Конечное кольцо - Finite ring

В математика, более конкретно абстрактная алгебра, а конечное кольцо это звенеть состоящий из конечного числа элементов. конечное поле является примером конечного кольца, а аддитивная часть каждого конечного кольца является примером абелевский конечная группа, но концепция конечных колец сама по себе имеет более недавнюю историю.

Хотя кольца имеют большую структуру, чем группы, теория конечных колец проще, чем теория конечных групп. Например, классификация конечных простых групп был одним из главных достижений математики ХХ века, доказательством которого были охвачены тысячи журнальных страниц. С другой стороны, с 1907 г. известно, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу ${displaystyle M_ {n} (mathbb {F} _ {q})}$ из п-к-п матрицы над конечным полем порядка q (как следствие теорем Веддерберна, описанных ниже).

Количество колец с м элементы, для м натуральное число, указано под OEIS: A027623 в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.

Конечное поле

Теория конечные поля является, пожалуй, наиболее важным аспектом теории конечных колец из-за его тесной связи с алгебраическая геометрия, Теория Галуа и теория чисел. Важным, но довольно старым аспектом теории является классификация конечных полей (Якобсон 1985, п. 287):

Порядок или количество элементов конечного поля равно п^п, куда п это простое число называется характеристика поля, и п положительное целое число.
Для каждого простого числа п и положительное целое число п, существует конечное поле с п^п элементы.
Любые два конечных поля с одинаковым порядком равны изоморфный.

Несмотря на классификацию, конечные поля по-прежнему являются активной областью исследований, включая недавние результаты по Гипотеза Какея и открытые проблемы относительно размера наименьшего первобытные корни (в теории чисел).

Конечное поле F может быть использован для создания векторное пространство n-мерностей более F. В матричное кольцо А из п × п матрицы с элементами из F используется в Геометрия Галуа, с проективная линейная группа выступая в качестве мультипликативная группа из А.

Теоремы Веддерберна

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что любой конечный делительное кольцо обязательно коммутативен:

Если каждый ненулевой элемент р конечного кольца р имеет мультипликативный обратный, то р коммутативна (и, следовательно, конечное поле ).

Натан Джейкобсон позже обнаружил еще одно условие, гарантирующее коммутативность кольца: если для каждого элемента р из р существует целое число п > 1 такой, что р ^п = р, тогда р коммутативен.^[1] Известны и более общие условия, гарантирующие коммутативность кольца.^[2]

Еще одна теорема Веддерберна, как следствие, имеет результат, демонстрирующий, что теория конечных простые кольца относительно проста по своей природе. Более конкретно, любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу ${displaystyle M_ {n} (mathbb {F} _ {q})}$ из п к п матрицы над конечным полем порядка q. Это следует из двух теорем Джозеф Уэддерберн установленный в 1905 и 1907 годах (одна из которых - маленькая теорема Веддерберна).

Перечисление

(Предупреждение: перечисления в этом разделе включают кольца, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, иногда называемую rngs.) В 1964 г. Дэвид Сингмастер предложил следующую задачу в Американский математический ежемесячный журнал: «(1) Каков порядок наименьшего нетривиального кольца с единицей, не являющейся полем? Найдите два таких кольца с этим минимальным порядком. Их больше? (2) Сколько существует колец четвертого порядка?» Можно найти решение DM Блум в двухстраничном доказательстве^[3] что существует одиннадцать колец четвертого порядка, четыре из которых имеют мультипликативную единицу. Действительно, четырехэлементные кольца привносят сложность в предмет. Есть три кольца над циклическая группа C₄ и восемь колец над Кляйн четыре группы. Есть интересная демонстрация дискриминационных инструментов (нильпотенты, делители нуля, идемпотенты, а также левые и правые тождества) в конспектах лекций Грегори Дрездена.^[4]

Возникновение некоммутативность в конечных кольцах описано в (Элдридж 1968 ) в двух теоремах: если порядок m конечного кольца с 1 имеет бескубовую факторизацию, то он равен коммутативный. И если некоммутативный конечное кольцо с 1 имеет порядок куба простого числа, тогда кольцо изоморфно верхнетреугольному кольцу матриц 2 × 2 над полем Галуа простого числа. Изучение колец порядка куба простого числа было развито в (Рагхавендран 1969 ) и (Гилмер и Мотт 1973 ). Затем Флор и Вессенбауэр (1975) усовершенствовали случай куба простого числа. Окончательная работа над классами изоморфизма пришла с (Антипкин и Елизаров 1982 ) доказывая, что для п > 2, количество классов - 3п + 50.

Есть более ранние ссылки на тему конечных колец, такие как Роберт Балльё.^[5] и Скорца.^[6]

Это некоторые из известных фактов о количестве конечных колец (не обязательно с единицей) данного порядка (предположим, п и q представляют различные простые числа):

Есть два конечных кольца порядка п.
Есть четыре конечных кольца порядка pq.
Есть одиннадцать конечных колец порядка п².
Есть двадцать два конечных кольца порядка п²q.
Конечных колец восьмого порядка пятьдесят два.
Есть 3п + 50 конечных колец порядка п³, п > 2.

Количество колец с п элементы (с а(0) = 1)

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2,> 18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11 , 22, ... (последовательность A027623 в OEIS )

Смотрите также

Проективная прямая над кольцом § Над конечными кольцами

Примечания

^ Якобсон1945
^ Пинтер-Лаке, Дж. (Май 2007 г.), "Условия коммутативности колец: 1950–2005 гг.", Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165–174, Дои:10.1016 / j.exmath.2006.07.001
^ Певец, Дэвид; Блум, Д. М. (октябрь 1964 г.), "E1648", Американский математический ежемесячный журнал, 71 (8): 918–920, Дои:10.2307/2312421, JSTOR 2312421
^ Дрезден, Грегори (2005), Кольца с четырьмя элементами, заархивировано из оригинал на 2010-08-02, получено 2009-07-28
^ Ballieu, Робер (1947), "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif", Анна. Soc. Sci. Брюссель, сер. я, 61: 222–7, МИСТЕР 0022841, Zbl 0031.10802
^ Скорца (1935), см. Обзор Баллиё Ирвинг Каплански в Математические обзоры

внешняя ссылка

Классификация конечных коммутативных колец

[1] Якобсон1945

[2] Пинтер-Лаке, Дж. (Май 2007 г.), "Условия коммутативности колец: 1950–2005 гг.", Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165–174, Дои:10.1016 / j.exmath.2006.07.001

[3] Певец, Дэвид; Блум, Д. М. (октябрь 1964 г.), "E1648", Американский математический ежемесячный журнал, 71 (8): 918–920, Дои:10.2307/2312421, JSTOR 2312421

[4] Дрезден, Грегори (2005), Кольца с четырьмя элементами, заархивировано из оригинал на 2010-08-02, получено 2009-07-28

[5] Ballieu, Робер (1947), "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif", Анна. Soc. Sci. Брюссель, сер. я, 61: 222–7, МИСТЕР 0022841, Zbl 0031.10802

[6] Скорца (1935), см. Обзор Баллиё Ирвинг Каплански в Математические обзоры

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]