Транспонирование (логика) - Transposition (logic)

В логика высказываний, транспозиция^[1][2][3] это действительный правило замены что позволяет переключать предшествующий с последующий из Условный оператор в логическое доказательство если они оба отрицается. Это вывод от истины "А подразумевает B"правда" Не-B подразумевает не-А", и наоборот.^[4][5] Это очень тесно связано с правило вывода модус толленс. Это правило:

${\displaystyle (P\to Q)\Leftrightarrow (\neg Q\to \neg P)}$

Где "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" это металогический символ представляющий «можно заменить в доказательстве на.»

Формальное обозначение

В транспозиция правило может быть выражено как последовательный:

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P)}$

куда ${\displaystyle \vdash }$ металогический символ, означающий, что ${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$ это синтаксическое следствие из ${\displaystyle (P\to Q)}$ в некоторой логической системе;

или как правило вывода:

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}}}$

где правило таково, что где бы ни был экземпляр "${\displaystyle P\to Q}$"появляется в строке доказательства, его можно заменить на"${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$";

или как утверждение функционала истинности тавтология или же теорема логики высказываний. Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica в качестве:

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P)}$

куда ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ суждения, выраженные в некоторых формальная система.

Традиционная логика

Форма перестановки

В предполагаемом предложении консеквент является противоречием антецеденту исходного предложения, а антецедент предполагаемого предложения противоречит консеквенту исходного предложения. Символ материальной импликации обозначает предложение как гипотетическое, или форму «если-то», например «если P, то Q».

Двуусловное утверждение правила транспозиции (↔) относится к связи между гипотетическими (→) предложения, где каждое предложение включает предшествующий и последующий термин. С точки зрения логического вывода, для транспонирования или преобразования терминов одного предложения требуется преобразование терминов в предложениях по обе стороны двухусловного отношения. Это означает, что для транспонирования или преобразования (P → Q) в (Q → P) требуется, чтобы другое предложение (~ Q → ~ P) было транспонировано или преобразовано в (~ P → ~ Q). В противном случае преобразование условий одного предложения, а не другого, делает правило недействительным, нарушая достаточное условие и необходимое условие условий предложений, где нарушение состоит в том, что измененное предложение совершает ошибку отрицая антецедент или же подтверждая следствие с помощью незаконных преобразование.

Истинность правила транспонирования зависит от логических соотношений достаточного и необходимого условия.

Достаточное состояние

В предложении «Если P, то Q» наличие «P» является достаточной причиной появления «Q». «P» как индивид или класс материально подразумевает «Q», но отношение «Q» к «P» таково, что обратное утверждение «Если Q, то P» не обязательно имеет достаточное условие. Правило вывода для достаточного условия: modus ponens, что является аргументом в пользу условной импликации:

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): P

Вывод: Следовательно, Q

Необходимое условие

Поскольку обратная посылка (1) неверна, все, что можно сказать об отношениях «P» и «Q», - это то, что в отсутствие «Q» «P» не встречается, что означает, что «Q» является необходимым условием для «P». Правило вывода для необходимого условия: модус толленс:

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): не Q

Вывод: Следовательно, не P

Пример необходимости и достаточности

Примером, традиционно используемым логиками для противопоставления достаточных и необходимых условий, является утверждение «Если есть огонь, значит, кислород присутствует». Кислородная среда необходима для пожара или горения, но просто потому, что она насыщена кислородом, не обязательно означает, что происходит пожар или возгорание. Хотя можно сделать вывод, что огонь обусловливает присутствие кислорода, из присутствия кислорода нельзя сделать вывод обратного утверждения: «Если есть кислород, значит, есть огонь». Все, что можно вывести из первоначального положения, - это то, что «Если нет кислорода, то не может быть огня».

Связь предложений

Символ биконуса («↔») означает, что отношения между предложениями являются необходимыми и достаточными, и вербализуется как «если и только если », или, согласно примеру« Если P, то Q 'тогда и только тогда, когда «если не Q, то не P».

Необходимые и достаточные условия могут быть объяснены по аналогии с точки зрения понятий и правил непосредственного вывода традиционной логики. В категориальном предложении «Все S есть P» субъектный термин «S» называется распределенным, то есть все члены его класса исчерпаны в своем выражении. И наоборот, предикатный термин «P» нельзя сказать, что он распределен или исчерпан в своем выражении, поскольку не определено, является ли каждый экземпляр члена «P» как класса также членом «S» как класса. Все, что можно обоснованно вывести, - это то, что «Некоторые P суть S». Таким образом, утверждение типа «A» «Все P есть S» не может быть выведено путем преобразования из исходного предложения типа «A» «Все S есть P». Все, что можно вывести, - это утверждение типа «A» «Все, что не является P, не является S» (обратите внимание, что (P → Q) и (~ Q → ~ P) оба суждения типа «A»). Грамматически нельзя вывести «все смертные люди» из «Все люди смертны». Утверждение типа «А» может быть немедленно выведено путем преобразования, когда и подлежащее, и сказуемое распределены, как в заключении «Все холостяки - неженатые мужчины» из «Все неженатые мужчины - холостяки».

Транспозиция и метод противопоставления

В традиционная логика рассуждение процесса транспонирования как правило вывода применяется к категоричные предложения через противопоставление и возражение,^[6] серия непосредственных выводов, в которых правило возражения сначала применяется к исходному категориальному предложению «Все S есть P»; что дает лицевую сторону "Нет S не является P". При превращении исходного предложения в предложение типа «Е» оба термина становятся распределенными. Затем лицевую сторону конвертируют, в результате получается «Нет не-P - S», сохраняя распределение обоих терминов. «Нет не-P есть S» снова отменяется, в результате чего получается [контрапозитивное] «Все не-P есть не-S». Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката предполагаемого предложения, это допустимо, чтобы это могло быть исходное подлежащее или его противоречие, и предикатный термин результирующего предложения типа "A" снова нераспределен. Это приводит к двум противоположным позициям, в одном случае предикатный термин распределен, а другой - когда предикатный термин нераспределен .^[7]

Различия между транспозицией и противопоставлением

Обратите внимание, что не следует путать метод транспозиции и противопоставления. Противопоставление - это вид немедленный вывод в котором из данного категориального предложения выводится другое категориальное предложение, имеющее своим субъектом противоречие исходному предикату. Поскольку в определении противопоставления ничего не говорится о предикате выводимого предложения, допустимо, чтобы оно могло быть исходным субъектом или его противоречием. Это противоречит форме предложений транспонирования, которые могут быть материальным подтекстом или гипотетическим утверждением. Разница в том, что в применении к категориальным суждениям результатом противопоставления являются два контрапозитива, каждое из которых является лицевой стороной другого,^[8] т.е. «Никакое не-P не является S» и «Все не-P не-S». Различие между двумя контрапозитивами поглощается и устраняется принципом транспозиции, который предполагает «опосредованные выводы».^[9] противопоставления и также упоминается как «закон противопоставления».^[10]

Транспонирование в математической логике

Видеть Транспонирование (математика), Теория множеств

Доказательства

Предложение	Вывод
${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Данный
${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Материальное значение
${\displaystyle Q\lor \neg P}$	Коммутативность
${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	Материальное значение

В классической системе исчисления высказываний

В Дедуктивные системы гильберта для логики высказываний только одна сторона транспонирования считается аксиомой, а другая - теоремой. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной А. Ян Лукасевич:

A1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A3) уже дает одно из направлений перестановки. С другой стороны, ${\displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )}$, если доказано ниже, используя следующие леммы, доказанные Вот:

(DN1) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$ - Двойное отрицание (Одно направление)

(DN2) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$ - Двойное отрицание (другое направление)

(HS1) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$ - одна форма Гипотетический силлогизм

(HS2) ${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$ - еще одна форма гипотетического силлогизма.

Мы также используем метод гипотетический силлогизм, метатеорема как сокращение для нескольких шагов доказательства.

Доказательство таково:

(1) ${\displaystyle q\to \neg \neg q}$ (экземпляр (DN2))

(2) ${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$ (экземпляр (HS1)

(3) ${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$ (из (1) и (2) по modus ponens)

(4) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$ (экземпляр (DN1))

(5) ${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$ (экземпляр (HS2))

(6) ${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$ (из (4) и (5) по modus ponens)

(7) ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$ (из (3) и (6) с использованием гипотетической метатеоремы силлогизма)

(8) ${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$ (пример (A3))

(9) ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$ (из (7) и (8) с использованием гипотетической метатеоремы силлогизма)

Смотрите также

Противопоставление (традиционная логика)

Силлогизм Термин логика

Рекомендации

1. Херли, Патрик (2011). Краткое введение в логику (11-е изд.). Cengage Learning. п. 414.
2. Copi, Irving M .; Коэн, Карл (2005). Введение в логику. Прентис Холл. п. 371.
3. Мур и Паркер
4. Броды, Бобух А. "Глоссарий логических терминов". Энциклопедия философии. Vol. 5–6, с. 76. Macmillan, 1973.
5. Копи, Ирвинг М. Символическая логика. 5-е изд. Macmillan, 1979. См. Правила замены, стр. 39–40.
6. Стеббинг, 1961, с. 65–66. Относительно начального шага противопоставления как противодействия и преобразования см. Copi, 1953, p. 141.
7. См. Стеббинг, 1961, стр. 65–66. Кроме того, относительно непосредственных выводов возражения, обращения и снова см. Copi, 1953, p. 141.
8. См. Стеббинг, 1961, стр. 66.
9. Для объяснения поглощения возражения и обращения как «опосредованных выводов» см .: Copi, Irving. Символическая логика. С. 171–74, MacMillan, 1979, пятое издание.
10. Приор, А. «Логика, традиционная». Энциклопедия философии, Том 5, Macmillan, 1973.

дальнейшее чтение

• Броды, Бобух А. "Глоссарий логических терминов". Энциклопедия философии. Vol. 5-6, стр. 61. Macmillan, 1973.
• Ирвинг М. Копи; Карл Коэн; Виктор Родыч (9 сентября 2016 г.). Введение в логику. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-1-315-51087-3.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика. MacMillan, 1979, пятое издание.
• Приор, А. «Логика, традиционная». Энциклопедия философии, Vol. 5, Macmillan, 1973.
• Стеббинг, Сьюзен. Современное введение в логику. Харпер, 1961, седьмое издание

внешняя ссылка

• Неправильная транспозиция (Файлы ошибок)