Конечно порожденный модуль - Finitely generated module

В математика, а конечно порожденный модуль это модуль который имеет конечный генераторная установка. Конечно порожденный модуль над звенеть р можно также назвать конечный р-модуль, конечный по р,^[1] или модуль конечного типа.

Связанные понятия включают конечно когенерационные модули, конечно представленные модули, конечно связанные модули и согласованные модули все они определены ниже. Через Кольцо Нётериана понятия конечно порожденных, конечно представимых и когерентных модулей совпадают.

Конечно порожденный модуль над поле просто конечномерный векторное пространство, и конечно порожденный модуль над целые числа просто конечно порожденная абелева группа.

Определение

Слева р-модуль M конечно порожден, если существуют а₁, а₂, ..., а_п в M такой, что для любого Икс в M, существуют р₁, р₂, ..., р_п в р с Икс = р₁а₁ + р₂а₂ + ... + р_па_п.

В набор {а₁, а₂, ..., а_п} называется генераторная установка из M в этом случае. Конечное порождающее множество не обязательно должно быть базисом, поскольку оно не обязательно должно быть линейно независимым над р. Что правда: M конечно порожден тогда и только тогда, когда существует сюръективный р-линейная карта:

${\displaystyle R^{n}\to M}$

для некоторых п (M является фактором свободного модуля конечного ранга.)

Если набор S генерирует конечно порожденный модуль, то есть конечный порождающий набор, включенный в S, так как только конечное число элементов в S необходимы для выражения любого конечного порождающего множества, и эти конечное число элементов образуют порождающий набор. Однако может случиться так, что S не содержит конечного порождающего множества минимальных мощность. Например {1} и набор простые числа генерируют наборы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ рассматривается как ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль, но порождающий набор, сформированный из простых чисел, имеет как минимум два элемента.

В случае, если модуль M это векторное пространство через поле р, а генераторная установка линейно независимый, п является четко определенный и называется измерение из M (четко определенный означает, что любой линейно независимый генераторная установка имеет п элементы: это теорема размерности для векторных пространств ).

Любой модуль - это объединение направленный набор его конечно порожденных подмодулей.

Модуль M конечно порождена тогда и только тогда, когда любая возрастающая цепь M_я подмодулей с объединением M стабилизируется: т.е. есть некоторые я такой, что M_я = M. Этот факт с Лемма Цорна следует, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальные подмодули. Если любая возрастающая цепочка подмодулей стабилизируется (т. Е. Любой подмодуль конечно порожден), то модуль M называется Нётерский модуль.

Примеры

• Если модуль создается одним элементом, он называется циклический модуль.
• Позволять р - область целостности с K его поле дробей. Тогда каждое конечно порожденное р-подмодуль я из K это дробный идеал: то есть есть ненулевые р в р такой, что rI содержится в р. Действительно, можно взять р быть произведением знаменателей генераторов я. Если р является нётерским, то каждый дробный идеал возникает таким образом.
• Конечно порожденные модули над кольцом целые числа Z совпадают с конечно порожденные абелевы группы. Они полностью классифицируются по структурная теорема, принимая Z как основная идеальная область.
• Конечно порожденные (скажем, левые) модули над делительное кольцо являются в точности конечномерными векторными пространствами (над телом).

Некоторые факты

Каждый гомоморфный образ конечно порожденного модуля конечно порождена. В целом, подмодули конечно порожденных модулей не обязательно должны быть конечно порожденными. В качестве примера рассмотрим кольцо р = Z[Икс₁, Икс₂, ...] из всех многочлены в счетно много переменные. р сам является конечно порожденным р-модуль (с {1} в качестве генераторной установки). Рассмотрим подмодуль K состоящий из всех этих многочленов с нулевым постоянным членом. Поскольку каждый многочлен содержит только конечное число членов с ненулевыми коэффициентами, р-модуль K не конечно порожден.

В общем, модуль называется Нётерян если каждый подмодуль конечно порожден. Конечно порожденный модуль над Кольцо Нётериана является нётеровым модулем (и действительно, это свойство характеризует нётеровы кольца): модуль над нётеровым кольцом конечно порождён тогда и только тогда, когда он является нётеровым модулем. Это похоже, но не совсем Базисная теорема Гильберта, который утверждает, что кольцо многочленов р[Икс] над нётеровым кольцом р Нётериан. Из обоих фактов следует, что конечно порожденная коммутативная алгебра над нётеровым кольцом снова является нётеровым кольцом.

В более общем смысле, алгебра (например, кольцо), которая является конечно порожденным модулем, является конечно порожденная алгебра. Наоборот, если конечно порожденная алгебра является целой (над кольцом коэффициентов), то это конечно порожденный модуль. (Видеть составной элемент для большего.)

Пусть 0 → M ′ → M → M ′ ′ → 0 быть точная последовательность модулей. потом M конечно порожден, если M ′, M ′ ′ конечно порождены. Есть некоторые частичные обращения к этому. Если M конечно порожден и М '' конечно представимо (что сильнее конечно порожденного; см. ниже), то M ′ конечно порожден. Также, M является нётеровым (соответственно артиновским) тогда и только тогда, когда M ′, M ′ ′ являются нётерскими (соответственно артинианскими).

Позволять B быть кольцом и А его подкольцо такое, что B это точно плоский верно А-модуль. Затем левый А-модуль F конечно порождена (соответственно конечно представима) тогда и только тогда, когда B-модуль B ⊗_А F конечно порожден (соответственно конечно определен).^[2]

Конечно порожденные модули над коммутативным кольцом

Для конечно порожденных модулей над коммутативным кольцом р, Лемма Накаямы является фундаментальным. Иногда лемма позволяет доказать явления конечномерных векторных пространств для конечно порожденных модулей. Например, если ж : M → M это сюръективный р-эндоморфизм конечно порожденного модуля M, тогда ж это также инъективный, и, следовательно, является автоморфизм из M.^[3] Это просто говорит о том, что M это Модуль Хопфа. Точно так же Артинианский модуль M является coHopfian: любой инъективный эндоморфизм ж также является сюръективным эндоморфизмом.^[4]

Любой р-модуль является индуктивный предел конечно порожденных р-подмодули. Это полезно для ослабления предположения до конечного случая (например, характеристика плоскостности с Функтор Tor.)

Пример связи между конечным поколением и интегральные элементы можно найти в коммутативных алгебрах. Сказать, что коммутативная алгебра А это конечно порожденное кольцо над р означает, что существует набор элементов грамм = {Икс₁, ..., Икс_п} из А такое, что наименьшее подкольцо А содержащий грамм и р является А сам. Поскольку кольцевое изделие может использоваться для объединения элементов, больше, чем просто р-линейные сочетания элементов грамм генерируются. Например, кольцо многочленов р[Икс] конечно порождается {1,Икс} как кольцо, но не как модуль. Если А является коммутативной алгеброй (с единицей) над р, то следующие два оператора эквивалентны:^[5]

• А является конечно порожденным р модуль.
• А является конечно порожденным кольцом над р и интегральное расширение из р.

Общий ранг

Позволять M - конечно порожденный модуль над областью целостности А с полем дробей K. Тогда размер ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$ называется общий ранг из M над А. Это число совпадает с числом максимальных А-линейно независимые векторы в M или, что то же самое, ранг максимального свободного подмодуля M. (ср. ранг абелевой группы.) С ${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$, ${\displaystyle M/F}$ это торсионный модуль. Когда А Нётерян, автор общая свобода, есть элемент ж (в зависимости от M) такие, что ${\displaystyle M[f^{-1}]}$ это бесплатный ${\displaystyle A[f^{-1}]}$-модуль. Тогда ранг этого свободного модуля равен общему рангу M.

Теперь предположим, что область целостности А порождается как алгебра над полем k конечным числом однородных элементов степеней ${\displaystyle d_{i}}$. Предполагать M оценивается также и пусть ${\displaystyle P_{M}(t)=\sum \operatorname {dim} _{k}(M_{n})t^{n}}$ быть Серия Пуанкаре из M.Посредством Теорема Гильберта – Серра, существует многочлен F такой, что ${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$. потом ${\displaystyle F(1)}$ общий ранг M.^[6]

Конечно порожденный модуль над главная идеальная область является без кручения тогда и только тогда, когда это бесплатно. Это следствие структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, основная форма которой гласит, что конечно порожденный модуль над PID является прямой суммой торсионного модуля и свободного модуля. Но это также можно показать прямо так: пусть M - конечно порожденный модуль без кручения над ПИД А и F максимальный свободный подмодуль. Позволять ж быть в А такой, что ${\displaystyle fM\subset F}$. потом ${\displaystyle fM}$ является бесплатным, поскольку является подмодулем свободного модуля и А это PID. Но сейчас ${\displaystyle f:M\to fM}$ является изоморфизмом, поскольку M без кручения.

По тем же аргументам, что и выше, конечно порожденный модуль над Дедекиндский домен А (или в более общем смысле полунаследственное кольцо ) не имеет кручения тогда и только тогда, когда проективный; следовательно, конечно порожденный модуль над А представляет собой прямую сумму модуля кручения и проективного модуля. Конечно порожденный проективный модуль над нётеровой областью целостности имеет постоянный ранг, поэтому общий ранг конечно порожденного модуля над А - ранг его проективной части.

Эквивалентные определения и конечно когенерационные модули

Следующие условия эквивалентны M конечно порожденные (например,):

• Для любого семейства подмодулей {N_я | я ∈ I} в M, если ${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$, тогда ${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$ для некоторых конечных подмножество F из я.
• Для любого цепь подмодулей {N_я | я ∈ I} в M, если ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$, тогда N_я = M для некоторых я в я.
• Если ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$ является эпиморфизм, то ограничение ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$ является эпиморфизмом некоторого конечного подмножества F из я.

Из этих условий легко видеть, что быть конечно порожденным - это свойство, сохраняемое Эквивалентность Морита. Условия также удобны для определения двойной понятие конечно когенерационный модуль M. Следующие условия эквивалентны конечному когенерации модуля (f.cog.):

• Для любого семейства подмодулей {N_я | я ∈ I} в M, если ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$, тогда ${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$ для некоторого конечного подмножества F из я.
• Для любой цепочки подмодулей {N_я | я ∈ I} в M, если ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$, тогда N_я = {0} для некоторых я в я.
• Если ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$ это мономорфизм, где каждый ${\displaystyle N_{i}}$ является р модуль, то ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$ является мономорфизмом для некоторого конечного подмножества F из я.

Оба, например, модули и f.cog. модули имеют интересные отношения с модулями Нётериана и Артиниана, а Радикал Якобсона J(M) и цоколь soc (M) модуля. Следующие факты иллюстрируют двойственность между двумя условиями. Для модуля M:

• M является нётеровым тогда и только тогда, когда каждый подмодуль N из M это например
• M артиново тогда и только тогда, когда каждый фактор-модуль M/N это f.cog.
• M это например если и только если J(M) это лишний подмодуль из M, и M/J(M) является f.g.
• M это f.cog. тогда и только тогда, когда soc (M) является существенный подмодуль из M, и soc (M) является f.g.
• Если M это полупростой модуль (например, soc (N) для любого модуля N), это, например, тогда и только тогда, когда f.cog.
• Если M это например и ненулевое, то M имеет максимальный подмодуль и любой фактор-модуль M/N это например
• Если M это f.cog. и ненулевое, то M имеет минимальный подмодуль, и любой подмодуль N из M это f.cog.
• Если N и M/N являются, например, тогда так M. То же самое верно, если "f.g." заменяется на "f.cog".

Конечно-когорожденные модули должны иметь конечные единый размер. В этом легко убедиться, применив характеристику с помощью конечно порожденного существенного цоколя. Несколько асимметрично, конечно порожденные модули не обязательно иметь конечную равномерную размерность. Например, бесконечное прямое произведение ненулевых колец является конечно порожденным (циклическим!) Модулем над самим собой, однако очевидно, что оно содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Конечно порожденные модули не обязательно иметь конечный согласованное измерение либо: любое кольцо р с таким единством, что р/J(р) не является полупростым кольцом - контрпример.

Конечно определенные, конечно связанные и когерентные модули

Другая формулировка такова: конечно порожденный модуль M тот, для которого есть эпиморфизм

f: р^k → M.

Предположим теперь есть эпиморфизм,

φ: F → M.

для модуля M и бесплатный модуль F.

• Если ядро функции φ конечно порождена, то M называется конечно связанный модуль. С M изоморфен F/ ker (φ), это в основном выражает, что M получается, если взять свободный модуль и ввести конечное число соотношений внутри F (образующие ker (φ)).
• Если ядро ​​функции φ конечно порождено и F имеет конечный ранг (т.е. F=р^k), тогда M считается конечно представленный модуль. Здесь, M задается с помощью конечного числа генераторов (образов k генераторы F=р^k) и конечное число соотношений (образующие ker (φ)). Смотрите также: бесплатная презентация. Конечно представленные модули можно охарактеризовать абстрактным свойством в пределах категория р-модули: они именно компактные объекты в этой категории.
• А согласованный модуль M - конечно порожденный модуль, конечно порожденные подмодули которого конечно представимы.

Над любым кольцом р, когерентные модули конечно представимы, а конечно определенные модули конечно порождены и конечно связаны. Для Кольцо Нётериана р, конечно порожденный, конечно представимый и когерентный - эквивалентные условия на модуль.

Некоторый кроссовер происходит для проективных или плоских модулей. Конечно порожденный проективный модуль конечно определен, а конечно связанный плоский модуль проективен.

Верно также, что следующие условия эквивалентны для кольца р:

1. р это право связное кольцо.
2. Модуль р_р является связным модулем.
3. Каждое конечно представленное право р модуль согласован.

Хотя когерентность кажется более обременительным условием, чем конечно порожденное или конечно представленное, оно лучше их, поскольку категория когерентных модулей - это абелева категория, в то время как, вообще говоря, ни конечно порожденные, ни конечно определенные модули не образуют абелевую категорию.

Смотрите также

• Составной элемент
• Лемма Артина – Риса.
• Счетно генерируемый модуль
• Конечная алгебра

Рекомендации

1. Например, Мацумура использует эту терминологию.
2. Бурбаки 1998, Гл. 1, § 3, вып. 6, предложение 11. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFBourbaki1998 (помощь)
3. Мацумура 1989, Теорема 2.4. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFMatsumura1989 (помощь)
4. Атья и Макдональд 1969, Упражнение 6.1. sfn error: нет цели: CITEREFAtiyahMacdonald1969 (помощь)
5. Капланский 1970, п. 11, теорема 17. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFKaplansky1970 (помощь)
6. Springer 1977 г., Теорема 2.5.6.

Учебники

• Atiyah, M. F .; Макдональд, И. Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., Стр. Ix + 128, МИСТЕР  0242802
• Бурбаки, Николас, Коммутативная алгебра. Главы 1-7. Перевод с французского. Перепечатка английского перевода 1989 года. Элементы математики (Берлин). Springer-Verlag, Берлин, 1998. xxiv + 625 с. ISBN  3-540-64239-0
• Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца, Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, МИСТЕР  0254021
• Лам, Т. Ю. (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5
• Ланг, Серж (1997), Алгебра (3-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-55540-0
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования по высшей математике, 8, Перевод с японского М. Рейд (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xiv + 320, ISBN  0-521-36764-6, МИСТЕР  1011461
• Спрингер, Тонни А. (1977), Теория инвариантов, Конспект лекций по математике, 585, Спрингер, Дои:10.1007 / BFb0095644, ISBN  978-3-540-08242-2.