Комплексное сопряжение - Complex conjugate

Геометрическое представление (диаграмма Аргана) z и его сопряженный z̅ в комплексной плоскости. Комплексное сопряжение находится по формуле отражающий z поперек действительной оси.

В математика, то комплексно сопряженный из комплексное число это число с равным настоящий часть и воображаемый части равны по величине, но противоположны по знак. Учитывая комплексное число ${\displaystyle z=a+bi}$ (куда а и б являются действительными числами), комплексное сопряжение ${\displaystyle z}$, часто обозначаемый как ${\displaystyle {\overline {z}}}$, равно ${\displaystyle a-bi.}$^[1][2][3]

В полярная форма, конъюгат ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ является ${\displaystyle re^{-i\varphi }}$. Это можно показать с помощью Формула Эйлера.

Произведение комплексного числа и его конъюгата - действительное число: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ (или${\displaystyle r^{2}}$ в полярные координаты ).

Если корень одномерного многочлен с действительными коэффициентами является комплексным, то его комплексное сопряжение также является корнем.

Обозначение

Комплексное сопряжение комплексного числа ${\displaystyle z}$ записывается как ${\displaystyle {\overline {z}}}$ или ${\displaystyle z^{*}\!}$.^[1][2] Первое обозначение, a винкулум, позволяет избежать путаницы с обозначениями для сопряженный транспонировать из матрица, который можно рассматривать как обобщение комплексно-сопряженного. Второй предпочтителен в физика, где кинжал (†) используется для сопряженного транспонирования, в то время как штриховая запись чаще встречается в чистая математика. Если комплексное число представлен в виде матрицы 2 × 2, обозначения идентичны. В некоторых текстах комплексное сопряжение предыдущего известного числа обозначается аббревиатурой "c.c.". Например, написание ${\displaystyle e^{i\varphi }+{\text{c.c.}}}$ означает ${\displaystyle e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}$.

Характеристики

Следующие свойства применяются ко всем комплексным числам. z и ш, если не указано иное, и может быть подтверждено письменно z и ш в виде а + би.

Для любых двух комплексных чисел ш, г, спряжение распределительный над сложением, вычитанием, умножением и делением.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}}\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}}\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0\\\end{aligned}}}$

Реальные числа - единственные фиксированные точки спряжения. Комплексное число равно своему комплексно-сопряженному, если его мнимая часть равна нулю.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z}}&=z~\Leftrightarrow ~z\in \mathbb {R} \\\end{aligned}}}$

Композиция сопряжения с модулем эквивалентна только модулю.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\overline {z}}\right|&=\left|z\right|\\\end{aligned}}}$

Спряжение - это инволюция; сопряжение конъюгата комплексного числа z является z.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\overline {z}}}&=z\\\end{aligned}}}$

Произведение комплексного числа и его сопряженного равно квадрату модуля числа. Это позволяет легко вычислить мультипликативный обратный комплексного числа, заданного в прямоугольных координатах.

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\overline {z}}&={\left|z\right|}^{2}\\z^{-1}&={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad \forall z\neq 0\end{aligned}}}$

Спряжение коммутативный при композиции с возведением в степень до целых степеней, с экспоненциальной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z^{n}}}&=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad \forall n\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}\,\!}$

${\displaystyle \log \left({\overline {z}}\right)={\overline {\log(z)}}\,\!}$ если z ненулевой

Если ${\displaystyle p}$ это многочлен с настоящий коэффициенты и ${\displaystyle p(z)=0}$, тогда ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$ также. Таким образом, невещественные корни вещественных многочленов встречаются в комплексно сопряженных парах (увидеть Теорема о комплексном сопряженном корне ).

В общем, если ${\displaystyle \varphi \,}$ это голоморфная функция чье ограничение на действительные числа является действительным, и ${\displaystyle \varphi (z)\,}$ определено, то

${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$

Карта ${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}\,}$ из ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ к ${\displaystyle \mathbb {C} }$ это гомеоморфизм (где топология на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ считается стандартной топологией) и антилинейный, если учесть ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ как комплекс векторное пространство над собой. Хотя это кажется хорошо воспитанный функция, это не голоморфный; он меняет ориентацию, тогда как голоморфные функции локально сохраняют ориентацию. это биективный и совместим с арифметическими операциями, и, следовательно, является поле автоморфизм. Поскольку он сохраняет действительные числа фиксированными, он является элементом Группа Галуа из расширение поля ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$. В этой группе Галуа всего два элемента: ${\displaystyle \sigma \,}$ и личность на ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Таким образом, единственные два полевых автоморфизма ${\displaystyle \mathbb {C} }$ которые оставляют действительные числа фиксированными - это тождественная карта и комплексное сопряжение.

Использовать как переменную

Когда-то сложное число ${\displaystyle z=x+yi}$ или ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ задано, его сопряженного достаточно для воспроизведения частей z-Переменная:

• Реальная часть: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Мнимая часть: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Модуль (или абсолютное значение): ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Аргумент: ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}}$, так ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Более того, ${\displaystyle {\overline {z}}}$ может использоваться для указания линий на плоскости: набор

${\displaystyle \left\{z\mid z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$

линия, проходящая через начало координат и перпендикулярная к ${\displaystyle {r}}$, поскольку реальная часть ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ равен нулю только тогда, когда косинус угла между ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle {r}}$ равно нулю. Аналогично для фиксированной комплексной единицы ты = ехр (б я), уравнение

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$

определяет линию через ${\displaystyle z_{0}}$ параллельно прямой, проходящей через 0 и ты.

Эти виды использования конъюгата z в качестве переменной показаны на Фрэнк Морли книга Инверсивная геометрия (1933), написанный с его сыном Фрэнком Вигором Морли.

Обобщения

Другие плоские вещественные алгебры, двойные числа, и разделенные комплексные числа также анализируются с помощью комплексного сопряжения.

Для матриц комплексных чисел ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right)}$, где ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ представляет собой поэлементное сопряжение ${\displaystyle \mathbf {A} }$.^[4] Сравните это со свойством ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*}}$, где ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ представляет сопряженный транспонировать из ${\textstyle \mathbf {A} }$.

Принимая сопряженный транспонировать (или примыкающий) сложный матрицы обобщает комплексное сопряжение. Еще более общим является понятие сопряженный оператор для операторов на (возможно, бесконечномерном) комплексе Гильбертовы пространства. Все это относится к * -операциям C * -алгебры.

Можно также определить сопряжение для кватернионы и расщепленные кватернионы: конъюгат ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ является ${\textstyle a-bi-cj-dk}$.

Все эти обобщения мультипликативны, только если факторы поменять местами:

${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$

Поскольку умножение плоских вещественных алгебр равно коммутативный, этот разворот там не нужен.

Существует также абстрактное понятие спряжения для векторные пространства ${\textstyle V}$ над сложные числа. В этом контексте любые антилинейная карта ${\textstyle \varphi :V\rightarrow V\,}$ это удовлетворяет

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,}$, где ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$ и ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ это карта идентичности на ${\displaystyle V\,}$,
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$ для всех ${\displaystyle v\in V\,}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \,}$, и
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$ для всех ${\displaystyle v_{1}\in V\,}$, ${\displaystyle v_{2}\in V\,}$,

называется комплексное сопряжение, или реальная структура. Как инволюция ${\displaystyle \varphi }$ является антилинейный, это не может быть карта идентичности на ${\displaystyle V}$.

Конечно, ${\textstyle \varphi }$ это ${\textstyle \mathbb {R} }$-линейное преобразование ${\textstyle V}$, если заметить, что каждое сложное пространство V имеет реальный вид, полученный тем же векторов как в исходном пространстве и ограничивая скаляры реальностью. Вышеупомянутые свойства фактически определяют реальная структура на комплексном векторном пространстве ${\displaystyle V}$.^[5]

Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования сложных матриц, определенная выше. Обратите внимание, что в общих комплексных векторных пространствах нет канонический понятие комплексного сопряжения.

Смотрите также

• Абсолютный квадрат
• Комплексно-сопряженная линия
• Комплексно сопряженное векторное пространство
• Комплексно-сопряженное представление
• Составная алгебра
• Реальная структура
• Производные Виртингера

использованная литература

1. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-31.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Комплексный конъюгат». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-31.
3. "Сложные числа". www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-31.
4. Арфкен, Математические методы для физиков, 1985, стр. 201
5. Будинич П., Траутман А. Спинориальная шахматная доска. Springer-Verlag, 1988, стр. 29

Список используемой литературы

• Будинич П., Траутман А. Спинориальная шахматная доска. Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-19078-3. (антилинейные карты обсуждаются в разделе 3.3).