Metalogic - Metalogic - Wikipedia

Metalogic это исследование метатеория из логика. В то время как логика изучает, как логические системы можно использовать для построения действительный и звук аргументы, металогия изучает свойства логических систем.^[1] Логика касается истин, которые можно вывести с помощью логической системы; металогика касается истин, которые могут быть выведены о то языки и системы, которые используются для выражения истины.^[2]

Основными объектами металогического изучения являются формальные языки, формальные системы и их интерпретации. Изучение интерпретации формальных систем - это раздел математическая логика это известно как теория моделей, и изучение дедуктивные системы это ветвь, известная как теория доказательств.

Обзор

Формальный язык

А формальный язык это организованный набор символы, символы которого точно определяют его формой и местом. Таким образом, такой язык может быть определен без ссылка к значения его выражений; он может существовать раньше любого интерпретация присваивается ему, то есть прежде, чем он имеет какое-либо значение. Логика первого порядка выражается на каком-то формальном языке. Формальная грамматика определяет, какие символы и наборы символов формулы на формальном языке.

Формальный язык можно формально определить как набор А строк (конечных последовательностей) на фиксированном алфавите α. Некоторые авторы, в том числе Рудольф Карнап, определим язык как упорядоченную пару <α, А>.^[3] Карнап также требует, чтобы каждый элемент α должен встречаться хотя бы в одной строке в А.

Правила формирования

Правила формирования (также называемый формальная грамматика) являются точным описанием правильные формулы формального языка. Они синонимы набор из струны над алфавит формального языка, которые составляют правильно построенные формулы. Однако он не описывает их семантика (т.е. что они означают).

Формальные системы

А формальная система (также называемый логическое исчисление, или логическая система) состоит из формального языка вместе с дедуктивный аппарат (также называемый дедуктивная система). Дедуктивный аппарат может состоять из набора правила трансформации (также называемый правила вывода) или набор аксиомы или и то, и другое. Формальная система используется для выводить одно выражение из одного или нескольких других выражений.

А формальная система можно формально определить как упорядоченную тройку <α, ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ , ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ d>, где ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ d - отношение прямой выводимости. Это отношение понимается во всеобъемлющем смысл такие, что примитивные предложения формальной системы воспринимаются как непосредственно выводимый от пустой набор предложений. Прямая выводимость - это отношение между предложением и конечным, возможно, пустым набором предложений. Аксиомы выбраны так, что каждый, занявший первое место, ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ d является членом ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ и каждый второй член является конечным подмножеством ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ .

А формальная система также может быть определено только соотношением ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ d. Таким образом, можно опустить ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ и α в определениях интерпретируемый формальный язык, и интерпретируемая формальная система. Однако этот метод сложнее понять и использовать.^[3]

Формальные доказательства

А формальное доказательство представляет собой последовательность правильно построенных формул формального языка, последняя из которых является теорема формальной системы. Теорема является синтаксическое следствие всех правильно составленных формул, предшествующих ему в системе доказательства. Чтобы правильно сформированная формула могла считаться частью доказательства, она должна быть результатом применения правила дедуктивного аппарата некоторой формальной системы к предыдущим хорошо сформированным формулам в последовательности доказательств.

Интерпретации

An интерпретация формальной системы - это присвоение значений символам и истинные ценности предложениям формальной системы. Изучение интерпретаций называется Формальная семантика. Давать интерпретацию является синонимом строительство модель.

Важные отличия

Метаязык – объектный язык

В металогике формальные языки иногда называют объектные языки. Язык, используемый для утверждений об объектном языке, называется метаязык. Это различие - ключевое различие между логикой и металогикой. Хотя логика имеет дело с доказательства в формальной системе, выраженная каким-то формальным языком, металогика имеет дело с доказательства о формальной системе которые выражаются в метаязыке о некотором объектном языке.

Синтаксис – семантика

В металогике «синтаксис» имеет отношение к формальным языкам или формальным системам безотносительно к их интерпретации, тогда как «семантика» имеет отношение к интерпретациям формальных языков. Термин «синтаксический» имеет немного более широкую область применения, чем «теоретическое доказательство», поскольку он может применяться к свойствам формальных языков без каких-либо дедуктивных систем, а также к формальным системам. «Семантический» синоним «теоретико-модельного».

Использование – упоминание

В металогике слова «использовать» и «упоминать», как в форме существительного, так и в форме глагола, приобретают технический смысл, чтобы обозначить важное различие.^[2] В использование – упоминание различия (иногда называемый слова как слова различие) - это различие между с помощью слово (или фразу) и упоминание Это. Обычно указывается, что выражение упоминается, а не используется, заключая его в кавычки, выводя курсивом или задавая само выражение в строке. Заключение выражения в кавычки дает нам имя выражения, например:

«Metalogic» - это название этой статьи.

Эта статья о металогике.

Тип – токен

В различие типа-токена - это различие в металогике, которое отделяет абстрактное понятие от объектов, которые являются частными экземплярами этого понятия. Например, конкретный велосипед в вашем гараже является знаком тип вещи, известной как «Велосипед». Принимая во внимание, что велосипед в вашем гараже находится в определенном месте в определенное время, это не относится к слову «велосипед», используемому в предложении: «Велосипед стал более популярным в последнее время ». Это различие используется для разъяснения значения символы из формальные языки.

История

Металогические вопросы задавались со времен Аристотель.^[4]^[5]Однако только с появлением формальных языков в конце 19 - начале 20 века исследования основ логики начали процветать.^[4]^[6] В 1904 г. Дэвид Гильберт заметил, что при исследовании основы математики что предполагается наличие логических понятий, и поэтому одновременное рассмотрение металогических и метаматематический принципов требовалось. Сегодня металогия и метаматематика в значительной степени синонимичны друг другу, и обе они были существенно включены в математическая логика в академических кругах. Возможная альтернативная, менее математическая модель может быть найдена в трудах Чарльз Сандерс Пирс и другие семиотики.

Полученные результаты

Результаты в металогике состоят из таких вещей, как формальные доказательства демонстрируя последовательность, полнота, и разрешимость особого формальные системы.

Основные результаты в металогике включают:

Доказательство несчетности степенного множества натуральных чисел (Теорема кантора 1891)
Теорема Лёвенгейма – Сколема (Леопольд Левенхайм 1915 и Торальф Сколем 1919)
Доказательство непротиворечивости функционала истинности логика высказываний (Эмиль Пост 1920)
Доказательство семантической полноты истинностно-функциональной логики высказываний (Пол Бернейс 1918),^[7] (Эмиль Пост 1920)^[2]
Доказательство синтаксической полноты истинностно-функциональной пропозициональной логики (Эмиль Пост, 1920)^[2]
Доказательство разрешимости истинностно-функциональной логики высказываний (Эмиль Пост, 1920)^[2]
Доказательство согласованности первого порядка монадическая логика предикатов (Леопольд Левенхайм 1915)
Доказательство семантической полноты монадической логики предикатов первого порядка (Леопольд Левенхайм, 1915)
Доказательство разрешимости монадической логики предикатов первого порядка (Леопольд Левенхайм, 1915)
Доказательство непротиворечивости логики предикатов первого порядка (Дэвид Гильберт и Вильгельм Аккерманн 1928)
Доказательство семантической полноты первого порядка логика предикатов (Теорема Гёделя о полноте 1930)
Доказательство теорема исключения сечения для последовательное исчисление (Генцен Хаупцац 1934)
Доказательство неразрешимости логики предикатов первого порядка (Теорема Черча 1936)
Первая теорема Гёделя о неполноте 1931
Вторая теорема Гёделя о неполноте 1931
Теорема Тарского о неопределенности (Гедель и Тарский в 1930-е годы)

Смотрите также

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Metalogic в Wikimedia Commons
Драгалин, А.Г. (2001) [1994], «Мета-логика», Энциклопедия математики, EMS Press

[1] Гарри Генслер, Введение в логику, Рутледж, 2001, стр. 336.

[metalogic-2] а ^б ^c ^d ^е Хантер, Джеффри, Металогика: введение в метатеорию стандартной логики первого порядка, Калифорнийский университет Press, 1973

[itslaia-3] а ^б Рудольф Карнап (1958) Введение в символическую логику и ее приложения, п. 102.

[wolfram_writings-4] а ^б Логика, объяснимость и будущее понимания. Writings.stephenwolfram.com.

[NKS_note_d-5] Новый вид науки [1]

[NKS_note_c-6] Новый вид науки [2]

[reflections-7] Хао Ван, Размышления о Курте Гёделе

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]