Состояние восходящей цепи - Ascending chain condition

В математика, то условие возрастающей цепи (АКК) и состояние нисходящей цепочки (DCC) являются свойствами конечности, которым удовлетворяют некоторые алгебраические структуры, самое главное идеалы в определенных коммутативные кольца.^[1][2][3] Эти условия сыграли важную роль в развитии структурной теории коммутативных колец в работах А. Дэвид Гильберт, Эмми Нётер, и Эмиль Артин Сами условия можно сформулировать в абстрактной форме, чтобы они имели смысл для любого частично заказанный набор. Эта точка зрения полезна в абстрактной алгебраической теории размерности благодаря Габриэлю и Рентшлеру.

Определение

А частично заказанный набор (посет) п считается, что удовлетворяет условие возрастающей цепи (ACC) если нет (бесконечной) строго возрастающей последовательности

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

элементов п существуют.^[4] Эквивалентно,^{[примечание 1]} каждая слабо восходящая последовательность

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

элементов п в конечном итоге стабилизируется, что означает, что существует положительное целое число п такой, что

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

По аналогии, п считается, что удовлетворяет состояние нисходящей цепочки (DCC) если нет бесконечная нисходящая цепочка элементов п.^[4] Эквивалентно каждая слабо убывающая последовательность

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

элементов п со временем стабилизируется.

Комментарии

• Если предположить аксиома зависимого выбора, условие убывающей цепи на (возможно, бесконечном) poset п эквивалентно п существование обоснованный: каждое непустое подмножество п имеет минимальный элемент (также называемый минимальное условие или же минимальное условие). А полностью заказанный набор это хорошо обосновано упорядоченный набор.
• Точно так же условие возрастающей цепи эквивалентно п обратное обоснование (опять же, предполагая зависимый выбор): каждое непустое подмножество п имеет максимальный элемент ( максимальное состояние или же максимальное условие).
• Каждый конечный уп удовлетворяет условиям как возрастающей, так и убывающей цепочки, и, таким образом, является как хорошо обоснованным, так и обратным хорошо обоснованным.

Пример

Рассмотрим кольцо

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

целых чисел. Каждый идеал ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ состоит из всех кратных некоторого числа ${\displaystyle n}$. Например, идеальный

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

состоит из всех кратных ${\displaystyle 6}$. Позволять

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

быть идеалом, состоящим из всех кратных ${\displaystyle 2}$. Идеал ${\displaystyle I}$ содержится внутри идеала ${\displaystyle J}$, поскольку каждое кратное ${\displaystyle 6}$ также кратно ${\displaystyle 2}$. В свою очередь, идеальный ${\displaystyle J}$ содержится в идеале ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, поскольку каждое кратное ${\displaystyle 2}$ кратно ${\displaystyle 1}$. Однако на данный момент нет большего идеала; мы достигли максимума ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

В общем, если ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$ идеалы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ такой, что ${\displaystyle I_{1}}$ содержится в ${\displaystyle I_{2}}$, ${\displaystyle I_{2}}$ содержится в ${\displaystyle I_{3}}$и так далее, то есть ${\displaystyle n}$ для чего все ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$. То есть через какой-то момент все идеалы становятся равны друг другу. Поэтому идеалы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ удовлетворяют условию возрастающей цепи, где идеалы упорядочены по включению множества. Следовательно ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является Кольцо Нётериана.

Смотрите также

• Артиниан
• Условие возрастающей цепочки главных идеалов
• Измерение Крулля
• Максимальное условие на сравнения
• Нётерян

Примечания

1. Доказательство: во-первых, очевидно, что строго возрастающая последовательность не может стабилизироваться. И наоборот, предположим, что существует восходящая последовательность, которая не стабилизируется; тогда очевидно, что он содержит строго возрастающую (обязательно бесконечную) подпоследовательность. Обратите внимание, что доказательство не использует в полной мере выбранную аксиому.^{[требуется разъяснение ]}

1. Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.6, Предложение 1.1.4.
2. Fraleigh & Katz (1967), стр. 366, лемма 7.1
3. Якобсон (2009), стр. 142 и 147
4. Hazewinkel, Michiel. Энциклопедия математики. Kluwer. п. 580. ISBN  1-55608-010-7.

Рекомендации

• Атья, М.Ф., и И. Г. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Книги Персея, 1969, ISBN  0-201-00361-9
• Мишель Хазевинкель, Надежда Губарени, В.В. Кириченко. Алгебры, кольца и модули. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN  1-4020-2690-0
• Джон Б. Фрейли, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры. Издательство Эддисон-Уэсли. 5 изд., 1967. ISBN  0-201-53467-3
• Натан Джейкобсон. Базовая алгебра И. Довер, 2009. ISBN  978-0-486-47189-1

внешняя ссылка

• «Эквивалентна ли эквивалентность условия восходящей цепи и условия максимума аксиоме зависимого выбора?».