Коммутативная алгебра - Commutative algebra

Эта статья посвящена разделу алгебры, изучающему коммутативные кольца. Для коммутативных алгебр см. Коммутативная алгебра (структура).

Открытка 1915 года от одного из пионеров коммутативной алгебры. Эмми Нётер, Э. Фишер, обсуждая ее работы по коммутативной алгебре.

Коммутативная алгебра это филиал алгебра что изучает коммутативные кольца, их идеалы, и модули над такими кольцами. Обе алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел построены на коммутативной алгебре. Известные примеры коммутативных колец включают кольца многочленов; кольца алгебраические целые числа, в том числе обычные целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$; и п-адические целые числа.^[1]

Коммутативная алгебра - главный технический инструмент местного изучения схемы.

Изучение колец, которые не обязательно коммутативны, известно как некоммутативная алгебра; это включает в себя теория колец, теория представлений, и теория Банаховы алгебры.

Обзор

Коммутативная алгебра - это, по сути, изучение колец, входящих в алгебраическая теория чисел и алгебраическая геометрия.

В алгебраической теории чисел кольца алгебраические целые числа находятся Кольца дедекинда, которые, таким образом, составляют важный класс коммутативных колец. Соображения, связанные с модульная арифметика привели к понятию оценочное кольцо. Ограничение расширения алгебраических полей к подколам привело к понятию интегральные расширения и целозамкнутые области а также понятие разветвление расширения оценочных колец.

Понятие локализация кольца (в частности, локализация относительно главный идеал, локализация, состоящая в инвертировании одного элемента и кольцо полного частного ) является одним из основных отличий коммутативной алгебры от теории некоммутативных колец. Это приводит к важному классу коммутативных колец: местные кольца что есть только один максимальный идеал. Множество первичных идеалов коммутативного кольца естественным образом снабжается топология, то Топология Зарисского. Все эти понятия широко используются в алгебраической геометрии и являются основными техническими инструментами для определения теория схем, обобщение алгебраической геометрии, введенное Гротендик.

Многие другие понятия коммутативной алгебры являются аналогами геометрических понятий, встречающихся в алгебраической геометрии. Это случай Измерение Крулля, первичное разложение, обычные кольца, Кольца Коэна – Маколея, Кольца Горенштейна и многие другие понятия.

История

Предмет, впервые известный как идеальная теория, началось с Ричард Дедекинд работает над идеалы, основанный на более ранней работе Эрнст Куммер и Леопольд Кронекер. Потом, Дэвид Гильберт ввел термин звенеть обобщить предыдущий термин номер кольцо. Гильберт представил более абстрактный подход, чтобы заменить более конкретные и ориентированные на вычисления методы, основанные на таких вещах, как комплексный анализ и классический теория инвариантов. В свою очередь, Гильберт сильно повлиял на Эмми Нётер, которые переработали многие предыдущие результаты с точки зрения условие возрастающей цепи, теперь известное как состояние Нётера. Еще одной важной вехой стала работа ученика Гильберта. Эмануэль Ласкер, который представил основные идеалы и доказал первую версию Теорема Ласкера – Нётер.

Главной фигурой, ответственной за рождение коммутативной алгебры как зрелого предмета, была Вольфганг Круль, который ввел фундаментальные понятия локализация и завершение кольца, а также регулярные местные кольца. Он установил концепцию Измерение Крулля кольца, сначала для Нётерские кольца прежде чем перейти к расширению своей теории, чтобы охватить общие оценочные кольца и Кольца Крулля. И по сей день, Теорема Крулля о главном идеале широко считается самой важной основной теоремой коммутативной алгебры. Эти результаты проложили путь для введения коммутативной алгебры в алгебраическую геометрию, идеи, которая произвела революцию в этой последней теме.

Большая часть современного развития коммутативной алгебры подчеркивает модули. Оба идеала кольца р и р-алгебры являются частными случаями р-модулей, поэтому теория модулей включает в себя как идеальную теорию, так и теорию удлинители кольца. Хотя это уже зародилось в Кронекера работы, современный подход к коммутативной алгебре с использованием теории модулей обычно приписывают Krull и Нётер.

Основные инструменты и результаты

Нётерские кольца

Основная статья: Кольцо Нётериана

В математика, а точнее в области современная алгебра известный как теория колец, а Кольцо Нётериана, названный в честь Эмми Нётер, представляет собой кольцо, в котором каждый непустой набор идеалы имеет максимальный элемент. Точно так же кольцо является нётеровым, если оно удовлетворяет условие возрастающей цепи по идеалам; то есть для любой цепочки:

${\displaystyle I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots }$

существует п такой, что:

${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots }$

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждый первичный идеал кольца был конечно порождён. (Результат обусловлен И. С. Коэн.)

Понятие нётерова кольца имеет фундаментальное значение как в коммутативной, так и в некоммутативной теории колец из-за той роли, которую оно играет в упрощении идеальной структуры кольца. Например, кольцо целые числа и кольцо многочленов через поле оба являются нётеровыми кольцами, и, следовательно, такие теоремы, как Теорема Ласкера – Нётер, то Теорема Крулля о пересечении, а Базисная теорема Гильберта держитесь за них. Кроме того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию состояние нисходящей цепочки на главные идеалы. Это свойство наводит на мысль о глубокой теории размерности нётеровых колец, начиная с понятия Измерение Крулля.

Базисная теорема Гильберта

Основная статья: Базисная теорема Гильберта

Теорема. Если р левый (соответственно правый) Кольцо Нётериана, то кольцо многочленов р[Икс] также является нётеровым слева (соответственно справа) кольцом.

Теорема Гильберта о базисе имеет несколько непосредственных следствий:

1. По индукции видим, что ${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$ тоже будет нётерским.
2. Поскольку любой аффинное разнообразие над ${\displaystyle R^{n}}$ (то есть геометрическое место набора многочленов) может быть записано как геометрическое место идеала ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$ и далее, как геометрическое место его образующих, следует, что каждое аффинное многообразие является геометрическим местом конечного числа многочленов, т.е. пересечением конечного числа гиперповерхности.
3. Если ${\displaystyle A}$ конечно порожденный ${\displaystyle R}$-алгебра, тогда мы знаем, что ${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ это идеал. Из теоремы о базисе следует, что ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ должно быть конечно порожденным, скажем ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$, т.е. ${\displaystyle A}$ является конечно представленный.

Первичное разложение

Основная статья: Первичное разложение

Идеальный Q кольца называется начальный если Q является правильный и когда ху ∈ Q, либо Икс ∈ Q или же у^п ∈ Q для некоторого положительного целого числа п. В Z, первичные идеалы - это в точности идеалы вида (п^е) куда п прост и е положительное целое число. Таким образом, примарное разложение (п) соответствует представлению (п) как пересечение конечного числа примарных идеалов.

В Теорема Ласкера – Нётер, данное здесь, можно рассматривать как некоторое обобщение основной теоремы арифметики:

Теорема Ласкера-Нётер. Позволять р коммутативное нётерово кольцо и пусть я быть идеалом р. потом я можно записать как пересечение конечного числа примарных идеалов с различными радикалы; то есть:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}}$

с Q_я первично для всех я и Рад (Q_я) ≠ Рад (Q_j) за я ≠ j. Кроме того, если:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}}$

это разложение я с Rad (п_я) ≠ Рад (п_j) за я ≠ j, и оба разложения я находятся неизбыточный (это означает, что ни одно из подмножеств {Q₁, ..., Q_т} или же {п₁, ..., п_k} дает пересечение, равное я), т = k и (после возможного изменения нумерации Q_я) Рад (Q_я) = Рад (п_я) для всех я.

Для любого первичного разложения я, множество всех радикалов, т. е. множество {Rad (Q₁), ..., Рад (Q_т)} остается прежним по теореме Ласкера – Нётер. Фактически оказывается, что (для нётерова кольца) это в точности убийца модуля р/я; то есть набор всех аннигиляторы из р/я (рассматривается как модуль над р) простые.

Локализация

Основная статья: Локализация (алгебра)

В локализация - это формальный способ представить «знаменатели» данного кольца или модуля. То есть он вводит новое кольцо / модуль из существующего, так что он состоит из фракции

${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$.

где знаменатели s диапазон в данном подмножестве S из р. Типичный пример - конструкция кольца Q рациональных чисел из кольца Z целых чисел.

Завершение

Основная статья: Завершение (теория колец)

А завершение является одним из нескольких связанных функторы на кольца и модули что приводит к полному топологические кольца и модули. Завершение похоже на локализация, и вместе они являются одними из самых основных инструментов в анализе коммутативные кольца. Полные коммутативные кольца имеют более простую структуру, чем общие, и Лемма Гензеля относится к ним.

Топология Зарисского на простых идеалах

Основная статья: Топология Зарисского

В Топология Зарисского определяет топология на спектр кольца (множество простых идеалов).^[2] В этой формулировке под замкнутыми по Зарискому множествами понимаются множества

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}}$

куда А - фиксированное коммутативное кольцо и я это идеал. Это определяется по аналогии с классической топологией Зарисского, где замкнутые множества в аффинном пространстве определяются полиномиальными уравнениями. Чтобы увидеть связь с классической картинкой, обратите внимание, что для любого набора S полиномов (над алгебраически замкнутым полем) следует из Nullstellensatz Гильберта что точки V(S) (в старом смысле) - это в точности наборы (а₁, ..., а_п) такой, что (Икс₁ - а₁, ..., Икс_п - а_п) содержит S; более того, это максимальные идеалы, и, согласно «слабому» Nullstellensatz, идеал любого аффинного координатного кольца максимален тогда и только тогда, когда он имеет эту форму. Таким образом, V(S) "то же самое, что" максимальные идеалы, содержащие S. Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов на все основные идеалы; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение до определения замкнутого множества в спектре кольца.

Примеры

Основным примером коммутативной алгебры является кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Существование простых чисел и уникальная теорема факторизации заложили основы таких понятий, как Нётерские кольца и первичное разложение.

Другие важные примеры:

• Кольца полиномов ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$
• В p-адические целые числа
• Кольца алгебраические целые числа.

Связи с алгебраической геометрией

Коммутативная алгебра (в виде кольца многочленов и их частные, используемые в определении алгебраические многообразия ) всегда был частью алгебраическая геометрия. Однако в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в Александр Гротендик концепция схема. Их локальные объекты - это аффинные схемы или простые спектры, которые представляют собой локально окольцованные пространства, которые образуют категорию, антиэквивалентную (двойственную) категории коммутативных колец с единицей, расширяющую двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k, а категория конечно порожденных редуцированных k-алгебры. Склейка по топологии Зарисского; можно склеить в категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, в более абстрактную категорию предпучков множеств над категорией аффинных схем. Затем топология Зарисского в теоретико-множественном смысле заменяется топологией Зарисского в смысле Топология Гротендика. Гротендик представил топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и более чувствительные примеры, чем грубая топология Зарисского, а именно: этальная топология и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc. В настоящее время стали заметными некоторые другие примеры, в том числе Топология Нисневича. Кроме того, связки могут быть обобщены на стеки в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, приводящими к стекам Артина и, что еще более тонко, Стеки Делиня-Мамфорда, оба часто называют алгебраическими стеками.

Смотрите также

• Список тем коммутативной алгебры
• Словарь коммутативной алгебры
• Комбинаторная коммутативная алгебра
• Основа Грёбнера
• Гомологическая алгебра

Примечания

1. Атья и Макдональд, 1969, Глава 1
2. Dummit, D. S .; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. стр.71 –72. ISBN  9780471433347.

Рекомендации

• Майкл Атья & Ян Дж. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Бурбаки, Николас, Коммутативная алгебра. Главы 1-7. Перевод с французского. Перепечатка английского перевода 1989 года. Элементы математики (Берлин). Springer-Verlag, Берлин, 1998. xxiv + 625 с. ISBN  3-540-64239-0
• Бурбаки, Николас, Éléments de mathématique. Коммутативный Algèbre. Главы 8 и 9. (Элементы математики. Коммутативная алгебра. Главы 8 и 9) Перепечатка оригинала 1983 года. Springer, Berlin, 2006. ii + 200 с. ISBN  978-3-540-33942-7
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag. xvi + 785. ISBN  0-387-94268-8. МИСТЕР  1322960.
• Реми Гобло, "Algèbre commutative, cours et playsices corrigés", 2-е издание, Dunod 2001, ISBN  2-10-005779-0
• Эрнст Кунц, "Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию", Birkhauser 1985, ISBN  0-8176-3065-1
• Мацумура, Хидеюки, Коммутативная алгебра. Второе издание. Серия лекций по математике, 56. Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, 1980. xv + 313 с. ISBN  0-8053-7026-9
• Мацумура, Хидеюки, Теория коммутативных колец. Второе издание. Перевод с японского. Кембриджские исследования в области высшей математики, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 1989. ISBN  0-521-36764-6
• Нагата, Масаёши, Местные кольца. Interscience Tractors in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers, подразделение John Wiley and Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г. xiii + 234 с.
• Майлз Рид, Коммутативная алгебра для студентов (Тексты студентов Лондонского математического общества), Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 1996.
• Жан-Пьер Серр, Локальная алгебра. Переведено с французского CheeWhye Chin и отредактировано автором. (Оригинальное название: Язык Algèbre, multiplicités) Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2000. xiv + 128 с. ISBN  3-540-66641-9
• Шарп, Р. Я., Шаги в коммутативной алгебре. Второе издание. Тексты студентов Лондонского математического общества, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii + 355 pp. ISBN  0-521-64623-5
• Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер, Коммутативная алгебра. Vol. 1, 2. При сотрудничестве И. С. Коэна. Исправленное переиздание издания 1958 г., 1960 г. Тексты для выпускников по математике, № 28, 29. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг-Берлин, 1975.