Главный идеал - Principal ideal

В математика в частности теория колец, а главный идеал является идеальный ${\displaystyle I}$ в кольцо ${\displaystyle R}$ который создается одним элементом ${\displaystyle a}$ из ${\displaystyle R}$ через умножение на каждый элемент ${\displaystyle R.}$ Этот термин также имеет другое, похожее значение в теория порядка, где это относится к (порядок) идеальный в посеть ${\displaystyle P}$ генерируется одним элементом ${\displaystyle x\in P,}$ то есть набор всех элементов, меньших или равных ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle P.}$

В оставшейся части статьи рассматривается концепция теории колец.

Определения

• а левый главный идеал из ${\displaystyle R}$ это подмножество из ${\displaystyle R}$ формы ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\},}$
• а правильный главный идеал из ${\displaystyle R}$ является подмножеством вида ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\},}$
• а двусторонний главный идеал из ${\displaystyle R}$ является подмножеством всех конечных сумм элементов вида ${\displaystyle ras}$, а именно ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}.}$

Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо убедиться, что идеал остается замкнутым при сложении.

Если ${\displaystyle R}$ это коммутативное кольцо с тождеством, то все три вышеупомянутых понятия одинаковы. В этом случае принято писать идеал, порожденный ${\displaystyle a}$ так как ${\displaystyle \langle a\rangle }$ или ${\displaystyle (a).}$

Примеры неглавного идеала

Не все идеалы главны. Например, рассмотрим коммутативное кольцо ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ из всех многочлены в двоем переменные ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y,}$ с участием сложный коэффициенты. Идеал ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ Сгенерированно с помощью ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y,}$ который состоит из всех многочленов от ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ который имеет нуль для постоянный срок, не является принципиальным. Чтобы увидеть это, предположим, что ${\displaystyle p}$ были генератором для ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$ потом ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ оба будут делиться на ${\displaystyle p,}$ что невозможно, если ${\displaystyle p}$ ненулевая константа, но ноль - единственная константа в ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$ так что у нас есть противоречие.

На ринге ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ числа, где ${\displaystyle a+b}$ даже образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную гексагональную решетку на комплексной плоскости. Рассматривать ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ и ${\displaystyle (1,1).}$ Эти числа являются элементами этого идеала с той же нормой (два), но поскольку единственные единицы в кольце ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1,}$ они не товарищи.

Связанные определения

Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главный, или кольцо главных идеалов. А главная идеальная область (PID) - это область целостности в котором главный идеал. Любой PID - это уникальная область факторизации; нормальное доказательство однозначной факторизации в целые числа (так называемое основная теорема арифметики ) выполняется в любом PID.

Примеры главного идеала

Основные идеалы в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ имеют форму ${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} .}$ По факту, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является областью главных идеалов, что можно показать следующим образом. Предположим ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ где ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ поскольку ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ конечно, для достаточно больших ${\displaystyle k}$ у нас есть ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ Таким образом ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ что подразумевает ${\displaystyle I}$ всегда конечно порожден. Поскольку идеальный ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ генерируется любыми целыми числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ точно ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ индукцией по числу образующих следует, что ${\displaystyle I}$ является основным.

Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеальный ${\displaystyle \langle x\rangle }$ главный идеал ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y],}$ и ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ главный идеал ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].}$ По факту, ${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$ и ${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$ главные идеалы любого кольца ${\displaystyle R.}$

Свойства

Любые Евклидова область это PID; алгоритм, используемый для расчета наибольшие общие делители может использоваться для нахождения генератора любого идеала. Более того, любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В областях главных идеалов это позволяет нам вычислять наибольшие общие делители элементов кольца кольцо, с точностью до умножения на единица измерения; мы определяем ${\displaystyle \gcd(a,b)}$ быть любым генератором идеала ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

Для Дедекиндский домен ${\displaystyle R,}$ мы также можем спросить, учитывая неглавный идеал ${\displaystyle I}$ из ${\displaystyle R,}$ есть ли какое-то расширение ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle R}$ такой, что идеал ${\displaystyle S}$ Сгенерированно с помощью ${\displaystyle I}$ является основным (более свободно говоря, ${\displaystyle I}$ становится основным в ${\displaystyle S}$Этот вопрос возник в связи с изучением колец алгебраические целые числа (которые являются примерами дедекиндовских доменов) в теория чисел, и привел к развитию теория поля классов от Тейджи Такаги, Эмиль Артин, Дэвид Гильберт, и многие другие.

В Теорема об основном идеале теории полей классов утверждает, что каждое целое кольцо ${\displaystyle R}$ (т.е. кольцо целых чисел некоторых числовое поле ) содержится в большем целочисленном кольце ${\displaystyle S}$ который обладает свойством каждый идеал ${\displaystyle R}$ становится главным идеалом ${\displaystyle S.}$ В этой теореме мы можем взять ${\displaystyle S}$ быть кольцом целых чисел Поле классов Гильберта из ${\displaystyle R}$; то есть максимальное неразветвленный абелево расширение (то есть Расширение Галуа чья Группа Галуа является абелевский ) поля дробей ${\displaystyle R,}$ и это однозначно определяется ${\displaystyle R.}$

Теорема Крулля о главном идеале заявляет, что если ${\displaystyle R}$ является нётеровым кольцом и ${\displaystyle I}$ главный, собственный идеал ${\displaystyle R,}$ тогда ${\displaystyle I}$ имеет рост максимум один.

Смотрите также

• Условие возрастающей цепочки главных идеалов

использованная литература

• Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Cengage Learning. ISBN  978-1-305-65796-0.