Двойной объект - Dual object

В теория категорий, филиал математика, а двойной объект является аналогом двойное векторное пространство из линейная алгебра за объекты в произвольном моноидальные категории. Это лишь частичное обобщение, основанное на категориальных свойствах двойственность за конечномерный векторные пространства. Объект, допускающий дуал, называется дуализируемый объект. В этом формализме бесконечномерные векторные пространства не дуализируемы, поскольку двойственное векторное пространство V^∗ не удовлетворяет аксиомам.^[1] Часто объект является дуализируемым, только если он удовлетворяет некоторому свойству конечности или компактности.^[2]

А категория в котором каждый объект имеет дуал, называется автономный или же жесткий. Категория конечномерных векторных пространств со стандартным тензорное произведение является жестким, а категория всех векторных пространств - нет.

Мотивация

Позволять V - конечномерное векторное пространство над некоторым поле K. Стандартное понятие двойное векторное пространство V^∗ обладает следующим свойством: для любого K-векторные пространства U и W существует примыкание Hom_K(U ⊗ V,W) = Hom_K(U, V^∗ ⊗ W), что характеризует V^∗ до уникального изоморфизм. Это выражение имеет смысл в любой категории с соответствующей заменой тензорное произведение векторных пространств. Для любого моноидальная категория (C, ⊗) можно попытаться определить дуал объекта V быть объектом V^∗ ∈ C с естественный изоморфизм из бифункторы

Hom_C((–)₁ ⊗ V, (–)₂) → Hom_C((–)₁, V^∗ ⊗ (–)₂)

Для правильного представления о двойственности это отображение должно быть не только естественным в смысле теории категорий, но и каким-то образом уважать моноидальную структуру.^[1] Таким образом, фактическое определение двойного объекта более сложно.

В закрытая моноидальная категория C, т.е. моноидальная категория с внутренний Hom функтора, альтернативный подход заключается в моделировании стандартного определения двойственного векторного пространства как пространства функционалы. Для объекта V ∈ C определять V^∗ быть ${displaystyle {underline {mathrm {Hom}}} _ {C} (V, mathbb {1} _ {C})}$ , где 1_C - моноидальное тождество. В некоторых случаях этот объект будет двойным объектом для V в некотором смысле выше, но в целом это приводит к другой теории.^[3]

Определение

Рассмотрим объект ${displaystyle X}$ в моноидальная категория ${displaystyle (mathbf {C}, otimes, I, alpha, lambda, ho)}$ . Предмет ${displaystyle X ^ {*}}$ называется левый двойной из ${displaystyle X}$ если существуют два морфизма

{displaystyle eta: I o Xotimes X ^ {*}}

, называется одновременная оценка, и

{displaystyle varepsilon: X ^ {*} иногда X o I}

, называется оценка,

такие, что следующие две диаграммы коммутируют:

и

Предмет ${displaystyle X}$ называется правый двойной из ${displaystyle X ^ {*}}$ . Это определение связано с Dold & Puppe (1980).

Левые двойники канонически изоморфны, когда они существуют, как и правые двойники. Когда C является плетеный (или же симметричный ), каждый левый дуал также является правым двойником, и наоборот.

Если рассматривать моноидальную категорию как бикатегория с одним объектом двойственная пара - это в точности сопряженная пара.

Примеры

Рассмотрим моноидальную категорию (Vect_K, ⊗_K) векторных пространств над полем K со стандартным тензорным произведением. Пространство V дуализируем тогда и только тогда, когда он конечномерен, и в этом случае двойственный объект V^∗ совпадает со стандартным понятием двойное векторное пространство.
Рассмотрим моноидальную категорию (Mod_р, ⊗_р) из модули через коммутативное кольцо р со стандартом тензорное произведение. Модуль M дуализируема тогда и только тогда, когда это конечно порожденный проективный модуль. В этом случае двойственный объект M^∗ также задается модулем гомоморфизмы Hom_р(M, р).
Рассмотрим гомотопическая категория из заостренный спектры Хо (Sp) с разбить продукт как моноидальная структура. Если M это компактный район втягивания в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (например, компактная гладкая многообразие ), то соответствующий точечный спектр Σ^∞(M⁺) дуализируемо. Это следствие Двойственность Спаниера – Уайтхеда, что, в частности, подразумевает Двойственность Пуанкаре для компактных многообразий.^[1]
Категория ${displaystyle mathrm {End} (mathbf {C})}$ из эндофункторы категории ${displaystyle mathbf {C}}$ является моноидальной категорией относительно композиции функторы. Функтор ${displaystyle F}$ является левым двойником функтора ${displaystyle G}$ если только ${displaystyle F}$ слева примыкает к ${displaystyle G}$ .^[4]

Категории с двойными

Моноидальная категория, в которой каждый объект имеет левую (соответственно правую) двойственную, иногда называется оставили (соответственно справа) автономный категория. Алгебраические геометры назовите это оставили (соответственно справа) жесткая категория. Моноидальная категория, в которой каждый объект имеет как левый, так и правый дуальный, называется автономная категория. Автономная категория, которая также симметричный называется компактная закрытая категория.

Следы

Любой эндоморфизм ж дуализируемого объекта допускает след, который является некоторым эндоморфизмом моноидальной единицы C. Это понятие включает, как очень частные случаи, след в линейной алгебре и Эйлерова характеристика из цепной комплекс.

Смотрите также

Дуализующий объект