Комплексно сопряженное векторное пространство - Complex conjugate vector space

В математика, то комплексно сопряженный из сложный векторное пространство ${\displaystyle V\,}$ комплексное векторное пространство ${\displaystyle {\overline {V}}}$, который имеет те же элементы и структуру аддитивной группы, что и ${\displaystyle V}$, но чей скалярное умножение включает сопряжение скаляров. Другими словами, скалярное умножение ${\displaystyle {\overline {V}}}$ удовлетворяет

${\displaystyle \alpha \,*\,v={\,{\overline {\alpha }}\cdot \,v\,}}$

куда ${\displaystyle *}$ скалярное умножение ${\displaystyle {\overline {V}}}$ и ${\displaystyle \cdot }$ скалярное умножение ${\displaystyle V}$.Письмо ${\displaystyle v\,}$ обозначает вектор в ${\displaystyle V\,}$, ${\displaystyle \alpha \,}$ - комплексное число, и ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ обозначает комплексно сопряженный из ${\displaystyle \alpha \,}$.^[1]

Более конкретно, комплексно сопряженное векторное пространство - это то же самое, что и лежащее в основе настоящий векторное пространство (тот же набор точек, такое же сложение векторов и вещественное скалярное умножение) с сопряженным линейная сложная структура J (разное умножение на я).

Мотивация

Если ${\displaystyle V\,}$ и ${\displaystyle W\,}$ сложные векторные пространства, функция ${\displaystyle f\colon V\to W\,}$ является антилинейный если

${\displaystyle f(v+v')=f(v)+f(v')\quad {\text{and}}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)}$

С использованием сопряженного векторного пространства ${\displaystyle {\overline {V}}}$, антилинейное отображение ${\displaystyle f:V\to W}$ можно рассматривать как обычный линейная карта типа ${\displaystyle {\overline {V}}\to W}$. Линейность проверяют, отмечая:

${\displaystyle f(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\overline {\alpha }}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)}$

Наоборот, любое линейное отображение, определенное на ${\displaystyle {\overline {V}}}$ рождает антилинейную карту на ${\displaystyle V\,}$.

Это тот же основной принцип, что и при определении противоположное кольцо так что право ${\displaystyle R}$-модуль можно рассматривать как левый ${\displaystyle R^{op}}$-модуль или противоположная категория так что контравариантный функтор ${\displaystyle C\to D}$ можно рассматривать как обычный функтор типа ${\displaystyle C^{op}\to D}$.

Функтор комплексного сопряжения

Линейная карта ${\displaystyle f\colon V\to W\,}$ дает соответствующее линейное отображение ${\displaystyle {\overline {f}}\colon {\overline {V}}\to {\overline {W}}}$ который имеет то же действие, что и ${\displaystyle f}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle {\overline {f}}}$ сохраняет скалярное умножение, потому что

${\displaystyle {\overline {f}}(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\alpha }}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)}$

Таким образом, комплексное сопряжение ${\displaystyle V\mapsto {\overline {V}}}$ и ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$ определить функтор от категория сложных векторных пространств к себе.

Если ${\displaystyle V\,}$ и ${\displaystyle W\,}$ конечномерны, а отображение ${\displaystyle f\,}$ описывается комплексом матрица ${\displaystyle A\,}$ с уважением к базы ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ из ${\displaystyle V\,}$ и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ из ${\displaystyle W\,}$, то карта ${\displaystyle {\overline {f}}}$ описывается комплексным сопряжением ${\displaystyle A\,}$ по отношению к базам ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ из ${\displaystyle {\overline {V}}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$ из ${\displaystyle {\overline {W}}}$.

Структура конъюгата

Векторные пространства ${\displaystyle V\,}$ и ${\displaystyle {\overline {V}}}$ имеют то же самое измерение над комплексными числами и поэтому изоморфный как сложные векторные пространства. Однако нет естественный изоморфизм из ${\displaystyle V\,}$ к ${\displaystyle {\overline {V}}}$.

Двойное сопряжение ${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}}$ идентичен ${\displaystyle V}$.

Комплексно сопряженное гильбертово пространство

Учитывая Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (конечной или бесконечномерной), ее комплексно сопряженная ${\displaystyle {\overline {\mathcal {H}}}}$ то же векторное пространство, что и его непрерывное двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}'}$Между непрерывными линейными функционалами и векторами существует взаимно однозначное антилинейное соответствие. линейный функционал на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ это внутреннее умножение на некоторый фиксированный вектор, и наоборот.^{[нужна цитата ]}

Таким образом, комплексно сопряженный к вектору ${\displaystyle v}$, особенно в случае конечной размерности, может быть обозначено как ${\displaystyle v^{*}}$ (v-звезда, а вектор строки какой сопряженный транспонировать в вектор-столбец ${\displaystyle v}$В квантовой механике сопряженное кет вектор ${\displaystyle |\psi \rangle }$ обозначается как ${\displaystyle \langle \psi |}$ - а бюстгальтер вектор (видеть обозначение бюстгальтера ).

Смотрите также

• Линейная сложная структура

Рекомендации

1. К. Шмюдген (11 ноября 2013 г.). Неограниченные операторные алгебры и теория представлений. Birkhäuser. п. 16. ISBN  978-3-0348-7469-4.

дальнейшее чтение

• Будинич П., Траутман А. Спинориальная шахматная доска. Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-19078-3. (Комплексно сопряженные векторные пространства обсуждаются в разделе 3.3, стр. 26).