Алгебраическая дробь - Algebraic fraction

В алгебра, алгебраическая дробь это дробная часть числитель и знаменатель которой алгебраические выражения. Два примера алгебраических дробей: ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$. Алгебраические дроби подчиняются тем же законам, что и арифметические дроби.

А рациональная дробь является алгебраической дробью, числитель и знаменатель которой равны многочлены. Таким образом ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ это рациональная дробь, но не ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$ потому что числитель содержит функцию извлечения квадратного корня.

Терминология

В алгебраической дроби ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$, дивиденд а называется числитель и делитель б называется знаменатель. Числитель и знаменатель называются термины алгебраической дроби.

А сложная дробь - дробь, числитель или знаменатель которой или и то и другое содержат дробь. А простая дробь не содержит дробей ни в числителе, ни в знаменателе. Часть находится в самые низкие сроки если единственный общий множитель числителя и знаменателя равен 1.

Выражение, не являющееся дробным, называется интегральное выражение. Целое выражение всегда можно записать в дробной форме, задав ему знаменатель 1. A смешанное выражение представляет собой алгебраическую сумму одного или нескольких интегральных выражений и одного или нескольких дробных членов.

Рациональные дроби

Смотрите также: Рациональная функция

Если выражения а и б находятся многочлены алгебраическая дробь называется рациональная алгебраическая дробь^[1] или просто рациональная дробь.^[2][3] Рациональные дроби также известны как рациональные выражения. Рациональная фракция ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ называется правильный если ${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$, и неподходящий в противном случае. Например, рациональная дробь ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$ собственно, а рациональные дроби ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ и ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$ неуместны. Любая несобственная рациональная дробь может быть выражена как сумма многочлена (возможно, постоянного) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

где второй член - правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби как суммы двух или более дробей называется преобразованием ее в частичные фракции. Например,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

Здесь два члена справа называются частичными дробями.

Иррациональные дроби

An иррациональная дробь тот, который содержит переменную под дробным показателем.^[4] Пример иррациональной дроби:

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную дробь известен как рационализация. Каждая иррациональная дробь, в которой радикалы мономы можно рационализировать, найдя наименьший общий множитель индексов корней и замену переменной другой переменной с наименьшим общим кратным в качестве показателя степени. В приведенном примере наименьшее общее кратное - 6, поэтому мы можем заменить ${\displaystyle x=z^{6}}$ чтобы получить

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

Заметки

1. Банси Лал (2006). Темы интегрального исчисления. п. 53. ISBN  9788131800027.
2. Эрнест Борисович Винберг (2003). Курс алгебры. п. 131. ISBN  9780821883945.
3. Пармананд Гупта. Комплексная математика XII. п. 739. ISBN  9788170087410.
4. Вашингтон Маккартни (1844 г.). Принципы дифференциального и интегрального исчисления; и их применение к геометрии. п. 203.

использованная литература

Бринк, Раймонд В. (1951). «IV. Дроби». Колледж алгебры.