Ряд Гильберта – Пуанкаре - Hilbert–Poincaré series

Смотрите также: Ряд Гильберта и многочлен Гильберта

В математика, и в частности в области алгебра, а Ряд Гильберта – Пуанкаре (также известен под названием Ряд Гильберта), названный в честь Дэвид Гильберт и Анри Пуанкаре, представляет собой адаптацию понятия измерение в контексте оцененный алгебраические структуры (где размер всей конструкции часто бесконечен). Это формальный степенной ряд в одном неопределенном, скажем, ${\displaystyle t}$, где коэффициент ${\displaystyle t^{n}}$ дает размерность (или ранг) подструктуры элементов, однородных степени ${\displaystyle n}$. Это тесно связано с Полином Гильберта в случаях, когда последний существует; однако ряд Гильберта – Пуанкаре описывает ранг в каждой степени, в то время как полином Гильберта описывает его только во всех, кроме конечного числа степеней, и поэтому предоставляет меньше информации. В частности, ряд Гильберта – Пуанкаре не может быть выведен из полинома Гильберта, даже если последний существует. В хороших случаях ряд Гильберта – Пуанкаре может быть выражен как рациональная функция своего аргумента ${\displaystyle t}$.

Определение

Позволять K быть полем, и пусть ${\displaystyle V=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}$ быть ${\displaystyle \mathbb {N} }$-градуированное векторное пространство над K, где каждое подпространство ${\displaystyle V_{i}}$ векторов степени я конечномерна. Тогда ряд Гильберта – Пуанкаре V это формальный степенной ряд

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{i})t^{i}.}$^[1]

Аналогичное определение можно дать для ${\displaystyle \mathbb {N} }$-квалифицированный р-модуль над любым коммутативное кольцо р в котором каждый подмодуль элементов, однородных фиксированной степени п является свободный конечного ранга; достаточно заменить размерность рангом. Часто градуированное векторное пространство или модуль, в котором рассматривается ряд Гильберта – Пуанкаре, имеет дополнительную структуру, например структуру кольца, но ряд Гильберта – Пуанкаре не зависит от мультипликативной или другой структуры.

Пример: поскольку есть ${\displaystyle {\binom {n+k}{n}}}$ мономы степени k в переменных ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ (например, по индукции), можно вывести, что сумма ряда Гильберта – Пуанкаре ${\displaystyle K[X_{0},\dots ,X_{n}]}$ это рациональная функция ${\displaystyle 1/(1-t)^{n+1}}$.^[2]

Теорема Гильберта – Серра

Предположим M является конечно порожденным градуированным модулем над ${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}],\deg x_{i}=d_{i}}$ с Артинианское кольцо (например, поле) А. Тогда ряд Пуанкаре M - многочлен с целыми коэффициентами, деленными на ${\displaystyle \prod (1-t^{d_{i}})}$.^[3] Стандартное доказательство сегодня - это индукция по п. Первоначальное доказательство Гильберта использовало Теорема Гильберта о сизигиях (а проективное разрешение из M), что дает больше гомологической информации.

Вот доказательство индукцией по числу п неопределенных. Если ${\displaystyle n=0}$, то, поскольку M имеет конечную длину, ${\displaystyle M_{k}=0}$ если k достаточно большой. Далее, предположим, что теорема верна для ${\displaystyle n-1}$ и рассмотрим точную последовательность градуированные модули (точная степень), с обозначением ${\displaystyle N(l)_{k}=N_{k+l}}$,

${\displaystyle 0\to K(-d_{n})\to M(-d_{n}){\overset {x_{n}}{\to }}M\to C\to 0}$.

Поскольку длина аддитивна, ряды Пуанкаре также аддитивны. Следовательно, мы имеем:

${\displaystyle P(M,t)=-P(K(-d_{n}),t)+P(M(-d_{n}),t)-P(C,t)}$.

Мы можем написать ${\displaystyle P(M(-d_{n}),t)=t^{d_{n}}P(M,t)}$. поскольку K убит ${\displaystyle x_{n}}$, мы можем рассматривать его как градуированный модуль над ${\displaystyle A[x_{0},\dots ,x_{n-1}]}$; то же самое верно для C. Таким образом, теорема следует из индуктивного предположения.

Цепной комплекс

Пример градуированного векторного пространства связан с цепной комплекс, или комплекс коцепей C векторных пространств; последний принимает форму

${\displaystyle 0\to C^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}\longrightarrow 0.}$

Ряд Гильберта – Пуанкаре (здесь часто называемый полиномом Пуанкаре) градуированного векторного пространства ${\displaystyle \bigoplus _{i}C^{i}}$ для этого комплекса

${\displaystyle P_{C}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(C^{j})t^{j}.}$

Многочлен Гильберта – Пуанкаре от когомология, с пространствами когомологий ЧАС^j = ЧАС^j(C), является

${\displaystyle P_{H}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(H^{j})t^{j}.}$

Известная связь между ними состоит в том, что существует многочлен ${\displaystyle Q(t)}$ с неотрицательными коэффициентами, такими, что ${\displaystyle P_{C}(t)-P_{H}(t)=(1+t)Q(t).}$

использованная литература

1. Атья и Макдональд 1969, Гл. 11. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAtiyahMacDonald1969 (Помогите)
2. Атья и Макдональд 1969, Гл. 11, пример сразу после предложения 11.3. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAtiyahMacDonald1969 (Помогите)
3. Атья и Макдональд 1969, Гл. 11, теорема 11.1. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAtiyahMacDonald1969 (Помогите)

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969). Введение в коммутативную алгебру. Westview Press. ISBN  978-0-201-40751-8.