенты полинома. Два таких многочлена равны, только если равны соответствующие коэффициенты.[5] Напротив, две полиномиальные функции от переменной могут быть равны или не равны при определенном значении .

Например, функции

равны, когда и не равно в противном случае. Но два полинома

не равны, так как 2 не равно 5, а 3 не равно 2. На самом деле,

не держит пока не и . Это потому что не является числом и не обозначает его.

Различие тонкое, так как многочлен от можно изменить на функцию в путем подстановки. Но различие важно, потому что при такой замене информация может быть потеряна. Например, при работе в по модулю 2, у нас есть это:

так что полиномиальная функция тождественно равно 0 для имеющее любое значение в системе по модулю 2. Однако полином не является нулевым многочленом, так как коэффициенты 0, 1 и -1, соответственно, не все равны нулю.

Формальный степенной ряд

А формальный степенной ряд в неопределенном является выражением формы , где символу не присвоено никакого значения .[6] Это похоже на определение полинома, за исключением того, что бесконечное число коэффициентов может быть отличным от нуля. в отличие от степенной ряд встречается в математике, вопросы конвергенция не имеют значения (поскольку здесь нет задействованной функции). Итак, степенной ряд, расходящийся при значениях , Такие как , разрешены.

Как генераторы

Индетерминанты полезны в абстрактная алгебра для создания математические структуры. Например, учитывая поле , множество многочленов с коэффициентами в это кольцо многочленов с сложение и умножение полиномов как операции. В частности, если два неопределенных и используются, то кольцо многочленов также использует эти операции, и по соглашению .

Неопределенные значения также можно использовать для создания свободная алгебра через коммутативное кольцо . Например, с двумя неопределенными и , свободная алгебра включает суммы строк в и , с коэффициентами в , и с пониманием того, что и не обязательно идентичны (поскольку свободная алгебра по определению некоммутативна).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - неопределенный". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-02.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Неопределенный". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-02.
  3. ^ "Определение: кольцо многочленов / неопределенность - ProofWiki". proofwiki.org. Получено 2019-12-02.
  4. ^ Маккой (1973), стр.189, 190)
  5. ^ Херштейн 1975, Раздел 3.9.
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Формальная силовая серия". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-02.

Рекомендации

  • Герштейн, И. Н. (1975). Темы по алгебре. Вайли.
  • Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание, Бостон: Аллин и Бэкон, LCCN  68015225

Эта статья включает материалы с неопределенного по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.