Распределительное свойство - Distributive property

«Дистрибутивность» перенаправляется сюда. Не следует путать с Дистрибутивизм.

Визуализация закона распределения для положительных чисел

В математика, то распределительное свойство из бинарные операции обобщает распределительный закон от Булева алгебра и элементарная алгебра. В логика высказываний, распространение относится к двум действительный правила замены. Правила позволяют переформулировать союзы и дизъюнкции в пределах логические доказательства.

Например, в арифметика:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), но 2 / (1 + 3) ≠ (2/1) + (2/3).

В левой части первого уравнения 2 умножает сумму 1 и 3; справа он умножает 1 и 3 по отдельности с последующим добавлением произведений. Поскольку они дают одинаковый окончательный ответ (8), умножение на 2 означает раздавать над сложением 1 и 3, так как можно было положить любое действительные числа вместо 2, 1 и 3 выше, и все еще получили истинное уравнение, умножение реальных чисел распределяет над дополнение реальных чисел.

Определение

Учитывая набор S и два бинарные операторы ∗ и + на S, операция ∗:

является лево-распределительный больше + если, учитывая любые элементы Икс, у и z из S,

${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),}$

является право-распределительный над + если, учитывая любые элементы Икс, у, и z из S,

${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),}$ и

является распределительный над +, если он распределяется слева и справа.^[1]

Обратите внимание, что когда ∗ равно коммутативный, три вышеуказанных условия логически эквивалентный.

Смысл

Операторы, используемые в примерах в этом разделе, являются операторами обычных дополнение (${\displaystyle +}$) и умножение (${\displaystyle \cdot }$).

Если операция обозначена ${\displaystyle \cdot }$ не коммутативна, существует различие между левой и правой дистрибутивностью:

${\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c}$ (лево-распределительный)

${\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c}$ (право-распределительный)

В любом случае, распределительное свойство можно описать словами:

Чтобы умножить сумма (или разница ) множителем каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое ) умножается на этот коэффициент, и полученные результаты складываются (или вычитаются).

Если операция вне скобок (в данном случае умножение) коммутативна, то леводистрибутивность влечет правую дистрибутивность и наоборот, и говорят просто о распределенность.

Одним из примеров операции, которая является "только" право-распределительной, является деление, которое не является коммутативным:

${\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c}$

В этом случае леводистрибутивность не применяется:

${\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}$

Законы распределения входят в число аксиом для кольца (как кольцо целые числа ) и поля (как поле рациональное число ). Здесь умножение является распределительным по сравнению с сложением, но сложение не является распределительным по сравнению с умножением. Примеры структур с двумя операциями, каждая из которых является распределительной по отношению к другой: Булевы алгебры такой как алгебра множеств или алгебра переключения.

Умножение сумм можно выразить словами следующим образом: когда сумма умножается на сумму, умножьте каждое слагаемое суммы на каждое слагаемое другой суммы (отслеживая знаки), затем сложите все полученные результаты.

Примеры

Действительные числа

В следующих примерах использование закона распределения на множестве действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ проиллюстрировано. Когда в элементарной математике упоминается умножение, это обычно относится к такому виду умножения. С точки зрения алгебры действительные числа образуют поле, что обеспечивает выполнение закона распределения.

Первый пример (умножение в уме и письме)

Во время ментальной арифметики распределенность часто используется неосознанно:

${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$

Таким образом, для расчета 6 ⋅ 16 в голове сначала умножается 6 ⋅ 10 и 6 ⋅ 6 и добавляем промежуточные результаты. Письменное умножение также основано на распределительном законе.

Второй пример (с переменными)

${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$

Третий пример (с двумя суммами)

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$

Здесь дважды применялся закон распределения, и не имеет значения, какая скобка умножается первой.

Четвертый пример

Здесь закон распределения применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Рассматривать

${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$

Поскольку фактор ${\displaystyle 6a^{2}b}$ встречается во всех слагаемых, его можно вынести за скобки. То есть в силу закона распределения получаем

${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2})\,.}$

Матрицы

Распределительный закон действует для матричное умножение. Точнее,

${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$

для всех ${\displaystyle l\times m}$-матрицы ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle m\times n}$-матрицы ${\displaystyle C}$, а также

${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$

для всех ${\displaystyle l\times m}$-матрицы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle m\times n}$-матрицы ${\displaystyle B,C}$. Поскольку свойство коммутативности не выполняется для матричного умножения, второй закон не следует из первого закона. В данном случае это два разных закона.

Другие примеры

1. Умножение из порядковые номера, напротив, только лево-распределительный, а не правый-распределительный.
2. В перекрестное произведение является лево- и право-распределительным над векторное сложение, хотя и не коммутативный.
3. В союз комплектов распространяется на пересечение, а пересечение дистрибутивно над объединением.
4. Логическая дизъюнкция ("или") распространяется на логическое соединение ("и"), и наоборот.
5. Для действительные числа (и для любого полностью заказанный набор ) максимальная операция распределяется по минимальной операции, и наоборот: Максимум(а, мин (б, c)) = мин (макс (а, б), Макс(а, c)) и мин (а, Макс(б, c)) = макс (мин (а, б), мин (а, c)).
6. Для целые числа, то наибольший общий делитель распределяется по наименьший общий множитель, и наоборот: gcd (а, lcm (б, c)) = lcm (gcd (а, б), НОД (а, c)) и lcm (а, gcd (б, c)) = gcd (lcm (а, б), lcm (а, c)).
7. Для действительных чисел сложение распределяется по максимальной операции, а также по минимальной операции: а + макс (б, c) = макс (а + б, а + c) и а + мин (б, c) = мин (а + б, а + c).
8. Для биномиальный умножение, распределение иногда называют методом FOIL^[2] (Первые триместры ac, Внешний объявление, Внутренний до н.э, и последний bd) такие как: (а + б) · (c + d) = ac + объявление + до н.э + bd.
9. Полиномиальный умножение дистрибутивно по сравнению с полиномиальным сложением.
10. Комплексное число умножение распределительное: ${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw}$

Логика высказываний

Правило замены

В стандартной логике высказываний с функциональной истинностью распространение^[3][4] в логических доказательствах используется два действительных правила замены расширить отдельные случаи появления определенных логические связки, в некоторых формула, на отдельные применения этих связок между подформулами данной формулы. Правила

${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))}$

и

${\displaystyle (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$

где "${\displaystyle \Leftrightarrow }$", также написано ≡, это металогический символ представление "можно заменить в доказательстве на" или " логически эквивалентный к ".

Функциональные связки истины

Распределительность является свойством некоторых логических связок функционала истинности логика высказываний. Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что дистрибутивность - это свойство определенных связок. Следующие ниже функциональные тавтологии.

Распределение соединения по соединению

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land (P\land R))}$

Распределение соединения по дизъюнкции

${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))}$

Распределение дизъюнкции по конъюнкции

${\displaystyle (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$

Распределение дизъюнкции по дизъюнкции

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor (P\lor R))}$

Распространение импликации

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Распределение импликации по эквивалентности

${\displaystyle (P\to (Q\leftrightarrow R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\leftrightarrow (P\to R))}$:

Распределение импликации по союзу

${\displaystyle (P\to (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\land (P\to R))}$

Распределение дизъюнкции по эквивалентности

${\displaystyle (P\lor (Q\leftrightarrow R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\leftrightarrow (P\lor R))}$

Двойное распределение

${\displaystyle {\begin{aligned}((P\land Q)\lor (R\land S))&\Leftrightarrow (((P\lor R)\land (P\lor S))\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))\\((P\lor Q)\land (R\lor S))&\Leftrightarrow (((P\land R)\lor (P\land S))\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))\end{aligned}}}$

Распределимость и округление

На практике может показаться, что распределительное свойство умножения (и деления) над сложением нарушено или потеряно из-за ограничений арифметическая точность. Например, личность ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 + 1 + 1) / 3 кажется неудачным, если добавление проводится в десятичная арифметика; однако, если многие значащие цифры используются, расчет приведет к более близкому приближению к правильным результатам. Например, если арифметический расчет принимает вид: 0.33333 + 0.33333 + 0.33333 = 0.99999 ≠ 1, этот результат является более приближенным, чем при использовании меньшего количества значащих цифр. Даже когда дробные числа могут быть представлены точно в арифметической форме, будут возникать ошибки, если эти арифметические значения округлены или усечены. Например, покупка двух книг по цене 14,99 фунтов стерлингов перед каждой налог 17,5% в двух отдельных транзакциях фактически сэкономит 0,01 фунта стерлингов по сравнению с их совместной покупкой: £14.99 × 1.175 = £17.61 с точностью до 0,01 фунта стерлингов, что дает общие расходы 35,22 фунта стерлингов, но £29.98 × 1.175 = £35.23. Такие методы как банковское округление в некоторых случаях может помочь, поскольку может повысить используемую точность, но в конечном итоге некоторые ошибки в расчетах неизбежны.

В кольцах и других конструкциях

Распределительность чаще всего встречается в кольца и распределительные решетки.

В кольце есть две бинарные операции, обычно обозначаемые + и ∗, и одно из требований кольца состоит в том, что ∗ должно распределяться по +. Большинство чисел образуют кольца.

А решетка это другой вид алгебраическая структура с двумя бинарными операциями, ∧ и. Если одна из этих операций (скажем, ∧) распределяется по другой (∨), то ∨ также должна распределяться по ∧, и решетка называется распределительной. Смотрите также Дистрибутивность (теория порядка).

А Булева алгебра можно интерпретировать либо как особый вид кольца (a Логическое кольцо ) или специальный вид дистрибутивной решетки (a Логическая решетка ). Каждая интерпретация отвечает за различные законы распределения в булевой алгебре.

Несоблюдение одного из двух законов распределения приводит к близкие к кольцу и ближние поля вместо колец и делительные кольца соответственно. Операции обычно настраиваются так, чтобы распределитель ближнего или ближнего поля располагался справа, но не слева.

Кольца и распределительные решетки - особые виды буровые установки, которые являются обобщениями колец, обладающих свойством дистрибутивности. Например, натуральные числа сформировать буровую установку.

Обобщения

В нескольких областях математики рассматриваются обобщенные законы распределенности. Это может включать в себя ослабление вышеуказанных условий или распространение на бесконечные операции. Особенно в теория порядка можно найти множество важных вариантов распределительности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон распределения; другие определяются в присутствии только один бинарные операции, такие как соответствующие определения и их отношения, приведены в статье дистрибутивность (теория порядка). Это также включает понятие полностью распределительная решетка.

При наличии отношения порядка можно также ослабить указанные выше равенства, заменив = на ≤ или ≥. Естественно, только в некоторых ситуациях это приведет к осмысленным концепциям. Применение этого принципа - понятие субдистрибутивность как объяснено в статье о интервальная арифметика.

В теория категорий, если (S, μ, η) и (S′, μ′, η′) находятся монады на категория C, а распределительный закон S.S′ → S′.S это естественная трансформация λ : S.S′ → S′.S такой, что (S′, λ) это слабая карта монад S → S и (S, λ) это колакс карта монад S′ → S′. Это как раз те данные, которые необходимы для определения структуры монады на S′.S: карта умножения S′μ.μ′S².S′λS и единичная карта η′S.η. Увидеть: закон распределения между монадами.

А обобщенный закон распределения также был предложен в области теория информации.

Антидистрибутивность

Вездесущий идентичность что связывает инверсию с бинарной операцией в любом группа, а именно (ху)⁻¹ = у⁻¹Икс⁻¹, которая принимается как аксиома в более общем контексте полугруппа с инволюцией, иногда называли антираспределительное свойство (инверсии как унарная операция ).^[5]

В контексте близкий к кольцу, который снимает коммутативность аддитивно записанной группы и предполагает только одностороннюю дистрибутивность, можно говорить о (двусторонней) распределительные элементы но также антираспределительные элементы. Последние меняют порядок (некоммутативного) сложения; предполагая левое приближение (то есть такое, которое все элементы распределяют при умножении слева), тогда антираспределительный элемент а при умножении вправо меняет порядок сложения: (Икс + у)а = я + ха.^[6]

При изучении логика высказываний и Булева алгебра, период, термин антираспределительный закон иногда используется для обозначения взаимообмена между соединением и дизъюнкцией, когда над ними действуют факторы импликации:^[7]

• (а ∨ б) ⇒ c ≡ (а ⇒ c) ∧ (б ⇒ c)
• (а ∧ б) ⇒ c ≡ (а ⇒ c) ∨ (б ⇒ c)

Эти двое тавтологии являются прямым следствием двойственности в Законы де Моргана.

Заметки

1. Распределенность двоичных операций из Mathonline
2. Ким Стюард (2011) Умножение многочленов из виртуальной математической лаборатории на Западный Техасский университет A&M
3. Эллиотт Мендельсон (1964) Введение в математическую логику, стр. 21, Компания D. Van Nostrand
4. Альфред Тарский (1941) Введение в логику, стр. 52, Oxford University Press
5. Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике. Springer. п.4. ISBN  978-3-211-82971-4.
6. Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Барирингс: некоторые разработки, связанные с полугруппами и группами. Kluwer Academic Publishers. С. 62 и 67. ISBN  978-1-4613-0267-4.
7. Эрик К.Р. Хенер (1993). Практическая теория программирования. Springer Science & Business Media. п. 230. ISBN  978-1-4419-8596-5.

внешние ссылки

• Демонстрация закона распределения для целочисленной арифметики (от завязать узел )