Кольцо целых чисел - Ring of integers

В математика, то кольцо целых чисел из поле алгебраических чисел $K$ это звенеть из всех интегральные элементы содержалась в $K$ . Неотъемлемым элементом является корень а монический многочлен с целое число коэффициенты, $Икс п + c п -1 Икс п -1 + \dots + c 0$ . Это кольцо часто обозначают как $О K$ или же ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ . Поскольку любой целое число принадлежит $K$ и является неотъемлемым элементом $K$ , кольцо $Z$ всегда подкольцо из $О K$ .

Кольцо $Z$ - простейшее возможное кольцо целых чисел.^[1] А именно, $Z = O Q$ куда $Q$ это поле из рациональное число.^[2] И действительно, в алгебраическая теория чисел элементы $Z$ из-за этого часто называют «рациональными целыми числами».

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел является единственным максимальным порядок в поле.

Характеристики

Кольцо целых чисел $О K$ является конечно порожденным $Z$ -модуль. Действительно, это свободный $Z$ -модуль и, следовательно, имеет целостная основа, это основа $б 1, \dots , б п \in O K$ из $Q$ -векторное пространство $K$ так что каждый элемент $Икс$ в $О K$ можно однозначно представить как

{ displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i},}

с $а я \in Z$ .^[3] Звание $п$ из $О K$ как бесплатный $Z$ -модуль равен степень из $K$ над $Q$ .

Кольца целых чисел в числовых полях - это Дедекиндовские домены.^[4]

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезный инструмент для вычисления целого замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле ${ displaystyle K / mathbb {Q}}$ использует дискриминант. Если ${ displaystyle K}$ имеет степень ${ displaystyle n}$ над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , и ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n} in { mathcal {O}} _ {K}}$ составляют основу ${ displaystyle K}$ над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , набор ${ displaystyle d = Delta _ {K / mathbb {Q}} ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})}$ . Потом, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ является подмодулем ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ модуль охватывает ${ displaystyle alpha _ {1} / d, ldots, alpha _ {n} / d}$ ^[5] ^{стр. 33}. Фактически, если ${ displaystyle d}$ без квадратов, то это составляет интегральную основу для ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ ^[5] ^{стр. 35 год}.

Циклотомические расширения

Если $п$ это основной, ζ - это $п$ th корень единства и $K = Q (ζ)$ соответствующий круговое поле, то интегральная основа $О K = Z [ζ]$ дан кем-то $(1, ζ, ζ 2,\dots, Ζ п -2)$ .^[6]

Квадратичные расширения

Если ${ displaystyle d}$ это целое число без квадратов и ${ Displaystyle К = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ соответствующий квадратичное поле, тогда ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ кольцо квадратичные целые числа и его интегральная основа дается $(1, (1 + \sqrt d)/2)$ если $d \equiv 1 (мод 4)$ и по $(1, \sqrt d)$ если $d \equiv 2, 3 (мод 4)$ .^[7] Это можно найти, вычислив минимальный многочлен произвольного элемента ${ displaystyle a + b { sqrt {d}} in mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ куда ${ displaystyle a, b in mathbb {Z}}$ .

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию в неприводимые элементы, но кольцо не обязательно должно обладать свойством уникальная факторизация: например, в кольце целых чисел ℤ [√-5] элемент 6 имеет две существенно разные факторизации в неприводимые:^[4]^[8]

{ displaystyle 6 = 2 cdot 3 = (1 + { sqrt {-5}}) (1 - { sqrt {-5}}) .}

Кольцо целых чисел всегда Дедекиндский домен, и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в главные идеалы.^[9]

В единицы кольца целых чисел О_K это конечно порожденная абелева группа к Теорема Дирихле о единицах. В торсионная подгруппа состоит из корни единства из K. Набор генераторов без кручения называется набором основные единицы.^[10]

Обобщение

Один определяет кольцо целых чисел неархимедово локальное поле $F$ как совокупность всех элементов $F$ с абсолютным значением $\leq 1$ ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника.^[11] Если $F$ является пополнением поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел является пополнением последнего кольца целых чисел. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении.^[2]

Например, $п$ -адические целые числа $Z п$ кольцо целых чисел $п$ -адические числа $Q п$ .

Смотрите также

Минимальный многочлен (теория поля)
Интегральное закрытие - дает методику вычисления интегральных замыканий

Примечания

^ Кольцо целых чисел, без указания поля, относится к кольцу $Z$ "обычных" целых чисел, прототипа объекта для всех этих колец. Это следствие двусмысленности слова "целое число "в абстрактной алгебре.
^ ^а ^б Касселс (1986) стр.192
^ Касселс (1986) стр.193
^ ^а ^б Самуэль (1972) стр.49
^ ^а ^б Бейкер. «Алгебраическая теория чисел» (PDF). С. 33–35.
^ Самуэль (1972) стр.43
^ Самуэль (1972) стр.35
^ Артин, Майкл (2011). Алгебра. Прентис Холл. п. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
^ Самуэль (1972) стр.50
^ Сэмюэл (1972), стр.59-62
^ Касселс (1986) стр. 41 год

[1] Кольцо целых чисел, без указания поля, относится к кольцу $Z$ "обычных" целых чисел, прототипа объекта для всех этих колец. Это следствие двусмысленности слова "целое число "в абстрактной алгебре.

[Cas192-2] а ^б Касселс (1986) стр.192

[Cas193-3] Касселс (1986) стр.193

[Sam49-4] а ^б Самуэль (1972) стр.49

[:0-5] а ^б Бейкер. «Алгебраическая теория чисел» (PDF). С. 33–35.

[Sam43-6] Самуэль (1972) стр.43

[Sam35-7] Самуэль (1972) стр.35

[8] Артин, Майкл (2011). Алгебра. Прентис Холл. п. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.

[Sam50-9] Самуэль (1972) стр.50

[10] Сэмюэл (1972), стр.59-62

[Cas41-11] Касселс (1986) стр. 41 год

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]