Гипотетический силлогизм - Hypothetical syllogism

В классическая логика, гипотетический силлогизм это действительный форма аргумента который является силлогизм иметь Условный оператор для одного или обоих предпосылки.

Пример в английский:

Если я не просыпаюсь, то не могу пойти на работу.

Если я не могу пойти на работу, мне не будут платить.

Следовательно, если я не проснусь, то мне не заплатят.

Термин возник с Теофраст.^[1]

Логика высказываний

В логика высказываний, гипотетический силлогизм это имя действительного правило вывода (часто сокращенно HS а иногда также называют цепной аргумент, Правило цепи, или принцип транзитивность импликации). Гипотетический силлогизм - одно из правил в классическая логика это не всегда принимается в некоторых системы из неклассическая логика.^{[пример необходим ]} Правило может быть указано:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}$

где правило таково: всякий раз, когда экземпляры "${\displaystyle P\to Q}$", и "${\displaystyle Q\to R}$"появляются в строках доказательство, "${\displaystyle P\to R}$"можно разместить на следующей строке.

Гипотетический силлогизм тесно связан и похож на дизъюнктивный силлогизм, в том смысле, что это также тип силлогизма, а также название правила вывода.

Формальное обозначение

В гипотетический силлогизм правило вывода может быть записано в последовательный обозначение, которое составляет специализацию правила сокращения:

${\displaystyle {\frac {P\vdash Q\quad Q\vdash R}{P\vdash R}}}$

где ${\displaystyle \vdash }$ это металогический символ и ${\displaystyle A\vdash B}$ означающий, что ${\displaystyle B}$ это синтаксическое следствие из ${\displaystyle A}$ в некоторых логическая система;

и выражается как функционал истины тавтология или теорема из логика высказываний:

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)}$

где ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, и ${\displaystyle R}$ суждения, выраженные в некоторых формальная система.

Доказательство

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)}$	Данный
2	${\displaystyle (\neg P\lor Q)\land (\neg Q\lor R)}$	Материальное значение
3	${\displaystyle ((\neg P\lor Q)\land \neg Q)\lor ((\neg P\lor Q)\land R)}$	Распределительность
4	${\displaystyle ((\neg P\lor Q)\land \neg Q)\lor R}$	Устранение конъюнкции (3)
5	${\displaystyle ((\neg P\land \neg Q)\lor (Q\land \neg Q))\lor R}$	Распределительность
6	${\displaystyle \neg (Q\land \neg Q)}$	Закон непротиворечивости
7	${\displaystyle (\neg P\land \neg Q)\lor R}$	Дизъюнктивный силлогизм (5,6)
8	${\displaystyle \neg P\lor R}$	Устранение конъюнкции (7)
9	${\displaystyle P\to R}$	Материальное значение

Альтернативные формы

Альтернативная форма гипотетического силлогизма, более полезная для классические системы исчисления высказываний с импликацией и отрицанием (то есть без символа соединения), это следующее:

(HS1) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Еще одна форма:

(HS2) ${\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}$

Доказательство

Пример доказательства этих теорем в таких системах приведен ниже. Мы используем две из трех аксиом, используемых в одна из популярных систем описанный Ян Лукасевич Доказательства опираются на две из трех аксиом этой системы:

(A1) ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A2) ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

Доказательство (HS1) выглядит следующим образом:

(1) ${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$ (пример (A1))

(2) ${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$ (пример (A2))

(3) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$ (из (1) и (2) по modus ponens )

(4) ${\displaystyle ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$ (пример (A2))

(5) ${\displaystyle ((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$ (из (3) и (4) по modus ponens )

(6) ${\displaystyle (q\to r)\to (p\to (q\to r))}$ (пример (A1))

(7) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$ (из (5) и (6) по modus ponens )

Доказательство (HS2) дано Вот.

Как метатеорема

Если у нас есть две теоремы вида ${\displaystyle T_{1}=(Q\to R)}$ и ${\displaystyle T_{2}=(P\to Q)}$, мы можем доказать ${\displaystyle (P\to R)}$ по следующим шагам:

(1) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))}$ (пример доказанной теоремы)

(2) ${\displaystyle Q\to R}$ (экземпляр (T1))

(3) ${\displaystyle (P\to Q)\to (P\to R)}$ (из (1) и (2) по modus ponens)

(4) ${\displaystyle P\to Q}$ (экземпляр (T2))

(5) ${\displaystyle P\to R}$ (из (3) и (4) по modus ponens)

Смотрите также

• Modus ponens
• Modus tollens
• Утверждая следствие
• Отрицание антецедента
• Переходное отношение

Рекомендации

1. "История логики: Теофраст Эресский" в Британская энциклопедия онлайн.

внешняя ссылка

• Индекс философии: гипотетический силлогизм