Полиномиальная арифметика - Polynomial arithmetic - Wikipedia

Полиномиальная арифметика это филиал алгебра имея дело с некоторыми свойствами многочлены которые имеют сильные аналогии со свойствами теория чисел относительно целых чисел и включает основные математические операции, такие как добавление, вычитание, и умножение, а также более сложные операции, такие как Евклидово деление, и свойства, связанные с корнями многочленов. Последние, по сути, связаны с тем, что множество K[Икс] из одномерный многочлены с коэффициентами в поле K это коммутативное кольцо, например, кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Элементарные операции над многочленами

Сложение и вычитание двух многочленов выполняется сложением или вычитанием соответствующих коэффициенты. Если

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i};g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}}$

то сложение определяется как

${\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{i=0}^{m}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$ где m> n

Умножение выполняется так же, как сложение и вычитание, но вместо этого путем умножения соответствующих коэффициентов. Если ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i};g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}}$ то умножение определяется как ${\displaystyle f(x)\times g(x)=\sum _{i=0}^{n+m}c_{i}x^{i}}$ куда ${\displaystyle c_{k}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}}$. Обратите внимание, что мы лечим ${\displaystyle a_{i}}$ как ноль для ${\displaystyle i>n}$ и что степень продукта равна сумма степеней двух многочленов.

Расширенная арифметика полиномов и сравнение с теорией чисел

Многие увлекательные свойства многочленов можно найти, когда благодаря базовым операциям, которые могут быть выполнены с двумя многочленами и лежащими в их основе коммутативное кольцо При построении множества, в котором они живут, пытаются применить рассуждения, аналогичные известным из теории чисел.

Чтобы увидеть это, сначала нужно ввести два понятия: понятие корень полинома и делимость для пар многочленов.

Если рассматривать полином ${\displaystyle P}$ одной переменной Икс в поле K (обычно ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {C} }$), а с коэффициентами в этом поле корень ${\displaystyle r}$ из ${\displaystyle P}$ является элементом K такой, что

${\displaystyle P(r)=0}$

Второе понятие, делимость многочленов, позволяет увидеть первую аналогию с теорией чисел: многочлен ${\displaystyle B}$ Говорят, что делит другой многочлен ${\displaystyle A}$ когда последнее можно записать как

${\displaystyle A=BC}$

где C ТАКЖЕ является полиномом. Это определение аналогично делимости для целых чисел и тому факту, что ${\displaystyle B}$ разделяет ${\displaystyle A}$ также обозначается ${\displaystyle B|A}$.

Связь между обеими вышеупомянутыми концепциями возникает, если замечать следующее свойство: ${\displaystyle r}$ это корень ${\displaystyle P}$ если и только если ${\displaystyle (X-r)|P}$. В то время как одно логическое включение («если») очевидно, другое («только если») опирается на более сложную концепцию, Евклидово деление многочленов, здесь снова сильно напоминающий Евклидово деление целых чисел.

Отсюда следует, что можно определить простые многочлены, как многочлены, которые не могут быть разделены никакими другими многочленами, кроме 1 и самих себя (с точностью до общего постоянного множителя) - здесь снова проявляется аналогия с простыми целыми числами, и позволяет, чтобы некоторые из основных определений и теорем, относящихся к простым числам и числам Теория имеет аналог в алгебре полиномов. Самый главный результат - это основная теорема алгебры, что позволяет факторизовать любой многочлен как произведение простых. Стоит упомянуть также Личность Безу в контексте многочленов. Он утверждает, что два заданных многочлена P и Q имеют как наибольший общий делитель (НОД) третий многочлен D (тогда D единственен как НОД для P и Q с точностью до конечного постоянного множителя), если и только если существуют многочлены U и V такие, что

${\displaystyle UP+VQ=D}$.

Смотрите также

• Полиномиальное деление в столбик
• Наибольший общий делитель полинома

Рекомендации

• Столлингс, Уильям; : «Криптография и сетевая безопасность: принципы и практика», стр. 121–126. Прентис Холл, 1999.

внешняя ссылка

• J.A. Бичи и У.Д. Блэр; : "Полиномы », из« Абстрактной алгебры », 2-е издание, 1996 г.