Формула Коши – Бине - Cauchy–Binet formula

В математика, конкретно линейная алгебра, то Формула Коши – Бине, названный в честь Огюстен-Луи Коши и Жак Филипп Мари Бине, является личность для детерминант из товар двух прямоугольных матрицы транспонированных форм (чтобы продукт был четко определен и квадрат ). Он обобщает утверждение, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей. Формула действительна для матриц с записями из любых коммутативное кольцо.

Заявление

Позволять А быть м×п матрица и B ан п×м матрица. Написать [п] для множества {1, ...,п}, и ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$ для набора м-комбинации из [п] (т. е. подмножества размера м; Существуют ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ их). За ${\displaystyle S\in {\tbinom {[n]}{m}}}$, записывать А_[м],S для м×м матрица, столбцы которой являются столбцами А по индексам от S, и B_S,[м] для м×м матрица, строки которой являются строками B по индексам от S. Тогда формула Коши – Бине утверждает

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).}$

Пример: взятие м = 2 и п = 3, а матрицы ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{pmatrix}}}$и ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}}$, формула Коши – Бине дает определитель

${\displaystyle \det(AB)=\left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}}\right|.}$

В самом деле ${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}}}$, а его определитель ${\displaystyle -28}$ что равно ${\displaystyle -2\times -2+-3\times 6+-7\times 2}$ из правой части формулы.

Особые случаи

Если п < м тогда ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$ - пустое множество, а формула говорит, что det (AB) = 0 (его правая часть пустая сумма ); действительно, в этом случае классифицировать из м×м матрица AB самое большееп, откуда следует, что его определитель равен нулю. Если п = м, случай, когда А и B квадратные матрицы, ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}=\{[n]\}}$ (а одиночка набор), поэтому сумма включает только S = [п], а формула утверждает, что det (AB) = det (А) det (B).

За м = 0, А и B находятся пустые матрицы (но разной формы, если п > 0), как и их продукт AB; суммирование включает один член S = Ø, и формула утверждает, что 1 = 1, причем обе стороны задаются определителем матрицы 0 × 0. За м = 1 суммирование ведется по набору ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{1}}}$ из п разные синглтоны взяты из [п], и обе части формулы дают ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}}$, то скалярное произведение пары векторов представлены матрицами. Наименьшее значение м для которого формула утверждает, что нетривиальное равенство м = 2; это обсуждается в статье о Тождество Бине – Коши.

В случае п = 3

Позволять ${\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}},{\boldsymbol {w}}}$ быть трехмерными векторами.

${\displaystyle {\begin{aligned}&1=1&(m=0)\\[10pt]&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}})&(m=2)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&[{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})][{\boldsymbol {x}}\cdot ({\boldsymbol {y}}\times {\boldsymbol {z}})]&(m=3)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {w}}\end{vmatrix}}=0&(m=4)\end{aligned}}}$

В случае м > 3 правая часть всегда равна 0.

Простое доказательство

Следующее простое доказательство, представленное в ^[1] опирается на два факта, которые можно доказать несколькими способами:

1. Для любого ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ коэффициент ${\displaystyle z^{n-k}}$ в полиноме ${\displaystyle \det(zI_{n}+X)}$ это сумма ${\displaystyle k\times k}$ основные несовершеннолетние ${\displaystyle X}$.
2. Если ${\displaystyle m\leq n}$ и ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle m\times n}$ матрица и ${\displaystyle B}$ ан ${\displaystyle n\times m}$ матрица, тогда

${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$.

Теперь, если мы сравним коэффициент при ${\displaystyle z^{n-m}}$ в уравнении ${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$, левая часть даст сумму основных миноров ${\displaystyle BA}$ в то время как правая часть даст постоянный член ${\displaystyle \det(zI_{m}+AB)}$, что просто ${\displaystyle \det(AB)}$, что и утверждает формула Коши – Бине, т.е.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((BA)_{S,S})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(B_{S,[m]})\det(A_{[m],S})\\[5pt]={}&\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).\end{aligned}}}$

Доказательство

Для формулы Коши – Бине можно привести различные доказательства. Приведенное ниже доказательство основано только на формальных манипуляциях и избегает использования какой-либо конкретной интерпретации детерминантов, которые могут считаться определяемыми Формула Лейбница. Используются только их полилинейность по строкам и столбцам и их свойство чередования (исчезновение при наличии одинаковых строк или столбцов); в частности, мультипликативное свойство определителей для квадратных матриц не используется, а скорее установлено (случай п = м). Доказательство справедливо для произвольных коммутативных колец коэффициентов.

Формулу можно доказать в два этапа:

1. используйте тот факт, что обе стороны полилинейный (точнее 2м-линейный) в ряды из А и столбцы из B, чтобы свести к случаю, что каждая строка А и каждый столбец B имеет только одну ненулевую запись, равную 1.
2. обработать этот случай с помощью функций [м] → [п], которые отображают номера строк соответственно А к номеру столбца их ненулевой записи, а номера столбца B к номеру строки их ненулевой записи.

Для шага 1 обратите внимание, что для каждой строки А или столбец B, и для каждого м-комбинация S, значения det (AB) и det (А_[м],S) det (B_S,[м]) действительно линейно зависят от строки или столбца. Для последнего это непосредственно следует из полилинейности определителя; для первого необходимо дополнительно проверить, что взяв линейную комбинацию для ряда А или столбец B оставив остальные без изменений, влияет только на соответствующую строку или столбец продукта AB, и той же линейной комбинацией. Таким образом, можно вычислить обе части формулы Коши-Бине по линейности для каждой строки А а затем также каждый столбец B, записывая каждую из строк и столбцов как линейную комбинацию стандартных базисных векторов. Полученные в результате множественные суммирования огромны, но имеют одинаковую форму для обеих сторон: соответствующие члены включают один и тот же скалярный множитель (каждый является произведением записей А и из B), и эти члены различаются только тем, что включают два разных выражения в терминах постоянных матриц описанного выше типа, причем эти выражения должны быть равны согласно формуле Коши-Бине. Этим достигается сокращение первой ступени.

Конкретно, несколько суммирований можно сгруппировать в два суммирования, одно по всем функциям. ж:[м] → [п], что для каждого индекса строки А дает соответствующий индекс столбца и единицу по всем функциям грамм:[м] → [п], что для каждого индекса столбца B дает соответствующий индекс строки. Матрицы, связанные с ж и грамм находятся

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}}$

куда "${\displaystyle \delta }$" это Дельта Кронекера, а доказываемая формула Коши-Бине была переписана как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\det(L_{f}R_{g})\\[5pt]={}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),\end{aligned}}}$

куда п(ж,грамм) обозначает скалярный множитель ${\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{m}A_{i,f(i)})(\prod _{k=1}^{m}B_{g(k),k})}$. Осталось доказать формулу Коши - Бине для А = L_ж и B = р_грамм, для всех ж,грамм:[м] → [п].

Для этого шага 2, если ж не может быть инъективным, тогда L_ж и L_жр_грамм оба имеют две одинаковые строки, и если грамм не может быть инъективным, тогда р_грамм и L_жр_грамм оба имеют по два одинаковых столбца; в любом случае обе части тождества равны нулю. Предположим теперь, что оба ж и грамм являются инъективными отображениями [м] → [п], фактор ${\displaystyle \det((L_{f})_{[m],S})}$ справа - ноль, если только S = ж([м]), а множитель ${\displaystyle \det((R_{g})_{S,[m]})}$ равно нулю, если S = грамм([м]). Так что изображения ж и грамм различны, правая часть содержит только нулевые члены, а левая часть также равна нулю, поскольку L_жр_грамм имеет пустую строку (для я с ${\displaystyle f(i)\notin g([m])}$). В оставшемся случае, когда изображения ж и грамм такие же, скажем ж([м]) = S = грамм([м]), нам нужно доказать, что

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}).\,}$

Позволять час быть единственной возрастающей биекцией [м] → S, и π,σ перестановки [м] такой, что ${\displaystyle f=h\circ \pi ^{-1}}$ и ${\displaystyle g=h\circ \sigma }$; тогда ${\displaystyle (L_{f})_{[m],S}}$ это матрица перестановок за π, ${\displaystyle (R_{g})_{S,[m]}}$ матрица перестановок для σ, и L_жр_грамм матрица перестановок для ${\displaystyle \pi \circ \sigma }$, и поскольку определитель матрицы перестановок равен подпись перестановки тождество следует из того факта, что сигнатуры мультипликативны.

Используя полилинейность по обеим строкам А и столбцы B в доказательстве нет необходимости; можно было бы использовать только один из них, скажем, первый, и использовать это матричное произведение L_жB либо состоит из перестановки строк B_{ж([м]),[м]} (если ж инъективен) или имеет не менее двух равных строк.

Связь с обобщенной дельтой Кронекера

Как мы видели, формула Коши – Бине эквивалентна следующему:

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),}$

куда

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.}$

С точки зрения обобщенная дельта Кронекера, можно вывести формулу, эквивалентную формуле Коши – Бине:

${\displaystyle \delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.}$

Геометрические интерпретации

Если А настоящий м×п матрица, то det (А А^Т) равен квадрату м-размерный объем параллелотоп охватывает р^п посредством м ряды А. Формула Бине утверждает, что это равно сумме квадратов объемов, которые возникают, если параллелепипед ортогонально проецируется на поверхность. м-мерные координатные плоскости (из них есть ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$).

В случае м = 1 параллелоэдр сводится к одному вектору, а его объем равен его длине. В приведенном выше утверждении затем говорится, что квадрат длины вектора - это сумма квадратов его координат; это действительно так Определение той длины, которая основана на теорема Пифагора.

Обобщение

Формула Коши – Бине может быть прямо расширена до общей формулы для несовершеннолетние произведения двух матриц. Контекст формулы приводится в статье о несовершеннолетние, но идея состоит в том, что обе формулы для обычных матричное умножение и Формула Коши-Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что А является м × п матрица B является п × п матрица я это подмножество из {1, ...,м} с k элементы и J является подмножеством {1, ...,п} с k элементы. потом

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

где сумма распространяется на все подмножества K из {1, ...,п} с k элементы.

Непрерывная версия

Непрерывная версия формулы Коши-Бине, известная как Андреев-Гейне идентичность или же Личность Андреева часто встречается в теории случайных матриц.^[2] Он формулируется следующим образом: пусть ${\displaystyle \left\{f_{j}(x)\right\}_{j=0}^{N-1}}$ и ${\displaystyle \left\{g_{j}(x)\right\}_{j=0}^{N-1}}$ - две последовательности интегрируемых функций, поддерживаемые на ${\displaystyle I}$. потом

${\displaystyle \int _{I}\cdots \int _{I}\det \left[f_{j-1}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}\det \left[g_{j-1}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}dx_{1}\cdots dx_{n}=\det \left[\int _{I}f_{j}(x)g_{k}(x)dx\right]_{j,k=0}^{N-1}.}$

Форрестер^[3]описывает, как восстановить обычную формулу Коши-Бине как дискретизацию вышеуказанного тождества.

Рекомендации

1. стр. 253, https://terrytao.files.wordpress.com/2011/08/matrix-book.pdf
2. Мехта, М. (2004). Случайные матрицы (3-е изд.). Амстердам: Elsevier / Academic Press. ISBN  0-12-088409-7.
3. Форрестер, Питер Дж. (2018). "Знакомьтесь, Андреев, Бордо 1886, и Андреев, Харьков 1882–83" (PDF). arXiv.org. arXiv.org. Получено 2020-08-19.

• Джоэл Г. Бройда и С. Джилл Уильямсон (1989) Комплексное введение в линейную алгебру, §4.6 Теорема Коши-Бине, стр. 208–14, Эддисон-Уэсли ISBN  0-201-50065-5.
• Джин Хо Квак и Сонпё Хонг (2004) Линейная алгебра 2-е издание, Пример 2.15 Формула Бине-Коши, стр 66,7, Биркхойзер ISBN  0-8176-4294-3.
• И. Р. Шафаревич & А.О. Ремизов (2012) Линейная алгебра и геометрия, §2.9 (с. 68) и §10.5 (с. 377), Springer ISBN  978-3-642-30993-9.
• М.Л. Мехта (2004) Случайные матрицы, 3-е изд., Эльзевир ISBN  9780120884094.

внешняя ссылка

• Аарон Лов (2004) Краткое комбинаторное доказательство формулы Коши – Бине. из Université du Québec à Montréal.
• Питер Дж. Форрестер (2018) Знакомьтесь: Андреев, Бордо, 1886, и Андреев, Харьков, 1882–83.