Неприводимый элемент - Irreducible element

В абстрактная алгебра, ненулевое ненулевоеединица измерения элемент в область целостности как говорят несводимый если это не продукт двух неединиц.

Отношения с первоэлементами

Неприводимые элементы не следует путать с основные элементы. (Ненулевой неединичный элемент ${ displaystyle a}$ в коммутативное кольцо ${ displaystyle R}$ называется простым, если и когда ${ displaystyle a | bc}$ для некоторых ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle c}$ в ${ displaystyle R,}$ тогда ${ displaystyle a | b}$ или ${ displaystyle a | c.}$ ) В область целостности, каждый простой элемент неприводим,^[1]^[2] но в целом обратное неверно. Обратное верно для уникальные домены факторизации^[2] (или, в более общем смысле, GCD домены.)

Более того, хотя идеал, порожденный простым элементом, является главный идеал, в общем случае неверно, что идеал, порожденный неприводимым элементом, является неприводимый идеал. Однако если ${ displaystyle D}$ является доменом GCD и ${ displaystyle x}$ является неприводимым элементом ${ displaystyle D}$ , то, как указано выше ${ displaystyle x}$ простое число, поэтому идеал, порожденный ${ displaystyle x}$ является главный идеал ${ displaystyle D}$ .^[3]

пример

в квадратное целочисленное кольцо ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}],}$ это можно показать с помощью норма аргументы, что число 3 неприводимо. Однако он не является первичным элементом в этом кольце, поскольку, например,

{ displaystyle 3 mid left (2 + { sqrt {-5}} right) left (2 - { sqrt {-5}} right) = 9,}

но 3 не делит ни один из двух факторов.^[4]

Смотрите также

Неприводимый полином

использованная литература

^ Рассматривать ${ displaystyle p}$ главный элемент ${ displaystyle R}$ и предположим ${ displaystyle p = ab.}$ потом ${ displaystyle p | ab Rightarrow p | a}$ или ${ displaystyle p | b.}$ Сказать ${ displaystyle p | a Rightarrow a = pc,}$ тогда у нас есть ${ displaystyle p = ab = pcb Rightarrow p (1-cb) = 0.}$ Потому что ${ displaystyle R}$ является областью целостности, мы имеем ${ displaystyle cb = 1.}$ Так ${ displaystyle b}$ это единица и ${ displaystyle p}$ неприводимо.
^ ^а ^б Шарп (1987) с.54
^ «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2010-06-20. Получено 2009-03-18.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)
^ Уильям В. Адамс и Ларри Джоэл Голдштейн (1976), Введение в теорию чисел, п. 250, Прентис-Холл, Инк., ISBN 0-13-491282-9

Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008.

[1] Рассматривать ${ displaystyle p}$ главный элемент ${ displaystyle R}$ и предположим ${ displaystyle p = ab.}$ потом ${ displaystyle p | ab Rightarrow p | a}$ или ${ displaystyle p | b.}$ Сказать ${ displaystyle p | a Rightarrow a = pc,}$ тогда у нас есть ${ displaystyle p = ab = pcb Rightarrow p (1-cb) = 0.}$ Потому что ${ displaystyle R}$ является областью целостности, мы имеем ${ displaystyle cb = 1.}$ Так ${ displaystyle b}$ это единица и ${ displaystyle p}$ неприводимо.

[Sha54-2] а ^б Шарп (1987) с.54

[3] «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2010-06-20. Получено 2009-03-18.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)

[4] Уильям В. Адамс и Ларри Джоэл Голдштейн (1976), Введение в теорию чисел, п. 250, Прентис-Холл, Инк., ISBN 0-13-491282-9

[1]

[2]

[3]

[4]