Тождество Бине – Коши - Binet–Cauchy identity

В алгебра, то Тождество Бине – Коши, названный в честь Жак Филипп Мари Бине и Огюстен-Луи Коши, утверждает, что^[1]

${displaystyle {iggl (}sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{iggr )}{iggl (}sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{iggr )}={iggl (}sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{iggr )}{iggl (}sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{iggr )}+sum _{1leq i<jleq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

на любой выбор настоящий или же сложные числа (или, в более общем смысле, элементы коммутативное кольцо ).Параметр а_я = c_я и б_j = d_j, это дает Личность Лагранжа, который является более сильной версией Неравенство Коши – Шварца для Евклидово пространство ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^{n}}$.

Тождество Бине – Коши и внешняя алгебра

Когда п = 3, первое и второе слагаемые в правой части становятся квадратами величин точка и перекрестные продукты соответственно; в п размеры становятся величинами точки и клиновые изделия. Мы можем написать это

${displaystyle (acdot c)(bcdot d)=(acdot d)(bcdot c)+(awedge b)cdot (cwedge d)}$

куда а, б, c, и d являются векторами. Его также можно записать как формулу, дающую скалярное произведение двух произведений клина, как

${displaystyle (awedge b)cdot (cwedge d)=(acdot c)(bcdot d)-(acdot d)(bcdot c),,}$

который можно записать как

${displaystyle (a imes b)cdot (c imes d)=(acdot c)(bcdot d)-(acdot d)(bcdot c)}$

в п = 3 дело.

В частном случае а = c и б = d, формула дает

${displaystyle |awedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|acdot b|^{2}.}$

Когда оба а и б - единичные векторы, получаем обычное соотношение

${displaystyle sin ^{2}phi =1-cos ^{2}phi }$

куда φ - угол между векторами.

Обозначения Эйнштейна

Отношения между Символы Леви – Севиты и обобщенные Дельта Кронекера является

${displaystyle {frac {1}{k!}}varepsilon ^{lambda _{1}cdots lambda _{k}mu _{k+1}cdots mu _{n}}varepsilon _{lambda _{1}cdots lambda _{k}u _{k+1}cdots u _{n}}=delta _{u _{k+1}cdots u _{n}}^{mu _{k+1}cdots mu _{n}},.}$

В ${displaystyle (awedge b)cdot (cwedge d)=(acdot c)(bcdot d)-(acdot d)(bcdot c)}$ форму тождества Бине – Коши можно записать как

${displaystyle {frac {1}{(n-2)!}}left(varepsilon ^{mu _{1}cdots mu _{n-2}alpha eta }~a_{alpha }~b_{eta }ight)left(varepsilon _{mu _{1}cdots mu _{n-2}gamma delta }~c^{gamma }~d^{delta }ight)=delta _{gamma delta }^{alpha eta }~a_{alpha }~b_{eta }~c^{gamma }~d^{delta },.}$

Доказательство

Расширяя последний срок,

${displaystyle sum _{1leq i<jleq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

${displaystyle =sum _{1leq i<jleq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-sum _{1leq i<jleq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}}$

где второй и четвертый члены одинаковы и искусственно добавлены для получения следующих сумм:

${displaystyle =sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}$

Это завершает доказательство после вынесения терминов, проиндексированных я.

Обобщение

Общая форма, также известная как Формула Коши – Бине, утверждает следующее: Предположим, А является м×п матрица и B является п×м матрица. Если S это подмножество из {1, ..., п} с м элементы, мы пишем А_S для м×м матрица, столбцы которой являются теми столбцами А которые имеют индексы от S. Аналогично пишем B_S для м×м матрица, чья ряды эти ряды B которые имеют индексы от S. Затем детерминант из матричный продукт из А и B удовлетворяет личность

${displaystyle det(AB)=sum _{scriptstyle Ssubset {1,ldots ,n} atop scriptstyle |S|=m}det(A_{S})det(B_{S}),}$

где сумма распространяется на все возможные подмножества S из {1, ..., п} с м элементы.

Мы получаем оригинальную идентичность как частный случай, задав

${displaystyle A={egin{pmatrix}a_{1}&dots &a_{n}_{1}&dots &b_{n}end{pmatrix}},quad B={egin{pmatrix}c_{1}&d_{1}vdots &vdots c_{n}&d_{n}end{pmatrix}}.}$

Встроенные заметки и ссылки

1. Эрик В. Вайсштейн (2003). «Тождество Бине-Коши». CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). CRC Press. п. 228. ISBN  1-58488-347-2.