Неравенство Коши – Шварца - Cauchy–Schwarz inequality

В математика, то Неравенство Коши – Шварца, также известный как Неравенство Коши – Буняковского – Шварца., это полезный неравенство во многих математических областях, таких как линейная алгебра, анализ, теория вероятности, векторная алгебра и другие области. Считается одним из самых важных неравенств во всей математике.^[1]

Неравенство сумм было опубликовано Огюстен-Луи Коши  (1821 ), а соответствующее неравенство для интегралов впервые было доказаноВиктор Буняковский  (1859 ). Современное доказательство целостной версии дано Герман Шварц  (1888 ).^[1]

Формулировка неравенства

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ из внутреннее пространство продукта правда, что

${displaystyle |langle mathbf {u} ,mathbf {v} angle |^{2}leq langle mathbf {u} ,mathbf {u} angle cdot langle mathbf {v} ,mathbf {v} angle ,}$

куда ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ это внутренний продукт. Примеры внутренних продуктов включают реальные и сложные скалярное произведение; увидеть примеры во внутреннем продукте. Точно так же, извлекая квадратный корень из обеих частей и обращаясь к нормы векторов неравенство записывается как^[2][3]

${displaystyle |langle mathbf {u} ,mathbf {v} angle |leq |mathbf {u} ||mathbf {v} |.}$

Более того, обе стороны равны тогда и только тогда, когда ${displaystyle mathbf {u} }$ и ${displaystyle mathbf {v} }$ находятся линейно зависимый (что означает, что они параллельно: один из векторов является скалярным, кратным другому, или одна из их величин равна нулю).^[4][5]

Если ${displaystyle u_{1},ldots ,u_{n}in mathbb {C} }$ и ${displaystyle v_{1},ldots ,v_{n}in mathbb {C} }$, а внутренний продукт является стандартным сложным внутренним продуктом, то неравенство может быть переформулировано более явно следующим образом (где столбчатая нотация используется для комплексное сопряжение ): за ${displaystyle mathbf {u} ,mathbf {v} in mathbb {C} ^{n}}$, у нас есть

${displaystyle left|langle mathbf {u} ,mathbf {v} angle ight|^{2}=left|sum _{k=1}^{n}u_{k}{ar {v}}_{k}ight|^{2}leq langle mathbf {u} ,mathbf {u} angle langle mathbf {v} ,mathbf {v} angle =left(sum _{k=1}^{n}u_{k}{ar {u}}_{k}ight)left(sum _{k=1}^{n}v_{k}{ar {v}}_{k}ight)=sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}}$

То есть,

${displaystyle |u_{1}{ar {v}}_{1}+cdots +u_{n}{ar {v}}_{n}|^{2}leq (|u_{1}|^{2}+cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+cdots +|v_{n}|^{2})}$

Доказательства

Доказательство 1 —

Позволять ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ - произвольные векторы в векторном пространстве над ${displaystyle mathbb {F} }$ с внутренним продуктом, где ${displaystyle mathbb {F} }$ это поле действительных или комплексных чисел. Докажем неравенство

${displaystyle {ig |}langle u,vangle {ig |}leq |u||v|}$

и это равенство выполняется тогда и только тогда, когда либо ${displaystyle u}$ или же ${displaystyle v}$ является кратным другому (включая особый случай, когда любой из них является нулевым вектором).

Если ${displaystyle v=0}$, ясно, что есть равенство, и в этом случае ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ также линейно зависимы, независимо от ${displaystyle u}$, значит, теорема верна. Аналогично, если ${displaystyle u=0}$. В дальнейшем предполагается, что ${displaystyle v}$ не равно нулю.

Позволять

${displaystyle z=u-u_{v}=u-{frac {langle u,vangle }{langle v,vangle }}v.}$

Тогда, по линейности внутреннего продукта в его первом аргументе, мы имеем

${displaystyle langle z,vangle =leftlangle u-{frac {langle u,vangle }{langle v,vangle }}v,vightangle =langle u,vangle -{frac {langle u,vangle }{langle v,vangle }}langle v,vangle =0.}$

Следовательно, ${displaystyle z}$ - вектор, ортогональный вектору ${displaystyle v}$ (В самом деле, ${displaystyle z}$ это проекция из ${displaystyle u}$ на плоскость, ортогональную ${displaystyle v}$ .) Таким образом, мы можем применить теорема Пифагора к

${displaystyle u={frac {langle u,vangle }{langle v,vangle }}v+z}$

который дает

${displaystyle |u|^{2}=left|{frac {langle u,vangle }{langle v,vangle }}ight|^{2}|v|^{2}+|z|^{2}={frac {|langle u,vangle |^{2}}{(|v|^{2})^{2}}},|v|^{2}+|z|^{2}={frac {|langle u,vangle |^{2}}{|v|^{2}}}+|z|^{2}geq {frac {|langle u,vangle |^{2}}{|v|^{2}}}}$

и после умножения на ${displaystyle |v|^{2}}$ извлекая квадратный корень, получаем неравенство Коши – Шварца. Более того, если соотношение ${displaystyle geq }$ в приведенном выше выражении фактически является равенством, тогда ${displaystyle |z|^{2}=0}$ и поэтому ${displaystyle z=0}$; определение ${displaystyle z}$ затем устанавливает связь линейной зависимости между ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$. С другой стороны, если ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ линейно зависимы, то существует ${displaystyle cin mathbb {F} }$ такой, что ${displaystyle u=ccdot v}$ (поскольку ${displaystyle veq 0}$). потом

${displaystyle |langle u,vangle |=|langle ccdot v,vangle |=left|c|v|^{2}ight|=|c||v|^{2}=|ccdot v||v|=|u||v|.}$

Это доказывает теорему.

Доказательство 2 —

Позволять ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ быть произвольными векторами в пространстве внутреннего продукта над ${displaystyle mathbb {C} }$.

В частном случае ${displaystyle v=0}$ Теорема тривиально верна. Теперь предположим, что ${displaystyle veq 0}$. Позволять ${displaystyle lambda in mathbb {C} }$ быть предоставленным ${displaystyle lambda =langle u,vangle /|v|^{2}}$, тогда

${displaystyle {egin{aligned}0&leq |u-lambda cdot v|^{2}&=langle u,uangle -langle lambda cdot v,uangle -langle u,lambda cdot vangle +langle lambda cdot v,lambda cdot vangle &=langle u,uangle -lambda langle v,uangle -{overline {lambda }}langle u,vangle +lambda {overline {lambda }}langle v,vangle &=|u|^{2}-lambda {overline {langle u,vangle }}-{overline {lambda }}langle u,vangle +lambda {overline {lambda }}|v|^{2}&=|u|^{2}-{frac {|langle u,vangle |^{2}}{|v|^{2}}}-{frac {|langle u,vangle |^{2}}{|v|^{2}}}+{frac {|langle u,vangle |^{2}}{|v|^{2}}}&=|u|^{2}-{frac {|langle u,vangle |^{2}}{|v|^{2}}}.end{aligned}}}$

Следовательно, ${displaystyle 0leq |u|^{2}-{frac {|langle u,vangle |^{2}}{|v|^{2}}}}$, или же ${displaystyle |langle u,vangle |leq |u||v|}$.

Если неравенство выполняется как равенство, то ${displaystyle |u-lambda cdot v|=0}$, и так ${displaystyle u-lambda cdot v=0}$, таким образом ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ линейно зависимы. С другой стороны, если ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ линейно зависимы, то ${displaystyle |langle u,vangle |=|u||v|}$, как показано в первом доказательстве.

Больше доказательств

Есть много разных доказательств^[6] неравенства Коши – Шварца, кроме двух приведенных выше примеров.^[1][3] При обращении к другим источникам часто возникают два источника путаницы. Во-первых, некоторые авторы определяют ⟨⋅,⋅⟩ быть линейным в второй аргумент а не первый. Во-вторых, некоторые доказательства действительны только тогда, когда поле ${displaystyle mathbb {R} }$ и нет ${displaystyle mathbb {C} }$.^[7]

Особые случаи

Лемма Титу

Лемма Титу (названная в честь Титу Андрееску, также известная как лемма Т2, форма Энгеля или неравенство Седракяна) утверждает, что для положительных вещественных чисел

${displaystyle {frac {left(sum _{i=1}^{n}u_{i}ight)^{2}}{sum _{i=1}^{n}v_{i}}}leq sum _{i=1}^{n}{frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}$

Это прямое следствие неравенства Коши – Шварца, полученного при подстановке ${displaystyle u_{i}'={frac {u_{i}}{sqrt {v_{i}}}}}$ и ${displaystyle v_{i}'={sqrt {v_{i}}}.}$ Эта форма особенно полезна, когда неравенство включает дроби, числитель которых представляет собой полный квадрат.

р² (обычное двумерное пространство)

Неравенство Коши-Шварца в единичной окружности евклидовой плоскости

В обычном двумерном пространстве с скалярное произведение, позволять ${displaystyle v=(v_{1},v_{2})}$ и ${displaystyle u=(u_{1},u_{2})}$. Неравенство Коши – Шварца состоит в том, что

${displaystyle langle u,vangle ^{2}=(|u||v|cos heta )^{2}leq |u|^{2}|v|^{2},}$

куда ${displaystyle heta }$ это угол между ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v.}$

Приведенная выше форма, пожалуй, самая легкая для понимания неравенства, поскольку квадрат косинуса может быть не более 1, что происходит, когда векторы находятся в одном или противоположных направлениях. Его также можно переформулировать в терминах векторных координат ${displaystyle v_{1},v_{2},u_{1}}$ и ${displaystyle u_{2}}$ в качестве

${displaystyle (u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})^{2}leq (u_{1}^{2}+u_{2}^{2})(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}),}$

где равенство выполняется тогда и только тогда, когда вектор ${displaystyle (u_{1},u_{2})}$ находится в том же или противоположном направлении, что и вектор ${displaystyle (v_{1},v_{2}),}$ или если один из них - нулевой вектор.

р^п (п-мерное евклидово пространство)

В Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ со стандартным скалярным произведением неравенство Коши – Шварца имеет вид

${displaystyle left(sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}ight)^{2}leq left(sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}ight)left(sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}ight)}$

Неравенство Коши – Шварца в этом случае можно доказать, используя только идеи элементарной алгебры. Рассмотрим следующий квадратичный многочлен от ${displaystyle x}$

${displaystyle 0leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=left(sum u_{i}^{2}ight)x^{2}+2left(sum u_{i}v_{i}ight)x+sum v_{i}^{2}.}$

Поскольку он неотрицателен, он имеет не более одного реального корня для ${displaystyle x}$, следовательно, его дискриминант меньше или равно нулю. То есть,

${displaystyle left(sum u_{i}v_{i}ight)^{2}-sum {u_{i}^{2}}sum {v_{i}^{2}}leq 0,}$

откуда следует неравенство Коши – Шварца.

L²

Для внутреннего пространства продукта интегрируемый с квадратом комплексный функции, надо

${displaystyle left|int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){overline {g(x)}},dxight|^{2}leq int _{mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2},dxint _{mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2},dx.}$

Обобщением этого является Неравенство Гёльдера.

Приложения

Анализ

В неравенство треугольника для Евклидова норма часто показано как следствие неравенства Коши – Шварца следующим образом.

Данные векторы Икс и у,

${displaystyle {egin{aligned}|x+y|^{2}&=langle x+y,x+yangle &=|x|^{2}+langle x,yangle +langle y,xangle +|y|^{2}&=|x|^{2}+2operatorname {Re} langle x,yangle +|y|^{2}&leq |x|^{2}+2|langle x,yangle |+|y|^{2}&leq |x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}&=(|x|+|y|)^{2}.end{aligned}}}$

Квадратный корень дает неравенство треугольника.

${displaystyle |x+y|leq |x|+|y|}$

Неравенство Коши – Шварца используется для доказательства того, что скалярное произведение является непрерывная функция с уважением к топология вызвано самим внутренним продуктом.^[8][9]

Геометрия

Неравенство Коши – Шварца позволяет распространить понятие «угол между двумя векторами» на любые настоящий внутреннее пространство продукта путем определения:^[10][11]

${displaystyle cos heta _{xy}={frac {langle x,yangle }{|x||y|}}.}$

Неравенство Коши – Шварца доказывает, что это определение разумно, показывая, что правая часть лежит в интервале [−1, 1], и оправдывает понятие, что (действительный) Гильбертовы пространства являются просто обобщениями Евклидово пространство. Его также можно использовать для определения угла в сложный внутренние пространства продукта, взяв абсолютное значение или действительную часть правой части,^[12][13] как это делается при извлечении метрики из квантовая точность.

Теория вероятности

Позволять Икс, Y быть случайные переменные, то ковариационное неравенство^[14][15] дан кем-то

${displaystyle operatorname {Var} (Y)geq {frac {operatorname {Cov} (Y,X)^{2}}{operatorname {Var} (X)}}.}$

После определения внутреннего продукта на множестве случайных величин с использованием математического ожидания их продукта,

${displaystyle langle X,Yangle :=operatorname {E} (XY),}$

неравенство Коши – Шварца принимает вид

${displaystyle |operatorname {E} (XY)|^{2}leq operatorname {E} (X^{2})operatorname {E} (Y^{2}).}$

Чтобы доказать ковариационное неравенство с помощью неравенства Коши – Шварца, пусть ${displaystyle mu =operatorname {E} (X)}$ и ${displaystyle u =operatorname {E} (Y)}$, тогда

${displaystyle {egin{aligned}|operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|operatorname {E} ((X-mu )(Y-u ))|^{2}&=|langle X-mu ,Y-u angle |^{2}&leq langle X-mu ,X-mu angle langle Y-u ,Y-u angle &=operatorname {E} ((X-mu )^{2})operatorname {E} ((Y-u )^{2})&=operatorname {Var} (X)operatorname {Var} (Y),end{aligned}}}$

куда ${displaystyle operatorname {Var} }$ обозначает отклонение, и ${displaystyle operatorname {Cov} }$ обозначает ковариация.

Обобщения

Существуют различные обобщения неравенства Коши – Шварца. Неравенство Гёльдера обобщает это на ${displaystyle L^{p}}$ норм. В более общем смысле его можно интерпретировать как частный случай определения нормы линейного оператора на Банахово пространство (А именно, когда пространство Гильбертово пространство ). Дальнейшие обобщения даны в контексте теория операторов, например для операторно-выпуклых функций и операторные алгебры, где домен и / или диапазон заменены на C * -алгебра или же W * -алгебра.

Внутренний продукт может использоваться для определения положительный линейный функционал. Например, учитывая гильбертово пространство ${displaystyle L^{2}(m),m}$ будучи конечной мерой, стандартный внутренний продукт дает положительный функционал ${displaystyle varphi }$ к ${displaystyle varphi (g)=langle g,1angle }$. Наоборот, всякий положительный линейный функционал ${displaystyle varphi }$ на ${displaystyle L^{2}(m)}$ может использоваться для определения внутреннего продукта ${displaystyle langle f,gangle _{varphi }:=varphi (g^{*}f)}$, куда ${displaystyle g^{*}}$ это точечно комплексно сопряженный из ${displaystyle g}$. На этом языке неравенство Коши – Шварца принимает вид^[16]

${displaystyle |varphi (g^{*}f)|^{2}leq varphi (f^{*}f)varphi (g^{*}g),}$

дословно продолжается до положительных функционалов на C * -алгебрах:

Теорема (Неравенство Коши – Шварца для положительных функционалов на C * -алгебрах):^[17][18] Если ${displaystyle varphi }$ является положительным линейным функционалом на C * -алгебре ${displaystyle A,}$ тогда для всех ${displaystyle a,bin A}$, ${displaystyle |varphi (b^{*}a)|^{2}leq varphi (b^{*}b)varphi (a^{*}a)}$.

Следующие две теоремы являются дополнительными примерами из операторной алгебры.

Теорема (Неравенство Кадисона – Шварца,^[19][20] названный в честь Ричард Кэдисон ): Если ${displaystyle varphi }$ является унитальным положительным отображением, то для каждого нормальный элемент ${displaystyle a}$ в своей области мы имеем ${displaystyle varphi (a^{*}a)geq varphi (a^{*})varphi (a)}$ и ${displaystyle varphi (a^{*}a)geq varphi (a)varphi (a^{*})}$.

Это расширяет факт ${displaystyle varphi (a^{*}a)cdot 1geq varphi (a)^{*}varphi (a)=|varphi (a)|^{2}}$, когда ${displaystyle varphi }$ - линейный функционал. Случай, когда ${displaystyle a}$ самосопряжен, т.е. ${displaystyle a=a^{*},}$ иногда называют Неравенство Кадисона.

Теорема (Модифицированное неравенство Шварца для 2-положительных отображений):^[21] Для 2-положительной карты ${displaystyle varphi }$ между C * -алгебрами, для всех ${displaystyle a,b}$ в своей области,

${displaystyle varphi (a)^{*}varphi (a)leq Vert varphi (1)Vert varphi (a^{*}a),{ ext{ and }}}$

${displaystyle Vert varphi (a^{*}b)Vert ^{2}leq Vert varphi (a^{*}a)Vert cdot Vert varphi (b^{*}b)Vert .}$

Другое обобщение - это уточнение, полученное интерполяцией между обеими частями неравенства Коши-Шварца:

Теорема (Неравенство Каллебаут)^[22] Для реалов ${displaystyle 0leqslant sleqslant tleqslant 1}$,

${displaystyle {Bigl (}sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}{Bigr )}^{2}leqslant sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}leqslant sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}leqslant sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}.}$

Это легко доказать Неравенство Гёльдера.^[23] Существуют также некоммутативные версии для операторов и тензорных произведений матриц.^[24]

Смотрите также

• Неравенство Бесселя
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Куниты – Ватанабе
• Неравенство Минковского

Примечания

1. Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши – Шварца: введение в искусство математических неравенств. Математическая ассоциация Америки. п. 1. ISBN  978-0521546775. ... нет сомнений в том, что это одно из наиболее широко используемых и наиболее важных неравенств во всей математике.
2. Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005). «3,2». Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Стэмфорд, Коннектикут: Cengage Learning. С. 154–155. ISBN  978-0030105678.
3. Хантер, Джон К .; Nachtergaele, Бруно (2001). Прикладной анализ. World Scientific. ISBN  981-02-4191-7.
4. Бахманн, Джордж; Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2012-12-06). Фурье и вейвлет-анализ. Springer Science & Business Media. п. 14. ISBN  9781461205050.
5. Хассани, Садри (1999). Математическая физика: современное введение в ее основы. Springer. п. 29. ISBN  0-387-98579-4. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда = 0 или | c> = 0. Из определения | c> заключаем, что | a> и | b> должны быть пропорциональными.
6. Ву, Хуэй-Хуа; Ву, Шанхэ (апрель 2009 г.). «Различные доказательства неравенства Коши-Шварца» (PDF). Математический журнал Octogon. 17 (1): 221–229. ISBN  978-973-88255-5-0. ISSN  1222-5657. Получено 18 мая 2016.
7. Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2007-05-02). Бесконечный анализ измерений: автостопом. Springer Science & Business Media. ISBN  9783540326960.
8. Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (26 сентября 2012). Функциональный анализ. Курьерская корпорация. п. 141. ISBN  9780486136554.
9. Шварц, Чарльз (21 февраля 1994). Мера, интеграция и функциональные пространства. World Scientific. п. 236. ISBN  9789814502511.
10. Рикардо, Генри (21.10.2009). Современное введение в линейную алгебру. CRC Press. п. 18. ISBN  9781439894613.
11. Банерджи, Судипто; Рой, Аниндия (06.06.2014). Линейная алгебра и матричный анализ для статистики. CRC Press. п. 181. ISBN  9781482248241.
12. Валенца, Роберт Дж. (2012-12-06). Линейная алгебра: введение в абстрактную математику. Springer Science & Business Media. п. 146. ISBN  9781461209010.
13. Константин, Адриан (21 мая 2016 г.). Фурье-анализ с приложениями. Издательство Кембриджского университета. п. 74. ISBN  9781107044104.
14. Мухопадхьяй, Нитис (22 марта 2000 г.). Вероятность и статистический вывод. CRC Press. п. 150. ISBN  9780824703790.
15. Кинер, Роберт В. (08.09.2010). Теоретическая статистика: темы основного курса. Springer Science & Business Media. п. 71. ISBN  9780387938394.
16. Фариа, Эдсон де; Мело, Велингтон де (12 августа 2010 г.). Математические аспекты квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета. п. 273. ISBN  9781139489805.
17. Линь, Хуаксин (2001-01-01). Введение в классификацию аменабельных C * -алгебр. World Scientific. п. 27. ISBN  9789812799883.
18. Арвесон, В. (2012-12-06). Приглашение в C * -алгебры. Springer Science & Business Media. п. 28. ISBN  9781461263715.
19. Стёрмер, Эрлинг (13 декабря 2012 г.). Положительные линейные отображения операторных алгебр. Монографии Спрингера по математике. Springer Science & Business Media. ISBN  9783642343698.
20. Кадисон, Ричард В. (1952-01-01). «Обобщенное неравенство Шварца и алгебраические инварианты для операторных алгебр». Анналы математики. 56 (3): 494–503. Дои:10.2307/1969657. JSTOR  1969657.
21. Полсен, Верн (2002). Вполне ограниченные отображения и операторные алгебры. Кембриджские исследования в области высшей математики. 78. Издательство Кембриджского университета. п. 40. ISBN  9780521816694.
22. Каллебаут, Д.К. (1965). «Обобщение неравенства Коши – Шварца». J. Math. Анальный. Приложение. 12 (3): 491–494. Дои:10.1016 / 0022-247X (65) 90016-8.
23. Неравенство Каллебо. Запись в AoPS Wiki.
24. Moslehian, M.S .; Matharu, J.S .; Ауйла, Дж. (2011). «Некоммутативное неравенство Каллебо». arXiv:1112.3003 [math.FA ].

Рекомендации

• Aldaz, J.M .; Barza, S .; Fujii, M .; Мослехиан, М. С. (2015), "Успехи в операторных неравенствах Коши-Шварца и их обратных", Анналы функционального анализа, 6 (3): 275–295, Дои:10.15352 / afa / 06-3-20
• Битюцков, В. И. (2001) [1994], «Неравенство Буняковского», Энциклопедия математики, EMS Press
• Буняковский, В. (1859), "Sur quelques inegalités беспокойство о les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Акад. Sci. Санкт-Петербург, 7 (1): 9
• Коши, А.-Л. (1821), "Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur> ou <, et sur les moyennes entre plusieurs Quantités", Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyze Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377
• Драгомир, С. С. (2003), «Обзор дискретных неравенств типа Коши – Буняковского – Шварца», Журнал неравенств в чистой и прикладной математике, 4 (3): 142 с., Архивировано из оригинал на 2008-07-20
• Гриншпан, А. З. (2005), "Общие неравенства, следствия и приложения", Успехи в прикладной математике, 34 (1): 71–100, Дои:10.1016 / j.aam.2004.05.001
• Кадисон, Р.В. (1952), «Обобщенное неравенство Шварца и алгебраические инварианты для операторных алгебр», Анналы математики, 56 (3): 494–503, Дои:10.2307/1969657, JSTOR  1969657.
• Лохуотер, Артур (1982), Введение в неравенство, Электронная электронная книга в формате PDF
• Паульсен, В. (2003), Вполне ограниченные отображения и операторные алгебры, Издательство Кембриджского университета.
• Шварц, Х.А. (1888 г.), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318
• Соломенцев, Э. Д. (2001) [1994], «Неравенство Коши», Энциклопедия математики, EMS Press
• Стил, Дж. М. (2004), Мастер-класс Коши – Шварца, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-54677-X

внешняя ссылка

• Раннее использование: статья о неравенстве Коши-Шварца содержит некоторую историческую информацию.
• Пример применения неравенства Коши – Шварца для определения линейно независимых векторов Учебная и интерактивная программа.