Комплексно-сопряженное представление - Complex conjugate representation

В математика, если грамм это группа и Π это представление из этого по сложный векторное пространство V, то комплексно-сопряженное представление Π определяется над комплексно сопряженное векторное пространство V следующее:

Π(грамм) это сопрягать из Π (грамм) для всех грамм в грамм.

Π также является представлением, что можно проверить явно.

Если грамм это настоящий Алгебра Ли и π является его представлением в векторном пространстве V, то сопряженное представление π определена над сопряженным векторным пространством V следующее:

π(Икс) является конъюгатом π (Икс) для всех Икс в грамм.^[1]

π также является представлением, что можно проверить явно.

Если две вещественные алгебры Ли имеют одинаковые комплексирование, и у нас есть комплексное представление комплексифицированной алгебры Ли, их сопряженные представления все равно будут другими. Видеть спинор для некоторых примеров, связанных со спинорным представлением спиновые группы Вращение(п + q) и Вращение(п, q).

Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является * -алгеброй Ли (комплексной алгеброй Ли с операцией *, совместимой со скобкой Ли),

π(Икс) является конъюгатом −π (Икс*) для всех Икс в грамм

Для конечномерного унитарное представительство, двойственное представление и сопряженное представление совпадают. Это верно и для псевдоунитарных представлений.

Смотрите также

• Двойное представление

Примечания

1. Это условность математиков. Физики используют другое соглашение, где Кронштейн лжи двух вещественных векторов - это мнимый вектор. В соответствии с соглашением физиков вставьте минус в определение.