Первичный идеал - Primary ideal - Wikipedia

В математика, конкретно коммутативная алгебра, правильный идеальный Q из коммутативное кольцо А как говорят начальный если когда-нибудь ху является элементом Q тогда Икс или же у^п также является элементом Q, для некоторых п > 0. Например, в кольцо целых чисел Z, (п^п) является примарным идеалом, если п - простое число.

Понятие примарных идеалов важно в теории коммутативных колец, потому что каждый идеал Кольцо Нётериана имеет первичное разложение, то есть может быть записано как пересечение конечного числа примарных идеалов. Этот результат известен как Теорема Ласкера – Нётер. Как следствие,^[1] ан неприводимый идеал нётерского кольца является первичным.

Существуют различные методы обобщения примарных идеалов на некоммутативные кольца,^[2] но чаще всего эта тема исследуется для коммутативных колец. Поэтому кольца в этой статье предполагаются коммутативными кольцами с единицей.

Примеры и свойства

• Определение можно перефразировать более симметрично: идеальный ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ является первичным, если и когда ${\displaystyle xy\in {\mathfrak {q}}}$, у нас есть ${\displaystyle x\in {\mathfrak {q}}}$ или же ${\displaystyle y\in {\mathfrak {q}}}$ или же ${\displaystyle x,y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$. (Здесь ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$ обозначает радикальный из ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$.)
• Идеальный Q из р является первичным тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в р/Q нильпотентен. (Сравните это со случаем простых идеалов, где п простое тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в р/п фактически равен нулю.)
• Любой главный идеал первична, причем идеал первичен тогда и только тогда, когда он первичен и полупервичный.
• Каждый первичный идеал первобытный.^[3]
• Если Q первичный идеал, то радикальный из Q обязательно первичный идеал п, и этот идеал называется связанный основной идеал из Q. В этой ситуации, Q как говорят п-начальный.
  • С другой стороны, идеал с простым радикалом не обязательно первичен: например, если ${\displaystyle R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})}$, и ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}}$, тогда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ прост и ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}}$, но у нас есть ${\displaystyle {\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}}$, ${\displaystyle {\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}}$, и ${\displaystyle {\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}}$ для всех n> 0, поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ не является первичным. Первичное разложение ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ является ${\displaystyle ({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$; Вот ${\displaystyle ({\overline {x}})}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-первичный и ${\displaystyle ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$ является ${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})}$-начальный.
    • Идеал, радикал которого максимальныйвпрочем, первична.
    • Каждый идеал Q с радикальным п является содержится в самом маленьком п-первоначальный идеал: все элементы а такой, что топор ∈ Q для некоторых Икс ∉ п. Наименьший п-первичный идеал, содержащий п^п называется пth символическая сила из п.
• Если п является максимальным простым идеалом, то любой идеал, содержащий степень п является п-начальный. Не все п-первичные идеалы должны быть п; например идеальный (Икс, у²) является п-первоначально для идеала п = (Икс, у) в ринге k[Икс, у], но это не сила п.
• Если А это Кольцо Нётериана и п простой идеал, то ядро ${\displaystyle A\to A_{P}}$, карта из А к локализация из А в п, является пересечением всех п-первичные идеалы.^[4]
• Конечное непустое произведение ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-первичные идеалы ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-первичное, но бесконечное произведение ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-первичные идеалы не могут быть ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-начальный; поскольку, например, в нётеровом локальном кольце с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, ${\displaystyle \cap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$ (Теорема Крулля о пересечении ) где каждый ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-начальный. Фактически, в нётеровом кольце непустое произведение ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-первоначальные идеалы ${\displaystyle Q_{i}}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-первичный тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число ${\displaystyle n>0}$ такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}\subset \cap _{i}Q_{i}}$.^[5]

Сноски

1. Точнее, этот факт обычно используют для доказательства теоремы.
2. См. Ссылки на Чаттерс-Хаджарнавис, Гольдман, Гортон-Хизерли и Лезье-Круазо.
3. Доказательство второй части см. В статье Фукса.
4. Атья – Макдональд, следствие 10.21
5. Бурбаки, Гл. IV, § 2, упражнение 3. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBourbaki (помощь)

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, стр. 50, ISBN  978-0-201-40751-8
• Бурбаки, Коммутативный альгебр.
• Chatters, A. W .; Хаджарнавис, К. Р. (1971), "Некоммутативные кольца с примарным разложением", Кварта. J. Math. Oxford Ser. (2), 22: 73–83, Дои:10.1093 / qmath / 22.1.73, ISSN  0033-5606, МИСТЕР  0286822
• Гольдман, Оскар (1969), "Кольца и модули частных", J. Алгебра, 13: 10–47, Дои:10.1016/0021-8693(69)90004-0, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0245608
• Гортон, Кристина; Хизерли, Генри (2006), «Обобщенные первичные кольца и идеалы», Математика. Паннон., 17 (1): 17–28, ISSN  0865-2090, МИСТЕР  2215638
• О первобытных идеалах, Ладислас Фукс
• Lesieur, L .; Круазо, Р. (1963), Algèbre noethérienne некоммутативный (на французском языке), Mémor. Sci. Math., Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur -Imprimeur-Libraire, Париж, стр. 119, МИСТЕР  0155861

внешняя ссылка

• Первичный идеал в энциклопедии математики