Артинианское кольцо - Artinian ring

В абстрактная алгебра, Артинианское кольцо (иногда Кольцо Artin) это кольцо что удовлетворяет состояние нисходящей цепочки на идеалы; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артинианские кольца названы в честь Эмиль Артин, который первым обнаружил, что условие убывающей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и конечномерные кольца векторные пространства над поля. Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие убывающей цепи на эквивалентное понятие: минимальное условие.

Кольцо покинул Артиниан если он удовлетворяет условию убывающей цепи на левых идеалах, правый Артиниан если он удовлетворяет условию убывающей цепи на правых идеалах, и Артиниан или двусторонний Артиниан если и левый, и правый артинианский. Для коммутативные кольца левое и правое определения совпадают, но в целом они отличаются друг от друга.

В Теорема Артина – Веддерберна характеризует все просто Артиновские кольца как кольцо матриц через делительное кольцо. Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модули, с заменой идеалов на подмодули.

Хотя условие нисходящей цепи кажется двойным по сравнению с условие возрастающей цепи, в кольцах это фактически более сильное условие. В частности, следствие Теорема Акизуки – Хопкинса – Левицки. состоит в том, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) Кольцо Нётериана. Это не верно для общих модулей; то есть Артинианский модуль не обязательно быть Модуль Нётерана.

Примеры

• An область целостности артиново тогда и только тогда, когда это поле.
• Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов остается артиновым слева. В частности, конечное кольцо (например., ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$) является левым и правым артиновым.
• Позволять k быть полем. потом ${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$ артиново для любого натурального числа п.
• Так же, ${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}}$ - артиново кольцо с максимальным идеалом ${\displaystyle (x,y)}$
• Если я является ненулевым идеалом Дедекиндский домен А, тогда ${\displaystyle A/I}$ это главный Артиновское кольцо.^[1]
• Для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$, полное матричное кольцо ${\displaystyle M_{n}(R)}$ над артиновым слева (соответственно нётеровым слева) кольцом р лево-артиново (соответственно лево-нётерское).^[2]

Кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является нётеровым кольцом, но не артиново.

Модули над артиновыми кольцами

Позволять M - левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие эквивалентны (Теорема Хопкинса ): (i) M конечно порожден, (ii) M имеет конечная длина (т.е. имеет серия композиций ), (iii) M нетеровский, (iv) M Артиниан.^[3]

Коммутативные артиновы кольца

Позволять А коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие эквивалентны.

• А Артиниан.
• А является конечным произведением коммутативных артиновых локальных колец.^[4]
• А / ноль (А) это полупростое кольцо, где nil (А) это нильрадикал из А.^{[нужна цитата ]}
• Каждый конечно порожденный модуль над А имеет конечную длину. (см. выше)
• А имеет Измерение Крулля нуль.^[5] (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ конечно и дискретно.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ дискретно.^[6]

Позволять k быть полем и А конечно порожденный k-алгебра. потом А артиново тогда и только тогда, когда А конечно порожден как k-модуль.

Артиново локальное кольцо полно. Фактор и локализация артинового кольца артинова.

Кольцо Simple Artinian

Простое артиновское кольцо А кольцо матриц над телом. Действительно,^[7] позволять я - минимальный (ненулевой) правый идеал А. Тогда, поскольку ${\displaystyle AI}$ двусторонний идеал, ${\displaystyle AI=A}$ поскольку А просто. Таким образом, мы можем выбрать ${\displaystyle a_{i}\in A}$ так что ${\displaystyle 1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I}$. Предполагать k минимальна по этому свойству. Рассмотрим карту правого А-модули:

${\displaystyle {\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}}$

Это сюръективно. Если это не инъективно, то, скажем, ${\displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}}$ с ненулевым ${\displaystyle y_{1}}$. Тогда в силу минимальности я, у нас есть: ${\displaystyle y_{1}A=I}$. Следует:

${\displaystyle a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I}$,

что противоречит минимальности k. Следовательно, ${\displaystyle I^{\oplus k}\simeq A}$ и поэтому ${\displaystyle A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))}$.

Смотрите также

• Алгебра Артина
• Артинианский идеал
• Последовательный модуль
• Полусовершенное кольцо
• Кольцо Горенштейна
• Кольцо Нётериана

Заметки

1. Теорема 20.11. из http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
2. Кон 2003, 5.2 Упражнение 11
3. Бурбаки, VIII, стр.7 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBourbaki (Помогите)
4. Атья и Макдональд1969, Теоремы 8.7
5. Атья и Макдональд1969, Теоремы 8.5
6. Атья и Макдональд1969, Гл. 8, упражнение 2.
7. Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию, Анналы математических исследований, 72, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, п. 144, Г-Н  0349811, Zbl  0237.18005

использованная литература

• Ауслендер, Морис; Рейтен, Идун; Смало, Сверре О. (1995), Теория представлений алгебр Артина, Кембриджские исследования в области высшей математики, 36, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511623608, ISBN  978-0-521-41134-9, Г-Н  1314422
• Бурбаки, Альжебр
• Чарльз Хопкинс. Кольца с условием минимальности левых идеалов. Анна. математики. (2) 40, (1939). 712–730.
• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля. Springer. ISBN  978-1-85233-587-8.