Противоположная категория - Opposite category

В теория категорий, филиал математика, то противоположная категория или двойная категория C^op данного категория C формируется путем обращения морфизмы, т. е. меняют местами источник и цель каждого морфизма. Выполнение разворота дважды дает исходную категорию, поэтому противоположностью противоположной категории является сама исходная категория. В символах ${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C}$.

Примеры

• Примером может служить изменение направления неравенства в частичный заказ. Так что если Икс это набор и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤^op от

Икс ≤^op у если и только если у ≤ Икс.

Новый порядок обычно называют двойственным порядком ≤ и обычно обозначают ≥. Следовательно, двойственность играет важную роль в теории порядка, и каждое чисто теоретическое понятие порядка имеет двойственное. Например, есть противоположные пары ребенок / родитель, потомок / предок, инфимум /супремум, сброшенный /расстройство, идеальный /фильтр Эта теоретико-упорядоченная двойственность, в свою очередь, является частным случаем построения противоположных категорий, поскольку каждое упорядоченное множество может быть понял как категория.

• Учитывая полугруппа (S, ·), Противоположную полугруппу обычно определяют как (S, ·)^op = (S, *) где Икс*у ≔ у·Икс для всех Икс,у в S. Так и для полугрупп существует сильный принцип двойственности. Ясно, что такая же конструкция работает и для групп и известна в теория колец также, где он применяется к мультипликативной полугруппе кольца, чтобы дать противоположное кольцо. Опять же, этот процесс можно описать, дополнив полугруппу до моноида, взяв соответствующий противоположной категории, а затем, возможно, удалив единицу из этого моноида.
• Категория Булевы алгебры и логическое гомоморфизмы является эквивалент в противоположность категории Каменные пространства и непрерывные функции.
• Категория аффинные схемы является эквивалент в противоположность категории коммутативные кольца.
• В Понтрягинская двойственность ограничивает эквивалентность категории компактный Хаусдорф абелевский топологические группы и противоположность категории (дискретных) абелевых групп.
• По теореме Гельфанда – Ноймарка категория локализуемых измеримые пространства (с участием измеримые карты ) эквивалентна категории коммутативных Алгебры фон Неймана (с участием нормальный единый гомоморфизмы * -алгебры ).^[1]

Свойства

Напротив консервы продукты:

${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}}$ (увидеть категория продукта )

Напротив консервы функторы:

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}$^[2][3] (увидеть категория функторов, противоположный функтор )

Напротив консервы ломтики:

${\displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})}$ (увидеть категория запятой )

Смотрите также

• Двойной объект
• Дуал (теория категорий)
• Двойственность (математика)
• Присоединенный функтор
• Контравариантный функтор
• Противоположный функтор

использованная литература

1. «Есть ли введение в теорию вероятностей со структуралистской / категориальной точки зрения?». MathOverflow. Получено 25 октября 2010.
2. Х. Херрлих, Г. Э. Стрекер, Категория Теория, 3-е издание, Heldermann Verlag, ISBN  978-3-88538-001-6, п. 99.
3. О. Уайлер, Конспект лекций по топоям и квазитопоям, World Scientific, 1991, стр. 8.

• Противоположная категория в nLab
• Данилов, В. (2001) [1994], «Двойная категория», Энциклопедия математики, EMS Press
• Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN  1441931236. OCLC  851741862.
• Awodey, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр.53 –55. ISBN  978-0199237180. OCLC  740446073.