Главный идеал - Prime ideal

Эта статья об идеалах в теория колец. Основные идеалы в теории порядка см. идеал (теория порядка) § Простые идеалы.

А Диаграмма Хассе части решетки идеалов целых чисел ${displaystyle mathbb {Z} .}$ Фиолетовые узлы указывают на основные идеалы. Фиолетовые и зеленые узлы полупервичные идеалы, а фиолетовые и синие узлы - основные идеалы.

В алгебра, а главный идеал это подмножество из звенеть который разделяет многие важные свойства простое число в кольцо целых чисел.^[1][2] Простые идеалы для целых чисел - это наборы, которые содержат все кратные данного простого числа вместе с нулевой идеал.

Первобытные идеалы простые, и простые идеалы оба начальный и полупервичный.

Простые идеалы коммутативных колец

An идеальный п из коммутативное кольцо р является основной если он имеет следующие два свойства:

• Если а и б два элемента р так что их продукт ab является элементом п, тогда а в п или же б в п,
• п это не все кольцо р.

Это обобщает следующее свойство простых чисел: если п простое число и если п делит продукт ab из двух целые числа, тогда п разделяет а или же п разделяет б. Поэтому мы можем сказать

Положительное целое число п является простым числом тогда и только тогда, когда ${displaystyle nmathbb {Z} }$ главный идеал в ${displaystyle mathbb {Z} .}$

Примеры

• Простой пример: на ринге ${displaystyle R=mathbb {Z} ,}$ подмножество четных чисел - простой идеал.

• Учитывая уникальная область факторизации (УрФО) ${displaystyle R}$, любой неприводимый элемент ${displaystyle rin R}$ генерирует главный идеал ${displaystyle (r)}$. Критерий Эйзенштейна для областей целостности (следовательно, UFD) является эффективным инструментом для определения того, является ли элемент в кольце многочленов неприводимым. Например, возьмем неприводимый многочлен ${displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})}$ в кольце многочленов ${displaystyle mathbb {F} [x_{1},ldots ,x_{n}]}$ над каким-то полем ${displaystyle mathbb {F} }$.

• Если р обозначает кольцо ${displaystyle mathbb {C} [X,Y]}$ из многочлены в двух переменных с сложный коэффициентов, то идеал, порожденный полиномом Y² − Икс³ − Икс − 1 простой идеал (см. эллиптическая кривая ).

• На ринге ${displaystyle mathbb {Z} [X]}$ всех многочленов с целыми коэффициентами идеал, порожденный 2 и Икс это главный идеал. Он состоит из всех тех многочленов, постоянный коэффициент которых четный.

• В любом ринге р, а максимальный идеал это идеал M то есть максимальный в совокупности всех собственных идеалов р, т.е. M является содержалась в ровно два идеала р, а именно M само и все кольцо р. На самом деле каждый максимальный идеал прост. В главная идеальная область каждый ненулевой простой идеал максимален, но в общем случае это неверно. За УрФО ${displaystyle mathbb {C} [x_{1},ldots ,x_{n}]}$, Nullstellensatz Гильберта утверждает, что каждый максимальный идеал имеет вид ${displaystyle (x_{1}-alpha _{1},ldots ,x_{n}-alpha _{n})}$.

• Если M гладкий многообразие, р кольцо гладких вещественных функций на M, и Икс это точка в M, то множество всех гладких функций ж с ж (Икс) = 0 образует простой идеал (даже максимальный идеал) в р.

Без примеров

• Рассмотрим композицию следующих двух частных

${displaystyle mathbb {C} [x,y] o {frac {mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}} o {frac {mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}$

Хотя первые два кольца являются областями целостности (на самом деле первое - это UFD), последнее не является областью целостности, поскольку оно изоморфно

${displaystyle {frac {mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}cong {frac {mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}cong mathbb {C} imes mathbb {C} }$

показывая, что идеал ${displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)subset mathbb {C} [x,y]}$ не простое. (См. Первое свойство, указанное ниже.)

• Другой не пример - идеальный ${displaystyle (2,x^{2}+5)subset mathbb {Z} [x]}$ поскольку у нас есть

${displaystyle x^{2}+5-2cdot 3=(x-1)(x+1)in (2,x^{2}+5)}$

но ни то, ни другое ${displaystyle x-1}$ ни ${displaystyle x+1}$ элементы идеала.

Характеристики

• Идеальный я в ринге р (с единицей) простое тогда и только тогда, когда факторкольцо р/я является область целостности. В частности, коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда (0) это главный идеал.
• Идеальный я является простым тогда и только тогда, когда его теоретико-множественное дополнение равно мультипликативно замкнутый.^[3]
• Каждое ненулевое кольцо содержит хотя бы один первичный идеал (фактически, оно содержит хотя бы один максимальный идеал), что является прямым следствием Теорема Крулля.
• В более общем смысле, если S - любое мультипликативно замкнутое множество в р, то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал р максимальная по непересекающейся с S, и, кроме того, идеал должен быть первостепенным. В дальнейшем это можно обобщить на некоммутативные кольца (см. Ниже).^[4] В случае {S} = {1}, у нас есть Теорема Крулля, и это восстанавливает максимальные идеалы р. Еще одна прототипная м-система - это набор, {Икс, Икс², Икс³, Икс⁴, ...}, всех положительных сил не-нильпотентный элемент.
• Множество всех простых идеалов (спектр кольца) содержит минимальные элементы (называемые минимальное простое число ). Геометрически они соответствуют неприводимым компонентам спектра.
• В прообраз первичного идеала при гомоморфизме колец является первичным идеалом.
• Сумма двух простых идеалов не обязательно проста. Для примера рассмотрим кольцо ${displaystyle mathbb {C} [x,y]}$ с первоклассными идеалами п = (Икс² + у² − 1) и Q = (Икс) (идеалы, порожденные Икс² + у² − 1 и Икс соответственно). Их сумма п + Q = (Икс² + у² − 1, Икс) = (у² − 1, Икс) однако не является простым: у² − 1 = (у − 1)(у + 1) ∈ п + Q но его два фактора - нет. В качестве альтернативы факторкольцо имеет делители нуля, поэтому оно не является областью целостности и, следовательно, п + Q не может быть простым.
• Prime Ideal не эквивалентен не может быть разложен на два идеала, например. ${displaystyle (x,y^{2})subset mathbb {R} [x,y]}$ не может быть факторизован, но не является основным.
• В коммутативном кольце р по крайней мере с двумя элементами, если каждый собственный идеал прост, то кольцо является полем. (Если идеальный (0) простое, то кольцо р является областью целостности. Если q любой ненулевой элемент р и идеал (q²) простое, то оно содержит q а потом q обратима.)
• Ненулевой главный идеал прост тогда и только тогда, когда он порождается главный элемент. В UFD каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент.

Использует

Одно использование основных идеалов встречается в алгебраическая геометрия, где многообразия определяются как нулевые множества идеалов в кольцах многочленов. Оказывается, неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе каждый начинает с произвольного коммутативного кольца и переворачивает множество его первичных идеалов, также называемых его спектр, в топологическое пространство и таким образом может определять обобщения многообразий, называемых схемы, которые находят применение не только в геометрия, но и в теория чисел.

Внедрение основных идеалов в алгебраическая теория чисел был большим шагом вперед: было осознано, что важное свойство уникальной факторизации, выраженное в основная теорема арифметики не в каждом кольце алгебраические целые числа, но замена была найдена, когда Ричард Дедекинд заменены элементы идеалами, а простые элементы - простыми идеалами; видеть Дедекиндский домен.

Простые идеалы для некоммутативных колец

Понятие первичного идеала можно обобщить на некоммутативные кольца с помощью коммутативного определения «идеально». Вольфганг Круль выдвинул эту идею в 1928 году.^[5] Следующее содержание можно найти в таких текстах, как Goodearl's ^[6] и Лам.^[7] Если р является (возможно, некоммутативным) кольцом и п идеал в р Кроме как р мы говорим, что п является основной если для любых двух идеалов А и B из р:

• Если продукт идеалов AB содержится в п, то хотя бы один из А и B содержится в п.

Можно показать, что это определение эквивалентно коммутативному в коммутативных кольцах. Несложно проверить, что если идеал некоммутативного кольца р удовлетворяет коммутативному определению простого числа, то он также удовлетворяет некоммутативной версии. Идеальный п удовлетворяющие коммутативному определению простого числа, иногда называют полностью идеальный чтобы отличить его от других простых идеалов в кольце. Совершенно простые идеалы - это простые идеалы, но обратное неверно. Например, нулевой идеал в кольце п × п матрицы над полем - это простой идеал, но он не совсем простой.

Это близко к исторической точке зрения идеалов как идеальные числа, что касается кольца ${displaystyle mathbb {Z} }$ "А содержится в п"это другой способ сказать"п разделяет А", и агрегат идеально р представляет собой единство.

Эквивалентные формулировки идеала п ≠ р Быть первыми включают следующие свойства:

• Для всех а и б в р, (а)(б) ⊆ п подразумевает а ∈ п или же б ∈ п.
• Для любых двух верно идеалы р, AB ⊆ п подразумевает А ⊆ п или же B ⊆ п.
• Для любых двух оставили идеалы р, AB ⊆ п подразумевает А ⊆ п или же B ⊆ п.
• Для любых элементов а и б из р, если aRb ⊆ п, тогда а ∈ п или же б ∈ п.

Простые идеалы в коммутативных кольцах характеризуются наличием мультипликативно замкнутый дополняет в р, и с небольшими изменениями аналогичная характеризация может быть сформулирована для простых идеалов в некоммутативных кольцах. Непустое подмножество S ⊆ р называется м-система если для любого а и б в S, Существует р в р такой, что вилка в S.^[8] Следующий элемент может быть добавлен в список эквивалентных условий выше:

• Дополнение р∖п это м-система.

Примеры

• Любой примитивный идеал простое.
• Как и в случае с коммутативными кольцами, максимальные идеалы просты, а также простые идеалы содержат минимальные простые идеалы.
• Кольцо - это первичное кольцо тогда и только тогда, когда нулевой идеал является первичным идеалом, и, кроме того, кольцо является домен тогда и только тогда, когда нулевой идеал является полностью первичным идеалом.
• Еще один факт из коммутативной теории, нашедший отражение в некоммутативной теории, заключается в том, что если А ненулевой р модуль и п является максимальным элементом в посеть из аннигилятор идеалы подмодулей А, тогда п простое.

Важные факты

• Лемма о простом избегании. Если р коммутативное кольцо и А является подкольцом (возможно, без единицы), а я₁, ..., я_п это собрание идеалов р с не более чем двумя членами не простыми, то если А не содержится ни в одном я_j, он также не содержится в союз из я₁, ..., я_п.^[9] Особенно, А может быть идеалом р.
• Если S есть любая m-система в р, то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал я из р максимальный по непересекающимся с S, а тем более идеальный я должно быть простым (простота я можно доказать следующим образом. Если ${displaystyle a,bot in I}$, то существуют элементы ${displaystyle s,tin S}$ такой, что ${displaystyle sin I+(a),tin I+(b)}$ по максимальному свойству я. Мы можем взять ${displaystyle rin R}$ с ${displaystyle srtin S}$. Сейчас если ${displaystyle (a)(b)subset I}$, тогда ${displaystyle srtin (I+(a))r(I+(b))subset I+(a)(b)subset I}$, что противоречит).^[4] В случае {S} = {1}, у нас есть Теорема Крулля, и это восстанавливает максимальные идеалы р. Еще одна прототипная м-система - это набор, {Икс, Икс², Икс³, Икс⁴, ...}, всех положительных сил не-нильпотентный элемент.
• Для идеала высшего качества п, дополнение р∖п имеет еще одно свойство, помимо м-системы. Если ху в р∖п, то оба Икс и у должен быть в р∖п, поскольку п это идеал. Набор, содержащий делители своих элементов, называется насыщенный.
• Для коммутативного кольца р, для предыдущего утверждения существует своего рода обратное: если S - любое непустое насыщенное и мультипликативно замкнутое подмножество р, дополнение р∖S представляет собой объединение простых идеалов р.^[10]
• Пересечение элементов нисходящей цепочки простых идеалов является первичным идеалом, а в коммутативном кольце объединение элементов восходящей цепи первичных идеалов является первичным идеалом. С Лемма Цорна, из этих наблюдений следует, что в множестве простых идеалов коммутативного кольца (частично упорядоченного по включению) есть максимальные и минимальные элементы.

Подключение к максимальности

Первичные идеалы часто могут быть произведены как максимальные элементы определенных наборов идеалов. Например:

• Максимальный идеал относительно наличия пустого пересечения с фиксированной m-системой прост.
• Идеальный максимум среди аннигиляторы подмодулей фиксированного р модуль M простое.
• В коммутативном кольце идеал, максимальный по неглавности, первичен.^[11]
• В коммутативном кольце идеал, максимальный относительно несчетной генерации, прост.^[12]

Рекомендации

1. Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN  0-387-95385-X.
3. Рид, Майлз (1996). Коммутативная алгебра для студентов. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-45889-7.
4. Лам Первый курс в некоммутативных кольцах, п. 156
5. Круль, Вольфганг, Primidealketten в allgemeinen Ringbereichen, Sitzungsberichte Heidelberg. Акад. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl., 3-14.
6. Goodearl, Введение в некоммутативные нётеровы кольца
7. Лам, Первый курс в некоммутативных кольцах
8. Очевидно, мультипликативно замкнутые множества являются m-системами.
9. Якобсон Базовая алгебра II, п. 390
10. Капланский Коммутативные кольца, п. 2
11. Капланский Коммутативные кольца, п. 10, Пр. 10.
12. Капланский Коммутативные кольца, п. 10, Пр. 11.

дальнейшее чтение

• Goodearl, K. R .; Варфилд, Р. Б., младший (2004 г.), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 61 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. Xxiv + 344, Дои:10.1017 / CBO9780511841699, ISBN  0-521-54537-4, МИСТЕР  2080008
• Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: W. H. Freeman and Company, pp. Xviii + 686, ISBN  0-7167-1933-9, МИСТЕР  1009787
• Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца, Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, МИСТЕР  0254021
• Лам, Т. Я. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, Дои:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN  0-387-95183-0, МИСТЕР  1838439, Zbl  0980.16001
• Лам, Т. Я.; Рейес, Мануэль Л. (2008), "Принцип простого идеала в коммутативной алгебре", J. Алгебра, 319 (7): 3006–3027, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2007.07.016, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  2397420, Zbl  1168.13002
• «Прайм-идеал», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]