Алгебраическое выражение - Algebraic expression

В математика, алгебраическое выражение является выражение построенный из целого числа константы, переменные, а алгебраические операции (добавление, вычитание, умножение, разделение и возведение в степень показателем, который является Рациональное число ).^[1] Например, 3Икс² − 2ху + c является алгебраическим выражением. Поскольку взяв квадратный корень это то же самое, что возвести во власть 1/2,

${displaystyle {sqrt {frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

также является алгебраическим выражением.

Напротив, трансцендентные числа подобно π и е не являются алгебраическими, поскольку они не являются производными от целочисленных констант и алгебраических операций. Обычно Пи строится как геометрическая связь, а определение числа е требует бесконечное число алгебраических операций.

А рациональное выражение является выражение это может быть переписано на рациональная дробь используя свойства арифметических операций (коммутативные свойства и ассоциативные свойства сложения и умножения, распределительное свойство и правила операций с дробями). Другими словами, рациональное выражение - это выражение, которое может быть построено из переменных и констант, используя только четыре операции арифметика. Таким образом,

${displaystyle {frac {3x^{2}-2xy+c}{y^{3}-1}}}$

рациональное выражение, тогда как

${displaystyle {sqrt {frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

не является.

А рациональное уравнение уравнение, в котором две рациональные дроби (или рациональные выражения) вида

${displaystyle {frac {P(x)}{Q(x)}}}$

равны друг другу. Эти выражения подчиняются тем же правилам, что и фракции. Уравнения можно решить следующим образом: перекрестное умножение. Деление на ноль не определено, поэтому решение, вызывающее формальное деление на ноль, отклоняется.

Терминология

Алгебра имеет свою терминологию для описания частей выражения:

1 - экспонента (степень), 2 - коэффициент, 3 - член, 4 - оператор, 5 - константа, ${displaystyle x,y}$ - переменные

В корнях многочленов

В корни полиномиального выражения степень п, или, что то же самое, решения полиномиальное уравнение, всегда можно записать в виде алгебраических выражений, если п <5 (см. квадратичная формула, кубическая функция, и уравнение четвертой степени ). Такое решение уравнения называется алгебраическое решение. Но Теорема Абеля – Руффини утверждает, что алгебраические решения не существуют для всех таких уравнений (только для некоторых из них), если п ${displaystyle geq }$ 5.

Конвенции

Переменные

По соглашению буквы в начале алфавита (например, ${displaystyle a,b,c}$) обычно используются для представления константы, и те, что ближе к концу алфавита (например, ${displaystyle x,y}$ и ${displaystyle z}$) используются для представления переменные.^[2] Обычно они пишутся курсивом.^[3]

Экспоненты

Условно, члены с наибольшей степенью (показатель степени ), написаны слева, например, ${displaystyle x^{2}}$ написано слева от ${displaystyle x}$. Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, ${displaystyle 1x^{2}}$ написано ${displaystyle x^{2}}$).^[4] Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, ${displaystyle 3x^{1}}$ написано ${displaystyle 3x}$),^[5] и, когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, ${displaystyle 3x^{0}}$ написано ${displaystyle 3}$, поскольку ${displaystyle x^{0}}$ всегда ${displaystyle 1}$).^[6]

Алгебраические и другие математические выражения

В таблице ниже показано, как алгебраические выражения сравниваются с некоторыми другими типами математических выражений по типу элементов, которые они могут содержать, в соответствии с общими, но не универсальными соглашениями.

А рациональное алгебраическое выражение (или же рациональное выражение) - алгебраическое выражение, которое можно записать как частное из многочлены, Такие как Икс² + 4Икс + 4. An иррациональное алгебраическое выражение тот, который не является рациональным, например √Икс + 4.

Смотрите также

• Алгебраическое уравнение
• Алгебраическая функция
• Аналитическое выражение
• Арифметическое выражение
• Выражение в закрытой форме
• Выражение (математика)
• Precalculus
• Полиномиальный
• Срок (логика)

Примечания

1. Моррис, Кристофер Г. (1992). Научно-технический словарь Academic Press. Gulf Professional Publishing. п.74. алгебраическое выражение над полем.
2. Уильям Л. Хош (редактор), Британское руководство по алгебре и тригонометрии, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010 г., ISBN  1615302190, 9781615302192, стр.71
3. Джеймс Э. Джентл, Численная линейная алгебра для приложений в статистике, Издательство: Springer, 1998 г., ISBN  0387985425, 9780387985428, 221 страница, [Джеймс Э. Джентл, страница 183]
4. Дэвид Алан Херцог, Научитесь визуально алгебре, Издатель John Wiley & Sons, 2008 г., ISBN  0470185597, 9780470185599, 304 страницы, стр.72
5. Джон С. Петерсон, Техническая математика с исчислением, Издательство Cengage Learning, 2003 г., ISBN  0766861899, 9780766861893, 1613 страниц, стр.31
6. Джером Э. Кауфманн, Карен Л. Швиттерс, Алгебра для студентов колледжа, Обучение издателей, 2010 г., ISBN  0538733543, 9780538733540, 803 стр., стр. 222

Рекомендации

• Джеймс, Роберт Кларк; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь. п. 8. ISBN  9780412990410.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Алгебраическое выражение". MathWorld.