Огюстен-Луи Коши - Augustin-Louis Cauchy

«Коши» перенаправляется сюда. Для лунного кратера см. Коши (кратер). Для статистического распределения см. Распределение Коши. Относительно условия на последовательности см. Последовательность Коши.
Огюстен-Луи Коши
Огюстен-Луи Коши 1901.jpg
Коши около 1840 года. Литография Зефирина Бельяра по картине Жана Роллера.
Родившийся(1789-08-21)21 августа 1789 г.
Париж, Франция
Умер23 мая 1857 г.(1857-05-23) (67 лет)
Sceaux, Франция
НациональностьФранцузский
Альма-матерÉcole Nationale des Ponts et Chaussées
ИзвестенПосмотреть список
Супруг (а)Алоиза де Буре
ДетиМари Франсуаза Алисия, Мария Матильда
НаградыГран-при L'Académie Royale des Sciences
Научная карьера
ПоляМатематика, Физика
УчрежденияÉcole Centrale du Panthéon
École Nationale des Ponts et Chaussées
École Polytechnique
ДокторантыФранческо Фаа ди Бруно
Виктор Буняковский

Барон Огюстен-Луи Коши ФРС FRSE (/koʊˈʃя/;[1] Французский:[oystɛ̃ lwi koʃi]; 21 августа 1789 - 23 мая 1857) был французом математик, инженер и физик кто внес новаторский вклад в несколько разделов математики, в том числе математический анализ и механика сплошной среды. Он был одним из первых, кто сформулировал и строго доказал теоремы исчисление, отвергая эвристический принцип общность алгебры более ранних авторов. Он практически единолично основал комплексный анализ и изучение группы перестановок в абстрактная алгебра.

Глубокий математик, Коши имел большое влияние на своих современников и последователей;[2] Ганс Фройденталь заявил: «От имени Коши было названо больше понятий и теорем, чем от имени любого другого математика (в эластичность только в честь Коши названо шестнадцать понятий и теорем) ".[3] Коши был плодовитым писателем; он написал около восьмисот научных статей и пять полных учебников по различным темам в области математики и математики. математическая физика.

биография

Молодежь и образование

Коши был сыном Луи Франсуа Коши (1760–1848) и Мари-Мадлен Дезестре. У Коши было два брата: Александр Лоран Коши (1792–1857), который стал президентом отделения апелляционного суда в 1847 году и судьей кассационного суда в 1849 году, и Юджин Франсуа Коши (1802–1877), публицист, написавший также несколько математических работ.

Коши женился на Алоизе де Бюре в 1818 году. Она была близкой родственницей издателя, опубликовавшего большинство работ Коши. У них было две дочери, Мари Франсуаза Алисия (1819) и Мария Матильда (1823).

Отец Коши (Луи Франсуа Коши ) был высокопоставленным чиновником парижской полиции Ancien Régime, но потеряли эту позицию из-за французская революция (14 июля 1789 г.), который разразился за месяц до рождения Огюстена-Луи.[а] Семья Коши пережила революцию и следующие Террор (1793-4), сбежав в Арквейл, где Коши получил свое первое образование от своего отца.[4] После казни Робеспьер (1794 г.), семья смогла вернуться в Париж. Там Луи-Франсуа Коши нашел себе новую бюрократическую работу в 1800 году.[5] и быстро продвинулся по служебной лестнице. Когда Наполеон Бонапарт пришел к власти (1799 г.), Луи-Франсуа Коши получил дальнейшее повышение и стал Генеральным секретарем Сената, работая непосредственно под руководством Лаплас (который теперь более известен своими работами по математической физике). Знаменитый математик Лагранж также был другом семьи Коши.[2]

По совету Лагранжа Огюстен-Луи был зачислен в École Centrale du Panthéon, лучшая средняя школа Парижа того времени, осенью 1802 года.[4] Большая часть учебной программы состояла из классических языков; молодой и амбициозный Коши, будучи блестящим учеником, получил множество премий по латыни и гуманитарным наукам. Несмотря на эти успехи, Огюстен-Луи выбрал инженерную карьеру и подготовился к вступительным экзаменам в École Polytechnique.

В 1805 году он занял второе место из 293 претендентов на этом экзамене, и его приняли.[4] Одной из основных целей этой школы было дать будущим гражданским и военным инженерам высокое научное и математическое образование. Школа функционировала в условиях военной дисциплины, что доставляло молодому и набожному Коши некоторые проблемы с адаптацией. Тем не менее он закончил Политехнический институт в 1807 году, в возрасте 18 лет, и перешел в университет. École des Ponts et Chaussées (Школа мостов и дорог). Он получил высшее образование в области гражданского строительства с отличием.

Инженерные дни

После окончания школы в 1810 году Коши устроился младшим инженером в Шербур, где Наполеон намеревался построить военно-морскую базу. Здесь Огюстен-Луи пробыл здесь три года и получил Канал Оурк проект и Мост Сен-Клу проект и работал в гавани Шербура.[4] Хотя у него была чрезвычайно загруженная управленческая работа, он все же нашел время, чтобы подготовить три математических рукописи, которые он представил в Première Classe (Первый класс) Institut de France.[b] Первые две рукописи Коши (на многогранники ) были приняты; третий (по направляющим конические секции ) Было отказано.

В сентябре 1812 года, которому сейчас 23 года, Коши вернулся в Париж после того, как заболел от переутомления.[4] Другой причиной его возвращения в столицу было то, что он терял интерес к своей инженерной работе, его все больше и больше привлекала абстрактная красота математики; в Париже у него было бы гораздо больше шансов найти работу, связанную с математикой. Поэтому, когда в 1813 году его здоровье улучшилось, Коши решил не возвращаться в Шербур.[4] Хотя формально он сохранил свою инженерную должность, его перевели из министерства морского флота в министерство внутренних дел. Следующие три года Огюстен-Луи находился в основном на неоплачиваемом отпуске по болезни и довольно плодотворно проводил время, работая над математикой (по смежным темам симметричные функции, то симметричная группа и теория алгебраических уравнений высшего порядка). Он пытался поступить в первый класс Института Франции, но трижды потерпел неудачу в период с 1813 по 1815 год. В 1815 году Наполеон потерпел поражение при Ватерлоо, а недавно назначенный король Бурбонов Людовик XVIII взял реставрацию в руки. В Академия наук был восстановлен в марте 1816 года; Лазар Карно и Гаспар Монж были исключены из этой Академии по политическим причинам, и король назначил Коши на место одного из них. Реакция сверстников Коши была резкой; они считали принятие его членства в Академии возмутительным, и Коши тем самым нажил себе множество врагов в научных кругах.

Профессор Политехнической школы

В ноябре 1815 г. Луи Пуансо, который был доцентом Политехнической школы, попросил освободить его от преподавательских обязанностей по состоянию здоровья. К тому времени Коши был восходящей звездой математики и, несомненно, заслужил звание профессора. Одним из его больших успехов в то время было доказательство Ферма с теорема о многоугольных числах. Однако тот факт, что Коши был известен своей преданностью Бурбонам, несомненно, также помог ему стать преемником Пуансо. В конце концов он бросил свою инженерную работу и получил годовой контракт на преподавание математики студентам второго курса Политехнической школы. В 1816 году эта бонапартистская, нерелигиозная школа была реорганизована, и несколько либеральных профессоров были уволены; реакционер Коши получил звание профессора.

Когда Коши было 28 лет, он все еще жил со своими родителями. Его отец счел, что сыну пора жениться; он нашел ему подходящую невесту, Алоизу де Бюре, на пять лет младше его. Семья де Буре была типографами и продавцами книг и опубликовала большинство работ Коши.[6] Алоиза и Августин поженились 4 апреля 1818 года с большой римско-католической пышностью и церемонией в церкви Сен-Сюльпис. В 1819 году у пары родилась первая дочь Мари Франсуаза Алисия, а в 1823 году вторая и последняя дочь Мария Матильда.[7]

Консервативный политический климат, сохранявшийся до 1830 года, идеально подходил Коши. В 1824 году Людовик XVIII умер, и ему наследовал еще более реакционный брат. Карл X. В эти годы Коши был очень продуктивным и публиковал один важный математический трактат за другим. Он получил перекрестные встречи в Коллеж де Франс, а Факультет наук в Париже [fr ].

В изгнании

В июле 1830 г. Июльская революция произошло во Франции. Карл X бежал из страны, и ему наследовал король не из Бурбонов Луи-Филипп (из Дом Орлеана ). Бунты, в которых принимали активное участие студенты Политехнической школы в форме, бушевали недалеко от дома Коши в Париже.

Эти события ознаменовали поворотный момент в жизни Коши и перерыв в его математической производительности. Коши, потрясенный падением правительства и движимый глубокой ненавистью к приходящим к власти либералам, покинул Париж, чтобы уехать за границу, оставив свою семью.[8] Он провел короткое время в Фрибург в Швейцарии, где он должен был решить, принесет ли он требуемую присягу на верность новому режиму. Он отказался сделать это и, следовательно, потерял все свои должности в Париже, кроме членства в Академии, для чего не требовалось присяги. В 1831 году Коши отправился в итальянский город Турин, где через некоторое время принял предложение Король Сардинии (правивший Турином и окрестностями Пьемонта) на кафедру теоретической физики, созданную специально для него. Он преподавал в Турине в 1832–1833 гг. В 1831 году он был избран иностранным членом Шведская королевская академия наук, а в следующем году иностранный почетный член Американская академия искусств и наук.[9]

В августе 1833 года Коши покинул Турин, чтобы Прага, чтобы стать учителем естественных наук у тринадцатилетнего герцога Бордо Анри д'Артуа (1820–1883), наследный принц в изгнании и внук Карла X.[10] Как профессор Политехнической школы, Коши был заведомо плохим лектором, предполагая уровень понимания, которого могли достичь лишь некоторые из его лучших учеников, и набивал отведенное ему время слишком большим количеством материала. У молодого герцога не было ни вкуса, ни таланта ни к математике, ни к естествознанию, поэтому ученик и учитель совершенно не подходили. Хотя Коши очень серьезно относился к своей миссии, он делал это с большой неуклюжестью и с удивительным отсутствием власти над герцогом.

Во время своего гражданского строительства Коши однажды некоторое время отвечал за ремонт нескольких парижских канализационных сетей, и он совершил ошибку, упомянув об этом своему ученику; с большой злобой молодой герцог стал говорить, что мистер Коши начал свою карьеру в канализации Парижа. Его роль наставника продлилась до тех пор, пока герцог не исполнилось восемнадцати лет в сентябре 1838 года.[8] Коши почти не занимался исследованиями в течение этих пяти лет, а герцог всю жизнь не любил математику. Единственное хорошее, что получилось в этой серии, - это повышение Коши до барон, название, которым Коши придавал большое значение. В 1834 году его жена и две дочери переехали в Прагу, и Коши наконец воссоединился со своей семьей после четырех лет в изгнании.

В последние годы

Коши вернулся в Париж и стал работать в Академии наук в конце 1838 года.[8] Он не мог восстановить свои преподавательские должности, потому что все еще отказывался дать присягу на верность.

Коши в более поздней жизни

В августе 1839 г. в здании появилась вакансия. Бюро долгот. Это Бюро имело некоторое сходство с Академией; например, он имел право кооптировать своих членов. Далее считалось, что члены Бюро могли «забыть» о присяге на верность, хотя формально, в отличие от академиков, они были обязаны ее принять. Бюро долгот было организацией, основанной в 1795 году для решения проблемы определения местоположения на море - в основном продольный координировать, поскольку широта легко определяется по положению солнца. Поскольку считалось, что положение на море лучше всего определяется астрономическими наблюдениями, Бюро превратилось в организацию, напоминающую академию астрономических наук.

В ноябре 1839 года Коши был избран в Бюро и сразу обнаружил, что вопрос о присяге не так легко обойтись. Без присяги король отказался одобрить его избрание. Четыре года Коши был избран, но не получил одобрения; следовательно, он не был официальным членом Бюро, не получал оплаты, не мог участвовать в собраниях и не мог подавать документы. Коши по-прежнему отказывался давать какие-либо клятвы; однако он чувствовал себя достаточно преданным, чтобы направить свои исследования на небесная механика. В 1840 году он представил в Академию десяток работ по этой теме. Он также описал и проиллюстрировал представление цифр со знаком чисел, нововведение, представленное в Англии в 1727 г. Джон Колсон. Неудачное членство в Бюро продлилось до конца 1843 года, когда Коши был наконец заменен Пуансо.

На протяжении девятнадцатого века французская система образования боролась за разделение церкви и государства. Потеряв контроль над государственной системой образования, католическая церковь стремилась создать свою собственную ветвь образования и нашла в Коши стойкого и выдающегося союзника. Он отдал свой престиж и знания École Normale Écclésiastique, школа в Париже, управляемая иезуитами, для подготовки учителей для своих колледжей. Он также принимал участие в основании Institut Catholique. Целью этого института было противодействие последствиям отсутствия католического университетского образования во Франции. Эти действия не сделали Коши популярным среди его коллег, которые в целом поддерживали просвещение идеалы Французской революции. Когда в 1843 году кафедра математики в Коллеж де Франс стала вакантной, Коши подал на нее заявку, но получил всего три голоса из 45.

1848 год был годом революции во всей Европе; революции вспыхнули во многих странах, начиная с Франции. Король Луи-Филипп, опасаясь разделить судьбу Людовика XVI, бежал в Англию. Присяга на верность была отменена, и путь к академическому назначению для Коши был наконец открыт. 1 марта 1849 года он был восстановлен на факультете наук в качестве профессора математической астрономии. После политических потрясений на протяжении 1848 года Франция решила стать республикой под председательством Луи-Наполеон Бонапарт, племянник Наполеона Бонапарта и сын брата Наполеона, который был поставлен первым королем Голландии. Вскоре (начало 1852 г.) президент провозгласил себя императором Франции и взял себе имя Наполеон III.

Неудивительно, что в бюрократических кругах возникла идея, что было бы полезно снова потребовать клятвы лояльности от всех государственных чиновников, включая университетских профессоров. На этот раз кабинет министров смог убедить императора освободить Коши от присяги. Коши оставался профессором университета до своей смерти в возрасте 67 лет. Он получил Последние обряды и умер от бронхиальной болезни в 4 часа утра 23 мая 1857 года.[8]

Его имя - одно из 72 имени начертаны на Эйфелевой башне.

Работа

Ранняя работа

Гений Коши проиллюстрировал в его простом решении проблема Аполлония - описание круг касаясь трех заданных кругов, - который он открыл в 1805 году, его обобщение Формула Эйлера на многогранники в 1811 г. и в нескольких других изящных задачах. Более важны его воспоминания о волна распространение, получившее Гран-при Французской академии наук в 1816 году. В трудах Коши были затронуты важные темы, включая теорию рядов, в которой он разработал понятие конвергенция и открыл многие основные формулы для q-серия. В теории чисел и комплексных величин он первым определил комплексные числа как пары действительных чисел. Он также писал по теории групп и подстановок, теории функций, дифференциальным уравнениям и определителям.[2]

Волновая теория, механика, упругость

В теории света он работал над Френеля волновая теория и о разброс и поляризация света. Он также внес значительный вклад в исследования механика, заменяя принцип непрерывности материи понятием непрерывности геометрических перемещений. Он писал о равновесии стержней и упругих мембран и о волнах в упругих средах. Он ввел симметричную 3 × 3 матрица чисел, которые теперь известны как Тензор напряжений Коши.[11] В эластичность, он положил начало теории стресс, и его результаты почти так же ценны, как и результаты Симеон Пуассон.[2]

Теория чисел

Другой значительный вклад - это то, что он первым доказал Теорема Ферма о многоугольных числах.

Комплексные функции

Коши наиболее известен своей самостоятельной разработкой теория сложных функций. Первая основная теорема, доказанная Коши, теперь известная как Интегральная теорема Коши, было следующее:

куда ж(z) - комплексная функция голоморфный на и внутри несамопересекающейся замкнутой кривой C (контур) лежащий в комплексная плоскость. В контурный интеграл берется по контуру C. Основы этой теоремы уже можно найти в статье, которую 24-летний Коши представил Академии наук (тогда еще называвшейся «Первым классом института») 11 августа 1814 года. В полной форме теорема была дан в 1825 г.[12] Газету 1825 года видят многие[кем? ] как самый важный вклад Коши в математику.

В 1826 году Коши дал формальное определение остаток функции.[13] Эта концепция касается функций, которые полюса - изолированные особенности, т.е. точки, в которых функция уходит на положительную или отрицательную бесконечность. Если комплексная функция ж(z) можно развернуть в район особенности а в качестве

где φ (z) аналитична (т.е. хорошо ведет себя без особенностей), то ж говорят, что имеет полюс порядка п в точке а. Если п = 1 полюс называется простым. B1 называется Коши вычетом функции ж в а. Если ж неособен в а тогда остаток ж равен нулю в а. Ясно, что в случае простого полюса вычет равен,

где мы заменили B1 по современным обозначениям остатка.

В 1831 году, находясь в Турине, Коши представил две статьи Туринской академии наук. Во-первых[14] он предложил формулу, теперь известную как Интегральная формула Коши,

куда ж(z) аналитична на C а внутри области, ограниченной контуром C и комплексное число а где-то в этом регионе. Контурный интеграл берется против часовой стрелки. Ясно, что подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке z = а. Во второй статье[15] он представил теорема о вычетах,

где сумма превышает все п полюса ж(z) по контуру и внутри него C. Эти результаты Коши по-прежнему составляют основу теории сложных функций, которую сегодня преподают физикам и инженерам-электрикам. Некоторое время современники Коши игнорировали его теорию, считая ее слишком сложной. Только в 1840-х годах теория начала получать отклик. Пьер Альфонс Лоран будучи первым математиком, помимо Коши, внесшим существенный вклад (его Серия Laurent опубликовано в 1843 г.).

Cours d'Analyse

Основная статья: Cours d'Analyse
Титульный лист учебника Коши.

В его книге Cours d'Analyse Коши подчеркнул важность строгости в анализе. Строгость в данном случае означал отказ от принципа Общность алгебры (более ранних авторов, таких как Эйлер и Лагранж) и его замена геометрией и бесконечно малые.[16] Джудит Грабинер писала, что Коши был «человеком, который научил всю Европу строгому анализу» (Грабин 1981 ) Книга часто упоминается как первое место, где неравенства и аргументы были введены в исчисление. Здесь Коши определил непрерывность следующим образом: Функция f (x) является непрерывной по x между заданными пределами, если между этими пределами бесконечно малое приращение переменной всегда приводит к бесконечно малому приращению самой функции.

М. Барани утверждает, что École санкционировала включение бесконечно малых методов вопреки здравому смыслу Коши (Барани 2011 ). Гилайн отмечает, что когда часть учебной программы посвящена Анализируйте Альгебрик был сокращен в 1825 году, Коши настаивал на том, чтобы тема непрерывных функций (а следовательно, и бесконечно малых) была помещена в начало Дифференциального исчисления (Гилайн 1989 ). Лаугвиц (1989) и Бенис-Синасер (1973) отмечают, что Коши продолжал использовать бесконечно малые величины в своих собственных исследованиях вплоть до 1853 года.

Коши дал явное определение бесконечно малого в терминах последовательности, стремящейся к нулю. О понятии Коши «бесконечно малых величин» написано огромное количество литературы, в которой утверждается, что они ведут от всего, от обычных «эпсилонтических» определений до понятий нестандартный анализ. Все согласны с тем, что Коши опускал или оставил неявными важные идеи, чтобы прояснить точное значение бесконечно малых величин, которые он использовал. (Барани 2013 )

Теорема Тейлора

Он первым доказал Теорема Тейлора строго, устанавливая свою известную форму остатка.[2] Он написал учебник[17] (см. иллюстрацию) для своих студентов в Политехнической школе, в которой он разработал основные теоремы математического анализа настолько строго, насколько это возможно. В этой книге он дал необходимые и достаточные условия для существования предел в той форме, которой все еще учат. Также известный тест Коши для абсолютная конвергенция происходит из этой книги: Тест конденсации Коши. В 1829 году он впервые определил сложную функцию комплексной переменной в другом учебнике.[18] Несмотря на это, в собственных исследовательских работах Коши часто использовались интуитивные, а не строгие методы;[19] таким образом, одна из его теорем была выставлена ​​"контрпримером" Авель, позднее зафиксированное введением понятия равномерная преемственность.

Принцип аргументации, стабильность

В статье, опубликованной в 1855 году, за два года до смерти Коши, он обсудил некоторые теоремы, одна из которых похожа на "Принцип аргументации "во многих современных учебниках по комплексному анализу. В современных учебниках теории управления Принцип аргумента Коши довольно часто используется для получения Критерий устойчивости Найквиста, которые можно использовать для прогнозирования устойчивости отрицательных усилитель обратной связи и отрицательный Обратная связь Системы управления. Таким образом, работа Коши оказывает сильное влияние как на чистую математику, так и на практическую инженерию.

Опубликованные работы

Leçons sur le calc différentiel, 1829

Коши был очень продуктивен, по количеству статей уступал только Леонард Эйлер. Потребовалось почти столетие, чтобы собрать все его сочинения в 27 больших томов:

  • Oeuvres Complete d'Augustin Cauchy publiées sous la direction scientifique de l'Académie des Sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique (27 томов) на Wayback Machine (архивировано 24 июля 2007 г.) (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1882–1974)
  • Uvres Complètes d'Augustin Cauchy. Академия наук (Франция). 1882–1938 - через Ministère de l'éducation nationale.CS1 maint: формат даты (связь)

Его величайший вклад в математическую науку заключен в введенных им строгих методах; в основном они воплощены в трех его великих трактатах:

Среди других его работ:

Политика и религиозные убеждения

Огюстен-Луи Коши вырос в доме стойкого роялиста. Это заставило его отца бежать с семьей в Арквейл вовремя французская революция. Их жизнь там в то время была, по-видимому, тяжелой; Отец Огюстена-Луи, Луи Франсуа, говорил о том, что в то время жил на рисе, хлебе и крекерах. Отрывок из недатированного письма Луи Франсуа матери в Руан говорит:[20]

У нас никогда не было больше полуфунта (230 г) хлеба, а иногда и того. Мы дополняем это небольшими выделенными нам твердыми крекерами и рисом. В остальном мы неплохо ладим, что является важным и показывает, что люди могут обходиться малым. Я должен сказать вам, что для папы моих детей у меня еще есть немного прекрасной муки, сделанной из пшеницы, которую я выращивал на своей земле. У меня было три бушеля, и еще у меня есть несколько фунтов картофельный крахмал. Он белый, как снег, и очень хорош, особенно для самых маленьких. Он тоже был выращен на моей земле.[21]

В любом случае он унаследовал стойкий роялизм своего отца и поэтому отказался давать присягу любому правительству после свержения Карла X.

Он был столь же стойким католиком и членом Общество Сент-Винсент де Поль.[22] У него также были ссылки на Общество Иисуса и защищал их в Академии, когда это было политически неразумно. Его рвение к вере, возможно, привело к тому, что он заботился о Чарльз Эрмит во время болезни и заставив Эрмита стать верным католиком. Это также вдохновило Коши выступить от имени ирландцев во время Великий голод Ирландии.

Его роялизм и религиозное рвение также вызывали у него споры, что вызывало трудности с его коллегами. Он чувствовал, что с ним плохо обращались за его убеждения, но его противники чувствовали, что он намеренно провоцировал людей, ругая их по религиозным вопросам или защищая иезуитов после того, как они были подавлены. Нильс Хенрик Абель назвал его "фанатичным католиком"[23] и добавил, что он «сумасшедший, и с ним ничего нельзя поделать», но в то же время похвалил его как математика. Взгляды Коши были широко непопулярны среди математиков, и когда Гульельмо Либри Каруччи далла Соммаджа был назначен кафедрой математики до него, он и многие другие считали причиной его взгляды. Когда Либри обвинили в краже книг, его заменил Джозеф Лиувиль а не Коши, что вызвало раскол между Лиувиллем и Коши. Очередной спор с политическим подтекстом. Жан Мари Констан Дюамель и претензия на неупругие удары. Позже Коши был показан Жан-Виктор Понселе, ошибаться.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Увольнение его отца иногда рассматривается как причина глубокой ненависти к Французской революции, которую Коши испытывал на протяжении всей своей жизни.
  2. ^ В революционные годы Французская Академия наук была известна как «Первый класс» Institut de France.
  1. ^ "Коши". Полный словарь Random House Webster.
  2. ^ а б c d е ж Чисхолм 1911.
  3. ^ Фройденталь 2008.
  4. ^ а б c d е ж Бруно и Бейкер 2003, п. 66.
  5. ^ Бруно и Бейкер 2003 С. 65–66.
  6. ^ Брэдли и Сандифер 2010, п. 9.
  7. ^ Белхосте 1991, п. 134.
  8. ^ а б c d Бруно и Бейкер 2003, п. 67.
  9. ^ "Книга членов, 1780–2010: Глава C" (PDF). Американская академия искусств и наук. Получено 13 сентября 2016.
  10. ^ Бруно и Бейкер 2003, п. 68.
  11. ^ Коши 1827, п. 42, "De la pression ou Voltage dans un corps solide«[О давлении или напряжении в твердом теле].
  12. ^ Коши 1825.
  13. ^ Коши 1826, п. 11, "Sur un nouveau жанр де калькуляция аналог в калькуляторе бесконечность«[О новом типе исчисления, аналогичном исчислению бесконечно малых].
  14. ^ Коши 1831.
  15. ^ Коши, Mémoire sur les rapports qui existing Entre le Calcul des Résidus et le Calcul des Limites, et sur les avantages qu'offrent ces deux calcs dans la résolution des équations algébriques ou transcendantes Меморандум о связях, существующих между исчислением вычетов и предельным исчислением, и о преимуществах, которые эти два исчисления предлагают при решении алгебраических и трансцендентных уравнений], представленный Туринской академии наук 27 ноября 1831 г.
  16. ^ Боровик и Кац 2012, стр. 245-276.
  17. ^ Коши 1821.
  18. ^ Коши 1829.
  19. ^ Клайн 1982, п. 176.
  20. ^ Валсон 1868, п. 13, т. 1.
  21. ^ Белхосте 1991, п. 3.
  22. ^ Брок 1908.
  23. ^ Белл 1986, п. 273.

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка