Лемма о простом избегании - Prime avoidance lemma

В алгебра, то лемма о простом избегании говорит, что если идеал я в коммутативное кольцо р содержится в союз конечного числа главные идеалы п_я's, то он содержится в п_я для некоторых я.

Есть много вариантов леммы (ср. Hochster); например, если кольцо р содержит бесконечное поле или конечное поле достаточно большой мощности, то утверждение следует из факта в линейная алгебра который векторное пространство над бесконечным полем или конечным полем большой мощности не является конечным объединением собственных векторных подпространств.^[1]

Заявление и доказательство

Следующее утверждение и аргумент, пожалуй, самые стандартные.

Заявление: Позволять E быть подмножеством р это аддитивная подгруппа группы р и мультипликативно замкнут. Позволять ${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{n},n\geq 1}$ быть такими идеалами, что ${\displaystyle I_{i}}$ главные идеалы для ${\displaystyle i\geq 3}$. Если E не содержится ни в одном из ${\displaystyle I_{i}}$тогда E не входит в союз ${\displaystyle \cup I_{i}}$.

Доказательство индукцией по п: Идея состоит в том, чтобы найти элемент, который находится в E и ни в одном из ${\displaystyle I_{i}}$с. Базовый случай п = 1 тривиально. Далее предположим п ≥ 2. Для каждого я, выберите

${\displaystyle z_{i}\in E-\cup _{j\neq i}I_{j}}$

где правое множество непусто по предположению индукции. Мы можем предположить ${\displaystyle z_{i}\in I_{i}}$ для всех я; в противном случае некоторые ${\displaystyle z_{i}}$ избегает всех ${\displaystyle I_{i}}$и мы закончили. Положить

${\displaystyle z=z_{1}\dots z_{n-1}+z_{n}}$.

потом z в E но ни в одном из ${\displaystyle I_{i}}$с. Действительно, если z в ${\displaystyle I_{i}}$ для некоторых ${\displaystyle i\leq n-1}$, тогда ${\displaystyle z_{n}}$ в ${\displaystyle I_{i}}$, противоречие. Предполагать z в ${\displaystyle I_{n}}$. потом ${\displaystyle z_{1}\dots z_{n-1}}$ в ${\displaystyle I_{n}}$. Если п 2, мы закончили. Если п > 2, то, поскольку ${\displaystyle I_{n}}$ это главный идеал, некоторые ${\displaystyle z_{i},i<n}$ в ${\displaystyle I_{n}}$, противоречие.

Главное избегание Э. Дэвиса

Существует следующий вариант простого избегания, предложенный Э. Дэвисом.

Теорема — ^[2] Позволять А несущий, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}}$ главные идеалы, Икс элемент А и J идеальный. Для идеального ${\displaystyle I=xA+J}$, если ${\displaystyle I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}}$ для каждого я, то существует несколько у в J такой, что ${\displaystyle x+y\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$ для каждого я.

Доказательство:^[3] Рассуждаем индукцией по р. Без ограничения общности можно предположить, что нет отношения включения между ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$s; так как в противном случае мы можем использовать индуктивную гипотезу.

Кроме того, если ${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$ для каждого я, тогда мы закончили; таким образом, без ограничения общности можно считать ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$. По индуктивному предположению находим у в J такой, что ${\displaystyle x+y\in I-\cup _{1}^{r-1}{\mathfrak {p}}_{i}}$. Если ${\displaystyle x+y}$ не в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$, мы сделали. В противном случае обратите внимание, что ${\displaystyle J\not \subset {\mathfrak {p}}_{r}}$ (поскольку ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$) и с тех пор ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$ - простой идеал, имеем:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}\not \supset J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$.

Следовательно, мы можем выбрать ${\displaystyle y'}$ в ${\displaystyle J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$ это не в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$. Тогда, поскольку ${\displaystyle x+y\in {\mathfrak {p}}_{r}}$, элемент ${\displaystyle x+y+y'}$ имеет требуемое свойство. ${\displaystyle \square }$

Заявление

Позволять А быть нётеровым кольцом, я идеал, созданный п элементы и M конечный А-модуль такой, что ${\displaystyle IM\neq M}$. Кроме того, пусть ${\displaystyle d=\operatorname {depth} _{A}(I,M)}$ = максимальная длина M-регулярные последовательности в я = длина каждый максимальный M-регулярная последовательность в я. потом ${\displaystyle d\leq n}$; эту оценку можно показать, используя указанное выше простое избегание, следующим образом. Рассуждаем индукцией по п. Позволять ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}\}}$ быть набором связанных простых чисел M. Если ${\displaystyle d>0}$, тогда ${\displaystyle I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}}$ для каждого я. Если ${\displaystyle I=(y_{1},\dots ,y_{n})}$, тогда, просто избегая, мы можем выбрать

${\displaystyle x_{1}=y_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}y_{i}}$

для некоторых ${\displaystyle a_{i}}$ в ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle x_{1}\not \in \cup _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}}$ = множество нулевых делителей на M. Сейчас же, ${\displaystyle I/(x_{1})}$ это идеал ${\displaystyle A/(x_{1})}$ создано ${\displaystyle n-1}$ элементов и, таким образом, по индуктивному предположению, ${\displaystyle \operatorname {depth} _{A/(x_{1})}(I/(x_{1}),M/x_{1}M)\leq n-1}$. Теперь следует утверждение.

Примечания

1. Доказательство факта: предположим, что векторное пространство - это конечное объединение собственных подпространств. Рассмотрим конечное произведение линейные функционалы, каждое из которых обращается в нуль на собственном подпространстве, входящем в объединение; тогда это ненулевой многочлен тождественно исчезают, противоречие.
2. Мацумура, Упражнение 16.8. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)
3. Адаптировано из решения к Мацумура, Упражнение 1.6. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)

Рекомендации

• Мел Хохстер, Теория размерностей и системы параметров, дополнительное примечание
• Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования в области высшей математики. 8. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36764-6. МИСТЕР  0879273. Zbl  0603.13001.