Существенное значение (правило вывода) - Material implication (rule of inference)

Для использования в других целях см. Материальное значение (значения).

Не путать с Материальный вывод.

В логика высказываний, материальное значение^[1][2] это действительный правило замены что позволяет Условный оператор заменить на дизъюнкция в которой предшествующий является отрицается. Правило гласит, что P влечет Q является логически эквивалентный к не-P или Q и что любая форма может заменить другую в логические доказательства.

${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q}$

Где "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" это металогический символ представляющие "можно заменить в доказательстве на", а P и Q - любые данные заявления.

Формальное обозначение

В материальное значение правило может быть записано в последовательный обозначение:

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg P\lor Q)}$

куда ${\displaystyle \vdash }$ металогический символ, означающий, что ${\displaystyle (\neg P\lor Q)}$ это синтаксическое следствие из ${\displaystyle (P\to Q)}$ в некоторой логической системе;

или в форма правила:

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\neg P\lor Q}}}$

где правило таково: везде, где присутствует "${\displaystyle P\to Q}$"появляется в строке доказательства, его можно заменить на"${\displaystyle \neg P\lor Q}$";

или как утверждение функционала истинности тавтология или же теорема логики высказываний:

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg P\lor Q)}$

куда ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ суждения, выраженные в некоторых формальная система.

Частичное доказательство

Предположим, нам дано, что ${\displaystyle P\to Q}$. Тогда, поскольку мы имеем ${\displaystyle \neg P\lor P}$ посредством закон исключенного среднего, следует (рассуждая по делам), что ${\displaystyle \neg P\lor Q}$.

Предположим, наоборот, нам даны ${\displaystyle \neg P\lor Q}$. Тогда если ${\displaystyle P}$ верно, что исключает первый дизъюнкт, поэтому мы имеем ${\displaystyle Q}$. Короче, ${\displaystyle P\to Q}$^[3]. Однако если ${\displaystyle P}$ ложно, то это следствие не выполняется, потому что первый дизъюнктивный ${\displaystyle \neg P}$ истинно, что не накладывает ограничений на второй дизъюнкт ${\displaystyle Q}$. Следовательно, ничего нельзя сказать о ${\displaystyle P\to Q}$. Таким образом, эквивалентность в случае ложного ${\displaystyle P}$ является только условным, и, следовательно, формальное доказательство эквивалентности является лишь частичным.

Это также можно выразить с помощью таблица истинности:

п	Q	¬P	P → Q	¬P ∨ Q
Т	Т	F	Т	Т
Т	F	F	F	F
F	Т	Т	Т	Т
F	F	Т	Т	Т

Пример

Пример:

Нам дан условный факт, что если это медведь, то он умеет плавать. Затем все 4 возможности в таблице истинности сравниваются с этим фактом.

1-й: Если это медведь, то он умеет плавать - T

2-й: Если это медведь, то он не умеет плавать - F

3-й: Если это не медведь, то он умеет плавать - Т, потому что это не противоречит нашему изначальному факту.

4-й: Если это не медведь, то он не умеет плавать - T (как выше)

Таким образом, условный факт можно преобразовать в ${\displaystyle \neg P\vee Q}$, что означает «это не медведь» или «он умеет плавать», где ${\displaystyle P}$ это утверждение "это медведь" и ${\displaystyle Q}$ это утверждение «он умеет плавать».

Рекомендации

1. Патрик Дж. Херли (1 января 2011 г.). Краткое введение в логику. Cengage Learning. ISBN  0-8400-3417-2.
2. Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл (2005). Введение в логику. Прентис Холл. п.371.
3. Math StackExchange: эквивалентность a → b и ¬ a ∨ b