Эрмитово сопряженный - Hermitian adjoint

В математика особенно в функциональный анализ, каждая ограниченная линейный оператор на комплексе Гильбертово пространство имеет соответствующий Эрмитово сопряженный (или сопряженный оператор). Сопряжения операторов обобщают сопряженный транспоз из квадратные матрицы к (возможно) бесконечномерным ситуациям. Если рассматривать операторы в комплексном гильбертовом пространстве как обобщенные комплексные числа, то сопряженный к оператору играет роль комплексно сопряженный комплексного числа.

В аналогичном смысле можно определить сопряженный оператор для линейных (и, возможно, неограниченных) операторов между Банаховы пространства.

Сопряженный к оператору А можно также назвать Эрмитово сопряжение, Эрмитский или Эрмитово транспонирование^[1] (после Чарльз Эрмит ) из А и обозначается А^∗ или А^† (последнее особенно при использовании вместе с обозначение бюстгальтера ). Как ни странно, А^∗ также может использоваться для обозначения конъюгата А.

Неформальное определение

Рассмотрим линейный оператор ${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$ между Гильбертовы пространства. Не вдаваясь в подробности, сопряженный оператор является (в большинстве случаев однозначно определенным) линейным оператором ${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$ выполнение

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$ это внутренний продукт в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H_{i}}$, линейная по первой координате и антилинейный по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и ${\displaystyle A}$ является оператором в этом гильбертовом пространстве.

Когда кто-то обменивает двойную пару на внутренний продукт, можно определить сопряженное, также называемое транспонировать, оператора ${\displaystyle A:E\to F}$, где ${\displaystyle E,F}$ находятся Банаховы пространства с соответствующими нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$. Здесь (опять же без учета технических деталей) сопряженный оператор определяется как ${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$ с участием

${\displaystyle A^{*}f=(u\mapsto f(Au)),}$

Т.е., ${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ для ${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$.

Обратите внимание, что приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто применением случая банахова пространства, когда гильбертово пространство отождествляется с двойственным ему. Тогда естественно, что можно получить и сопряженный к оператору ${\displaystyle A:H\to E}$, где ${\displaystyle H}$ является гильбертовым пространством и ${\displaystyle E}$ является банаховым пространством. Тогда двойственный определяется как ${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$ с участием ${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$ такой, что

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами

Позволять ${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$ быть Банаховы пространства. Предположим ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ и ${\displaystyle D(A)\subset E}$, и предположим, что ${\displaystyle A}$ является (возможно, неограниченным) линейным оператором, который плотно определен (т. е. ${\displaystyle D(A)}$ плотно в ${\displaystyle E}$). Тогда его сопряженный оператор ${\displaystyle A^{*}}$ определяется следующим образом. Домен

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}}$.

Теперь для произвольных, но фиксированных ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ мы установили ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ с участием ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$. По выбору ${\displaystyle g}$ и определение ${\displaystyle D(A^{*})}$, f (равномерно) непрерывна на ${\displaystyle D(A)}$ так как ${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$. Затем по Теорема Хана – Банаха или, альтернативно, через расширение по непрерывности это дает расширение ${\displaystyle f}$, называется ${\displaystyle {\hat {f}}}$ определены на всех ${\displaystyle E}$. Обратите внимание, что эта техническая деталь необходима, чтобы позже получить ${\displaystyle A^{*}}$ как оператор ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ вместо того ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ Отметим также, что это не означает, что ${\displaystyle A}$ может быть расширен на все ${\displaystyle E}$ но расширение работало только для определенных элементов ${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$.

Теперь мы можем определить сопряженный к ${\displaystyle A}$ так как

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}\end{aligned}}}$

Таким образом, основная определяющая идентичность

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$ для ${\displaystyle u\in D(A).}$

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Предположим ЧАС это сложный Гильбертово пространство, с участием внутренний продукт ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. Рассмотрим непрерывный линейный оператор А : ЧАС → ЧАС (для линейных операторов непрерывность эквивалентна тому, чтобы быть ограниченный оператор ). Тогда примыкающий к А - линейный непрерывный оператор А^∗ : ЧАС → ЧАС удовлетворение

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}$

Существование и единственность этого оператора следует из Теорема Рисса о представлении.^[2]

Это можно рассматривать как обобщение прилегающий матрица квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, включая стандартный комплексный внутренний продукт.

Свойства

Следующие свойства эрмитова сопряженного к ограниченные операторы немедленно:^[2]

1. Инволютивность: А^∗∗ = А
2. Если А обратимо, то также А^∗, с участием ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Антилинейность:
   • (А + B)^∗ = А^∗ + B^∗
   • (λA)^∗ = λА^∗, где λ обозначает комплексно сопряженный из комплексное число λ
4. "Антидистрибутивность ": (AB)^∗ = B^∗А^∗

Если мы определим норма оператора из А от

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

тогда

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^[2]

Более того,

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^[2]

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшее значение», экстраполируя из случая самосопряженных операторов.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве ЧАС вместе с сопряженной операцией и операторной нормой образуют прототип C * -алгебра.

Сопряжение плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

А плотно определенный оператор А из комплексного гильбертова пространства ЧАС самому себе является линейным оператором, область определения D(А) плотный линейное подпространство из ЧАС и чьи ценности лежат в ЧАС.^[3] По определению, домен D(А^∗) прилегающего к нему А^∗ это набор всех y ∈ ЧАС для которого есть z ∈ ЧАС удовлетворение

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A),}$

и А^∗(y) определяется как z таким образом найдено.^[4]

Свойства 1. – 5. держать с соответствующими пунктами о домены и кодомены.^{[требуется разъяснение ]} Например, последнее свойство теперь утверждает, что (AB)^∗ является продолжением B^∗А^∗ если А, B и AB - плотно определенные операторы.^[5]

Взаимосвязь образа А и ядро его сопряжения определяется:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker A^{*}&=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot }\\\left(\ker A^{*}\right)^{\bot }&={\overline {\operatorname {im} \ A}}\end{aligned}}}$

Эти утверждения эквивалентны. Увидеть ортогональное дополнение для доказательства этого и для определения ${\displaystyle \bot }$.

Доказательство первого уравнения:^{[6][требуется разъяснение ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \left\langle A^{*}x,y\right\rangle =0\quad {\mbox{ for all }}y\in H\\&\iff \left\langle x,Ay\right\rangle =0\quad {\mbox{ for all }}y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}$

Второе уравнение следует из первого за счет ортогонального дополнения с обеих сторон. Обратите внимание, что в общем случае нужно закрывать не изображение, а ядро непрерывный оператор^[7] всегда.^{[требуется разъяснение ]}

Эрмитовы операторы

А ограниченный оператор А : ЧАС → ЧАС называется эрмитовым или самосопряженный если

${\displaystyle A=A^{*}}$

что эквивалентно

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^[8]

В каком-то смысле эти операторы играют роль действительные числа (будучи равными собственному «комплексно-сопряженному») и образуют реальную векторное пространство. Они служат образцом реальных наблюдаемые в квантовая механика. См. Статью о самосопряженные операторы для полноценного лечения.

Сопряжения антилинейных операторов

Для антилинейный оператор определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженный оператор антилинейного оператора А на комплексном гильбертовом пространстве ЧАС антилинейный оператор А^∗ : ЧАС → ЧАС с недвижимостью:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

Другие прилегающие

Уравнение

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

формально аналогичен определяющим свойствам пар присоединенные функторы в теория категорий, отсюда и свое название присоединенные функторы.

Смотрите также

• Математические понятия
  • Эрмитов оператор
  • Норма (математика)
  • Транспонировать линейные карты
• Физические приложения
  • Оператор (физика)
  • †-алгебра

использованная литература

1. Миллер, Дэвид А. Б. (2008). Квантовая механика для ученых и инженеров. Издательство Кембриджского университета. С. 262, 280.
2. Рид и Саймон 2003, стр. 186–187; Рудин 1991, §12.9
3. Увидеть неограниченный оператор для подробностей.
4. Рид и Саймон 2003, п. 252; Рудин 1991, §13.1
5. Рудин 1991, Thm 13,2
6. Увидеть Рудин 1991, Теор. 12.10 для случая ограниченных операторов
7. То же, что и ограниченный оператор.
8. Рид и Саймон 2003, pp. 187; Рудин 1991, §12.11

• Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными (первое изд.), Springer, ISBN  978-0-387-70913-0.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ, Эльзевьер, ISBN  981-4141-65-8.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.