Двойное отрицание - Double negation

Эта статья о логической концепции. О лингвистической концепции см. двойной отрицательный.

В логика высказываний, двойное отрицание это теорема который гласит: «Если утверждение верно, то это не тот случай, когда утверждение неверно». Это выражается в том, что предложение А является логически эквивалентный к не (не-А), или формулой A ≡ ~ (~ A), где знак ≡ выражает логическую эквивалентность, а знак ~ выражает отрицание.^[1]

Словно закон исключенного среднего, этот принцип считается закон мысли в классическая логика,^[2] но это запрещено интуиционистская логика.^[3] Принцип был сформулирован как теорема логика высказываний от Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica так как:

${\displaystyle \mathbf {*4\cdot 13} .\ \ \vdash .\ p\ \equiv \ \thicksim (\thicksim p)}$^[4]

«Это принцип двойного отрицания, т.е. предложение эквивалентно ложности его отрицания ".

Устранение и введение

'Устранение двойного отрицания и введение двойного отрицания два действительный правила замены. Они выводы что если А верно, тогда не не-А правда и его разговаривать, что если не не-А верно, тогда А правда. Правило позволяет ввести или исключить отрицание из формальное доказательство. Правило основано на эквивалентности, например, Неверно, что дождь не идет. и Идет дождь.

В введение двойного отрицания правило:

п ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$п

и исключение двойного отрицания правило:

${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$п ${\displaystyle \Rightarrow }$ п

Куда "${\displaystyle \Rightarrow }$" это металогический символ представляющий «можно заменить в доказательстве на.»

В логике, имеющей оба правила, отрицание инволюция.

Формальное обозначение

В введение двойного отрицания правило может быть записано в последовательный обозначение:

${\displaystyle P\vdash \neg \neg P}$

В исключение двойного отрицания правило можно записать как:

${\displaystyle \neg \neg P\vdash P}$

В форма правила:

${\displaystyle {\frac {P}{\neg \neg P}}}$

и

${\displaystyle {\frac {\neg \neg P}{P}}}$

или как тавтология (простое предложение исчисления высказываний):

${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

и

${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

Их можно объединить в одну двусмысленную формулу:

${\displaystyle \neg \neg P\leftrightarrow P}$.

Поскольку двусловность - это отношение эквивалентности, любой экземпля𠬬А в правильно сформированная формула можно заменить на А, оставив без изменений истинность правильной формулы.

Двойное отрицательное исключение - это теорема классическая логика, но не более слабой логики, такой как интуиционистская логика и минимальная логика. Введение двойного отрицания - это теорема как интуиционистской логики, так и минимальной логики, как и ${\displaystyle \neg \neg \neg A\vdash \neg A}$.

В силу своего конструктивного характера такое утверждение, как Дело не в том, что дождь не идет слабее чем Идет дождь. Последнее требует доказательства дождя, тогда как первое требует просто доказательства того, что дождь не будет противоречивым. Это различие также возникает в естественном языке в форме литоты.

Доказательства

В классической системе исчисления высказываний

В Дедуктивные системы гильберта для логики высказываний двойное отрицание не всегда считается аксиомой (см. список систем Гильберта ), и это скорее теорема. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной А. Ян Лукасевич:

A1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

Воспользуемся леммой ${\displaystyle p\to p}$ доказано Вот, которую мы называем (L1) и пользуемся следующей дополнительной леммой, доказанной Вот:

(L2) ${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

Сначала докажем ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$. Для краткости обозначим ${\displaystyle q\to (r\to q)}$ по φ₀. Мы также неоднократно используем метод гипотетический силлогизм, метатеорема как сокращение для нескольких шагов доказательства.

(1) ${\displaystyle \varphi _{0}}$ (пример (A1))

(2) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})}$ (пример (A3))

(3) ${\displaystyle (\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)}$ (пример (A3))

(4) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)}$ (из (2) и (3) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)

(5) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)}$ (пример (A1))

(6) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)}$ (из (4) и (5) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)

(7) ${\displaystyle \varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)}$ (экземпляр (L2))

(8) ${\displaystyle (\varphi _{0}\to p)\to p}$ (из (1) и (7) по modus ponens)

(9) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$ (из (6) и (8) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)

Теперь докажем ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$.

(1) ${\displaystyle \neg \neg \neg p\to \neg p}$ (пример первой части только что доказанной теоремы)

(2) ${\displaystyle (\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)}$ (пример (A3))

(3) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$ (из (1) и (2) по modus ponens)

И доказательство закончено.

Смотрите также

• Негативный перевод Гёделя – Гентцена

использованная литература

1. Или альтернативный символизм, такой как A ↔ ¬ (¬A) или Клини * 49^о: A ∾ ¬¬A (Kleene 1952: 119; в оригинале Kleene использует удлиненную тильду ∾ для логической эквивалентности, которая здесь аппроксимируется «ленивой S».)
2. Гамильтон обсуждает Гегель в следующем: «В более поздних философских системах универсальность и необходимость аксиомы Разума, наряду с другими логическими законами, оспаривалась и отвергалась спекулянтами об абсолюте. [О принципе двойного отрицания как еще одном законе мышления, см. Фри, Логик, §41, с. 190; Калкер, Denkiehre запах Logic und Dialecktik, §165, с. 453; Бенеке, Lehrbuch der Logic, §64, с. 41.] »(Гамильтон 1860: 68)
3. В ^о формулы Клини * 49^о указывает, что «демонстрация не действительна для обеих систем [классической системы и интуиционистской системы]», Kleene 1952: 101.
4. PM 1952 г. переиздание 2-го издания 1927 г. стр. 101-102, стр. 117.

Список используемой литературы

• Уильям Гамильтон, 1860, Лекции по метафизике и логике, Vol. II. Логика; Под редакцией Генри Манселя и Джона Вейтча, Бостон, Гулд и Линкольн.
• Кристоф Зигварт, 1895, Логика: суждение, концепция и вывод; Издание второе, перевод Хелен Денди, Macmillan & Co. Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини, 1952, Введение в метаматематику, 6-е переиздание с исправлениями 1971 г., North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN  0-7204-2103-9.
• Стивен К. Клини, 1967, Математическая логика, Dover edition 2002, Dover Publications, Inc, Mineola N.Y. ISBN  0-486-42533-9
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, Principia Mathematica до * 56, 2-е издание 1927 г., переиздание 1962 г., Кембридж в University Press.