Кольцо главного идеала - Principal ideal ring

В математика, а кольцо главных правых (левых) идеалов кольцо р в котором каждый правый (левый) идеал имеет вид xR (Rx) для некоторого элемента Икс из р. (Правый и левый идеалы этой формы, порожденные одним элементом, называются главные идеалы.) Когда это выполняется как для левого, так и для правого идеала, например, когда р это коммутативное кольцо, р можно назвать кольцо главных идеалов, или просто главное кольцо.

Если бы только конечно порожденный правильные идеалы р основные, то р называется правое кольцо Безу. Аналогично определяются левые кольца Безу. Эти условия изучаются в областях как Bézout домены.

Коммутативное кольцо главных идеалов, которое также является область целостности считается главная идеальная область (PID). В этой статье основное внимание уделяется более общей концепции кольца главных идеалов, которое не обязательно является областью.

Общие свойства

Если р кольцо главных правых идеалов, то оно, безусловно, Кольцо Нётериана, так как всякий правый идеал конечно порожден. Это также правое кольцо Безу, поскольку все конечно порожденные правые идеалы главны. В самом деле, очевидно, что кольца главных правых идеалов - это в точности кольца, которые одновременно являются безу и нётеровыми справа.

Кольца главных правых идеалов замкнуты относительно конечных прямые продукты. Если ${displaystyle R=prod _{i=1}^{n}R_{i}}$, то каждый правый идеал р имеет форму ${displaystyle A=prod _{i=1}^{n}A_{i}}$, где каждый ${displaystyle A_{i}}$ правильный идеал р_я. Если все р_я - кольца главных правых идеалов, то А_я=Икс_яр_я, и тогда видно, что ${displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})R=A}$. Без особых усилий можно показать, что правые кольца Безу также замкнуты относительно конечных прямых произведений.

Кольца главных правых идеалов и правые кольца Безу также замкнуты относительно частных, т. Е. Если я является собственным идеалом кольца главных правых идеалов р, то факторкольцо R / I также кольцо главных правых идеалов. Это легко следует из теоремы об изоморфизме для колец.

Все вышеперечисленные свойства также не имеют аналогов.

Коммутативные примеры

1. В кольцо целых чисел: ${displaystyle mathbb {Z} }$

2. Программа целые числа по модулю п: ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$.

3. Пусть ${displaystyle R_{1},ldots ,R_{n}}$ быть кольцами и ${displaystyle R=prod _{i=1}^{n}R_{i}}$. потом р является главным кольцом тогда и только тогда, когда р_я главное кольцо для всех я.

4. Локализация главного кольца в любом мультипликативное подмножество снова главное кольцо. Точно так же любое частное главного кольца снова является главным кольцом.

5. Пусть р быть Дедекиндский домен и я быть ненулевым идеалом р. Тогда частное р/я - главное кольцо. Действительно, мы можем учитывать я как продукт первоклассных способностей: ${displaystyle I=prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}}$, и Китайская теорема об остатках${displaystyle R/Icong prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}}$, поэтому достаточно увидеть, что каждый${displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ - главное кольцо. Но ${displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ изоморфна фактору ${displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}}$ из кольцо дискретной оценки${displaystyle R_{P_{i}}}$ и, будучи фактором главного кольца, является главным кольцом.

6. Пусть k - конечное поле и положим ${displaystyle A=k[x,y]}$, ${displaystyle {mathfrak {m}}=langle x,yangle }$ и ${displaystyle R=A/{mathfrak {m}}^{2}}$. Тогда R - конечное локальное кольцо, которое нет главный.

7. Пусть Икс - конечное множество. потом ${displaystyle ({mathcal {P}}(X),Delta ,cap )}$ образует коммутативное кольцо главных идеалов с единицей, где ${displaystyle Delta }$ представляет установить симметричную разность и ${displaystyle {mathcal {P}}(X)}$ представляет powerset из Икс. Если Икс имеет не менее двух элементов, то и в кольце есть делители нуля. Если я идеал, тогда ${displaystyle I=(igcup I)}$. Если вместо этого Икс бесконечно, кольцо нет принцип: возьмем идеал, порожденный конечными подмножествами Икс, Например.

Теория структуры коммутативных ПИР

Главные кольца, построенные в примере 5 выше, всегда Артинианские кольца; в частности, они изоморфны конечному прямому произведению главных артиновых локальных колец. Локальное артиново главное кольцо называется специальное главное кольцо и имеет чрезвычайно простую идеальную структуру: существует лишь конечное число идеалов, каждый из которых является степенью максимального идеала. По этой причине специальные главные кольца являются примерами однорядные кольца.

Следующий результат дает полную классификацию главных колец в терминах специальных главных колец и областей главных идеалов.

Теорема Зарисского – Самуэля: Позволять р - главное кольцо. потом р можно записать как прямое произведение ${displaystyle prod _{i=1}^{n}R_{i}}$, где каждый р_я является либо областью главных идеалов, либо особым главным кольцом.

Доказательство применяет китайскую теорему об остатках к минимальному примарному разложению нулевого идеала.

Есть также следующий результат Хангерфорда:

Теорема (Хангерфорд): пусть р - главное кольцо. потом р можно записать как прямое произведение ${displaystyle prod _{i=1}^{n}R_{i}}$, где каждый р_я является фактором области главных идеалов.

Доказательство теоремы Хангерфорда использует структурные теоремы Коэна для полных локальных колец.

Рассуждая, как в примере 3. выше, и используя теорему Зариски-Самуэля, легко проверить, что теорема Хангерфорда эквивалентна утверждению, что любое особое главное кольцо является фактором дискретного кольца нормирования.

Некоммутативные примеры

Каждый полупростое кольцо р которая не является просто произведением полей, является некоммутативной областью главных идеалов справа и слева. Каждый правый и левый идеал является прямым слагаемым р, и поэтому имеет вид eR или же Re куда е является идемпотент из р. Параллельно с этим примером, регулярные кольца фон Неймана видны как правые, так и левые кольца Безу.

Если D это делительное кольцо и ${displaystyle sigma }$ - кольцевой эндоморфизм, не являющийся автоморфизм, то косое кольцо многочленов ${displaystyle D[x,sigma ]}$ известно, что это область главных левых идеалов, которая не является нётеровой справа, и, следовательно, не может быть кольцом главных правых идеалов. Это показывает, что даже для областей главные левые и главные правые кольца идеалов различны. (Лам и 2001, стр.21 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLam2001, _p.21 (помощь)

Рекомендации

• Т. Хангерфорд, О строении колец главных идеалов, Pacific J. Math. 25 1968 г. 543–547.
• Лам, Т. Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, ISBN  0-387-95183-0, МИСТЕР  1838439
• Страницы 86 и 146-155 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Зарисский, О.; Самуэль, П. (1975), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 28, 29, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag