Ряд Пуанкаре (модульная форма) - Poincaré series (modular form)

Не путать с Ряд Гильберта – Пуанкаре.

В теория чисел, а Серия Пуанкаре это математический ряд обобщая классический тета-серия что связано с любым дискретная группа симметрий сложный домен, возможно, из несколько сложных переменных. В частности, они обобщают классические Серия Эйзенштейна. Они названы в честь Анри Пуанкаре.

Если Γ - конечная группа действует в домене D и ЧАС(z) любой мероморфная функция на D, то получаем автоморфная функция усреднением по Γ:

${\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }H(\gamma (z)).}$

Однако если Γ дискретная группа, то необходимо ввести дополнительные множители, чтобы гарантировать сходимость такого ряда. С этой целью Серия Пуанкаре представляет собой серию вида

${\displaystyle \theta _{k}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(J_{\gamma }(z))^{k}H(\gamma (z))}$

куда J_γ это Определитель якобиана элемента группы γ,^[1] а звездочка означает, что суммирование происходит только по представителям смежного класса, дающим различные члены в ряду.

Классический Серия Пуанкаре веса 2k из Фуксова группа Γ определяется рядом

${\displaystyle \theta _{k}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(cz+d)^{-2k}H\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}$

суммирование, распространяющееся по классам конгруэнции дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

принадлежащий Γ. Выбор ЧАС быть персонаж из циклическая группа порядка п, получаем так называемый ряд Пуанкаре порядка п:

${\displaystyle \theta _{k,n}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(cz+d)^{-2k}\exp \left(2\pi in{\frac {az+b}{cz+d}}\right)}$

Последний ряд Пуанкаре сходится абсолютно и равномерно на компактах (в верхней полуплоскости) и является модульная форма веса 2k для Γ. Заметим, что когда Γ является полным модульная группа и п = 0, получаем ряд Эйзенштейна веса 2k. В общем случае ряд Пуанкаре для п ≥ 1, а куспид.

Примечания

1. Или более общий фактор автоморфности как обсуждалось в Коллар 1995, §5.2.

Рекомендации

• Коллар, Янош (1995), Карты Шафаревича и автоморфные формы, Лекции М. Б. Портера, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04381-4, МИСТЕР  1341589.
• Соломенцев, Э. (2001) [1994], "Тета-сериал", Энциклопедия математики, EMS Press.