Логическая эквивалентность - Logical equivalence

В логика и математика, заявления ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ как говорят логически эквивалентный если они доказуемы друг из друга с помощью набора аксиом,^[1] или иметь то же самое значение истины в каждом модель.^[2] Логическая эквивалентность ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ иногда выражается как ${\displaystyle p\equiv q}$, ${\displaystyle p::q}$,^[3] ${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$, или ${\displaystyle p\iff q}$, в зависимости от используемых обозначений. Однако эти символы также используются для материальная эквивалентность, поэтому правильная интерпретация будет зависеть от контекста. Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности, хотя эти два понятия неразрывно связаны.

Логические эквивалентности

В логике существует много общих логических эквивалентностей, которые часто указываются как законы или свойства. В следующих таблицах показаны некоторые из них.

Общие логические эквивалентности^[3]

Эквивалентность	имя
${\displaystyle p\wedge \top \equiv p}$ ${\displaystyle p\vee \bot \equiv p}$	Законы идентичности
${\displaystyle p\vee \top \equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \bot \equiv \bot }$	Законы господства
${\displaystyle p\vee p\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge p\equiv p}$	Законы идемпотентности или тавтологии
${\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p}$	Двойное отрицание закон
${\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}$ ${\displaystyle p\wedge q\equiv q\wedge p}$	Коммутативные законы
${\displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)}$	Ассоциативные законы
${\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)}$ ${\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$	Распределительные законы
${\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}$ ${\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}$	Законы де Моргана
${\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}$	Законы поглощения
${\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }$	Законы отрицания

Логические эквивалентности с использованием условных операторов

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

Логические эквивалентности с участием двусловных

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q}$

Примеры

В логике

Следующие утверждения логически эквивалентны:

1. Если Лиза в Дания, то она в Европа (выписка по форме ${\displaystyle d\implies e}$).
2. Если Лиза не в Европе, значит, она не в Дании (заявление формы ${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$).

Синтаксически (1) и (2) выводятся друг из друга по правилам противопоставление и двойное отрицание. Семантически (1) и (2) верны в одних и тех же моделях (интерпретациях, оценках); а именно те, в которых либо Лиза в Дании ложно или Лиза в европе правда.

(Обратите внимание, что в этом примере классическая логика предполагается. Немного неклассическая логика не считают (1) и (2) логически эквивалентными.)

По математике

В математике два утверждения ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ часто говорят, что они логически эквивалентны, если они доказуемы друг из друга с учетом набора аксиом и предпосылок. Например, заявление "${\displaystyle n}$ делится на 6 "можно рассматривать как эквивалент утверждения"${\displaystyle n}$ делится на 2 и 3 ", так как можно доказать первое из второго (и наоборот), используя некоторые знания из основных теория чисел.^[1]

Отношение к материальной эквивалентности

Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности. Формулы ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ логически эквивалентны тогда и только тогда, когда утверждение об их материальной эквивалентности (${\displaystyle p\iff q}$) - тавтология.^[4]

Материальная эквивалентность ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ (часто пишется как ${\displaystyle p\iff q}$) сам по себе является другим утверждением в том же объектный язык так как ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. Это заявление выражает идею ""${\displaystyle p}$ если и только если ${\displaystyle q}$'". В частности, значение истинности ${\displaystyle p\iff q}$ может меняться от одной модели к другой.

С другой стороны, утверждение, что две формулы логически эквивалентны, является утверждением в метаязык, который выражает связь между двумя операторами ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. Утверждения логически эквивалентны, если в каждой модели они имеют одинаковое значение истинности.

Смотрите также

• Философский портал
• Психологический портал

• Логическое следствие
• Равная удовлетворенность
• Если и только если
• Логическая двусмысленность
• Логическое равенство
• ≡ символ iff (U + 2261 ИДЕНТИЧНО ДЛЯ)
• ∷ то а должен б так как c должен d символ (U + 2237 ПРОПОРЦИЯ)
• ⇔ то двойной удар двусмысленный (U + 21D4 ДВОЙНАЯ СТРЕЛКА ВЛЕВО ВПРАВО)
• ↔ двунаправленная стрелка (U + 2194 СТРЕЛКА ВЛЕВО ВПРАВО)

использованная литература

1. «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - эквивалентное утверждение». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-24.
2. Мендельсон, Эллиотт (1979). Введение в математическую логику (2-е изд.). стр.56.
3. «Математика | Утверждения эквивалентности». Гики. 2015-06-22. Получено 2019-11-24.
4. Копи, Ирвинг; Коэн, Карл; МакМахон, Кеннет (2014). Введение в логику (Новое международное издание). Пирсон. п. 348.