Материал условный - Material conditional

«Логическое условное» перенаправляет сюда. Для других связанных значений см. Условный оператор.

Не путать с Материальный вывод.

Материал условный

ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ
Определение	${\displaystyle x\rightarrow y}$
Таблица истинности	${\displaystyle (1011)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный	${\displaystyle {\overline {x}}+y}$
Конъюнктивный	${\displaystyle {\overline {x}}+y}$
Полином Жегалкина	${\displaystyle 1\oplus x\oplus xy}$
Решетки столба
0-сохранение	нет
1-консервирующий	да
Монотонный	нет
Аффинный	нет

В материальный условный (также известен как материальное значение, материальные последствия, или просто значение, подразумевает, или условный) это логическая связка (или бинарный оператор ), что часто обозначается стрелкой вперед «→».^[1] Условный материал используется для формирования заявления формы п → q (названный Условный оператор), которое читается как "если п тогда q". В отличие от английского строительство «если… то…», существенное условное заявление п → q обычно не указывает причинно-следственная связь между п и q; "п это причина и q является следствием этого "не является общепринятым интерпретация из п → q. Это просто означает "если п верно тогда q также верно", так что оператор п → q ложно только когда п правда и q ложно.^[2] В двухвалентный таблица истинности п → q, если п тогда ложно п → q верно, независимо от того, q верно или неверно (латинская фраза: ex falso quodlibet ) поскольку (1) п → q всегда верно, пока q верно, и (2) п → q верно, когда оба п и q ложны. Эта таблица истинности полезна при доказательстве некоторых математических теорем (например, определения подмножество ).

Материальное условное обозначение также обозначается с помощью:

1. п ⊃ q (хотя этот символ может использоваться для символа расширенного набора в теория множеств );
2. п ⇒ q^[3] (хотя этот символ часто используется для логическое следствие, т.е. логическое следствие, а не материальное условное);
3. Cpq (с помощью Обозначение Лукасевича или Обозначение Бохенского ).

Что касается приведенных выше материальных условий:

• п называется предшествующий условного;
• q называется последующий условного.

Условные утверждения могут быть вложенными так, что один или оба антецедента или консеквента сами могут быть условными операторами. В примере (п → q) → (р → s), что означает "если правда п подразумевает истину q, то правда о р подразумевает истину s", как антецедент, так и последствие являются условными операторами.

В классическая логика, п → q является логически эквивалентный к ¬(п ∧ ¬q) и, по Закон де Моргана, логически эквивалентно ¬п ∨ q.^[3][4] Тогда как в минимальная логика (а значит, и интуиционистская логика), п → q только логически влечет ¬(п ∧ ¬q); И в интуиционистская логика (но не минимальная логика), ¬п ∨ q влечет за собой п → q.

Определения

У логиков есть много разных взглядов на природу материального значения и подходов к объяснению его смысла.^[5]

Как функция истины

Состав п → q является ложный если и только если п правда и q ложно. Тем же ходом п → q является правда если и только если либо п ложно или q верно (или оба). Символ → - это функция, которая использует пары ценности истины компонентов п, q (например., п True, q True ... p False, q False) и сопоставляет его со значениями истинности соединения п → q. Истинная ценность п → q является функцией значений истинности его компонентов (р, д). Следовательно, эта интерпретация называется истинно-функциональный.

Состав п → q также логически эквивалентен ¬п ∨ q (либо нет п, или q (или оба)),^[3] и чтобы ¬q → ¬п (если не q тогда не п). Однако это не эквивалентно ¬п → ¬q, что вместо этого эквивалентно q → п.

Таблица истинности

В таблица истинности связанный с материальным условным п→q идентичен тому из ¬п∨q. Это выглядит следующим образом:^[3]

п q п → q Т Т Т Т F F F Т Т F F Т

В Булева алгебра, true и false можно обозначить соответственно как 1 и 0^[1] с эквивалентной таблицей.

Как формальная связка

Материальную условность можно рассматривать как символ формальная теория, взятый как набор предложений, удовлетворяющих всем классическим выводам, включающим →, в частности, следующим характерным правилам:

1. Modus ponens;
2. Условное доказательство;
3. Классическое противопоставление;
4. Классическое сокращение до абсурда.

В отличие от подхода, основанного на функции истинности, этот подход к логическим связкам позволяет исследовать структурно идентичные пропозициональные формы в различных логические системы, где могут быть продемонстрированы несколько иные свойства. Например, в интуиционистская логика, который отвергает доказательства противопоставлением как действительные правила вывода, (п → q) ⇒ ¬п ∨ q не пропозициональная теорема, но материальное условие используется для определения отрицания.

Естественный язык

"Это не тот случай, когда ${\displaystyle P}$ правда, ${\displaystyle Q}$ не будет правдой ".

"Невозможно ${\displaystyle P}$ без ${\displaystyle Q}$. «Слово« без »означает не« из-за отсутствия », а« в отсутствие следствия ».

Формальные свойства

При формальном изучении логики материальное условное условие отличается от семантическое следствие связь ${\displaystyle \models }$ (также известный как следствие).^[1] По определению, ${\displaystyle A\models B}$ если каждая интерпретация, которая делает А правда также делает B правда. Однако между ними существует тесная взаимосвязь в большинстве логических схем, включая классическая логика. Например, верны следующие принципы:

• Если ${\displaystyle \Gamma \models \psi }$ тогда ${\displaystyle \varnothing \models (\varphi _{1}\land \dots \land \varphi _{n}\rightarrow \psi )}$ для некоторых ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\in \Gamma }$. (Это особая форма теорема дедукции. На словах это говорит, что если Γ моделирует ψ это значит, что ψ можно вывести только из некоторого подмножества теорем в Γ.)
• Обратное вышеизложенному
• И то и другое ${\displaystyle \rightarrow }$ и ${\displaystyle \models }$ находятся монотонный; т.е. если ${\displaystyle \Gamma \models \psi }$ тогда ${\displaystyle \Delta \cup \Gamma \models \psi }$, и если ${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$ тогда ${\displaystyle (\varphi \land \alpha )\rightarrow \psi }$ для любого α, Δ. (С точки зрения структурных правил это часто называют ослабление или прореживание.)

Однако эти принципы соблюдаются не во всех логиках. Очевидно, они не выдерживают немонотонная логика, и они не держатся логика релевантности.

Другие свойства импликации (следующие выражения всегда верны для любых логических значений переменных):

• Распределительность: ${\displaystyle (s\rightarrow (p\rightarrow q))\rightarrow ((s\rightarrow p)\rightarrow (s\rightarrow q))}$
• Транзитивность: ${\displaystyle ((a\rightarrow b)\rightarrow (b\rightarrow c))\rightarrow (a\rightarrow c)}$
• Рефлексивность: ${\displaystyle a\rightarrow a}$
• Тотальность: ${\displaystyle (a\rightarrow b)\vee (b\rightarrow a)}$
• Сохранение истины: Интерпретация, при которой всем переменным присваивается значение истинности «истина», дает значение истинности «истина» в результате материальной импликации.
• Коммутативность антецедентов: ${\displaystyle (a\rightarrow (b\rightarrow c))\equiv (b\rightarrow (a\rightarrow c))}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle a\rightarrow (b\rightarrow c)}$ является логически эквивалентный к ${\displaystyle (a\land b)\rightarrow c}$; это свойство иногда называют un / currying. Благодаря этим свойствам удобно использовать правоассоциативный обозначение для →, где ${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c}$ обозначает ${\displaystyle a\rightarrow (b\rightarrow c)}$.

Сравнение булевых таблиц истинности показывает, что ${\displaystyle a\rightarrow b}$ эквивалентно ${\displaystyle \neg a\lor b}$, и одно является эквивалентной заменой другого в классической логике. Увидеть материальное значение (правило вывода).

Философские проблемы с материальным условием

За пределами математики есть некоторые разногласия относительно того, функция истины для материальное значение обеспечивает адекватную обработку условных утверждений в естественный язык например, английский, т.е. ориентировочные условия и контрфактические условия.^{[нужна цитата ]} Контрфактуальное условие - это условие со специальной морфологической маркировкой, которая указывает на то, что говорящий считает антецедент невозможным или маловероятным.^[6] Изобразительное условное выражение - это условное предложение, которое не имеет такой специальной пометки и, таким образом, означает, что говорящий рассматривает его антецедент как живую возможность.^[7] Другими словами, критики утверждают, что в некоторых нематематических случаях значение истинности составного утверждения, "если п тогда q", не определяется адекватно истинностными значениями п и q.^[7] Примеры функциональных заявлений, не отвечающих истине, включают: "q потому что п", "п перед q"и" возможно, что п".^[7]

"[Из] шестнадцати возможных истинностных функций А и B, материальные последствия - единственный серьезный кандидат. Во-первых, это бесспорный, что когда А правда и B ложно, "Если А, B"ложно. Основное правило вывода: modus ponens: from "Если А, B" и А, мы можем сделать вывод B. Если бы можно было А правда, B false и "Если А, B«Правда, этот вывод будет недействительным. Во-вторых, это бесспорный, что» если А, B"иногда верно, когда А и B являются соответственно (истина, истина), или (ложь, истина), или (ложь, ложь) ... Неисправные функциональные аккаунты соглашаются, что «Если А, B"ложно, когда А правда и B ложно; и они согласны с тем, что условное выражение иногда верно для трех других комбинаций истинностных значений компонентов; но они отрицают, что условие всегда верно в каждом из этих трех случаев. Некоторые соглашаются с функционалистом истины в том, что когда А и B оба верны, "Если А, B"должно быть правдой. Некоторые не верят, требуя дальнейшего соотношения между фактами, которые А и это B."^[7]

Функциональная истинностная теория условного выражения была неотъемлемой частью Frege новая логика (1879). Его с энтузиазмом восприняли Рассел (который назвал это «материальным подтекстом»), Витгенштейн в Tractatus, а логические позитивисты, и теперь он присутствует в каждом логическом тексте. Это первая теория условных выражений, с которой сталкиваются студенты. Как правило, это не кажется студентам очевидно правильный. Это первая неожиданность логики. Тем не менее, как свидетельствуют учебники, во многих случаях он выполняет похвальную работу. И у него много защитников. Это поразительно простая теория: «Если А, B"ложно, когда А правда и B ложно. Во всех остальных случаях "Если А, B"верно. Таким образом, это эквивалентно" ~ (А&~B) "и" ~А или B". "А ⊃ B"имеет, согласно оговорке, эти условия истинности.

— Дороти Эджингтон, Стэнфордская энциклопедия философии, "Условные выражения"^[7]

Значение материального условного выражения иногда может использоваться в английском языке "if состояние тогда следствие"строительство (вид условное предложение ), где состояние и следствие должны быть заполнены предложениями на английском языке. Однако эта конструкция подразумевает и «разумную» связь между условием (протазис ) и следствие (аподозис ) (увидеть Связная логика ).^{[нужна цитата ]}

Материальное условное выражение может дать некоторые неожиданные истины, если оно выражено на естественном языке. Например, любое существенное условное утверждение с ложным антецедентом истинно (см. пустая правда ). Таким образом, утверждение «если 2 нечетно, то 2 четно» верно. Точно так же любое материальное условие с истинным следствием истинно. Так что утверждение «если у меня в кармане пенни, значит, Париж во Франции» всегда верно, независимо от того, есть ли в моем кармане пенни или нет. Эти проблемы известны как парадоксы материального подтекста, хотя на самом деле это не парадоксы в строгом смысле слова; то есть они не вызывают логических противоречий. Эти неожиданные истины возникают из-за соблазна говорящих на английском (и других естественных языках) двусмысленно между материальным условием и ориентировочный условный, или другие условные выражения, такие как контрфактический условный и материал бикондиционный.

Неудивительно, что строго определенный функциональный оператор истинности не соответствует в точности всем понятиям импликации или иным образом выражается предложениями типа «если… то…» в естественных языках. Для обзора некоторых различных анализов (формального и неформального) условных выражений см. § Использованная литература ниже. Логика релевантности пытается уловить эти альтернативные концепции импликации, которые маскируются материальной импликацией.

Смотрите также

• Логический домен
• Логическая функция
• Логическая логика
• Условный квантификатор
• Импликационное исчисление высказываний
• Законы формы
• Логический график
• Логическая эквивалентность
• Закон Пирса
• Исчисление высказываний
• Единственный достаточный оператор

Условные

• Контрфактическая условная
• Ориентировочная условная
• Соответствующее условное
• Строгое условное

использованная литература

1. «Исчерпывающий список логических символов». Математическое хранилище. 2020-04-06. Получено 2020-09-03.
2. Магнус, П.Д. (6 января 2012 г.). "forallx: Введение в формальную логику" (PDF). Creative Commons. п. 25. Получено 28 мая 2013.
3. Вайсштейн, Эрик В. "Подразумевает". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-03.
4. Теллер, Пол (10 января 1989 г.). "Учебник по современной формальной логике: том 1 логики предложений" (PDF). Прентис Холл. п. 54. Получено 28 мая 2013.
5. Кларк, Мэтью С. (март 1996 г.). «Сравнение методов введения существенных последствий». Корнелл Университет. Получено 4 марта, 2012.
6. Контрфактуалы также часто называют сослагательные наклонения хотя этот термин признан неверным в применении к английскому языку. В английских условных выражениях такого типа не используются сослагательное наклонение. См. Palmer (1986), Dancygier & Sweetswer (1996), Iatridou (2000), Karawani (2014), Romero (2014), Mackay (2015) и др.
7. Эджингтон, Дороти (2008). Эдвард Н. Залта (ред.). «Условные». Стэнфордская энциклопедия философии (Зима 2008 г.).

дальнейшее чтение

• Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булевы рассуждения: логика булевых уравнений, 1-е издание, Kluwer Академические издательства, Norwell, Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк, 2003.
• Эджингтон, Дороти (2001), «Условные», в Лу Гобле (ред.), Руководство Блэквелла по философской логике, Блэквелл.
• Куайн, W.V. (1982), Методы логики, (1-е изд. 1950), (2-е изд. 1959), (3-е изд. 1972 г.), 4-е издание, Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс.
• Стальнакер, Роберт, "Ориентировочные условные обозначения", Философия, 5 (1975): 269–286.

внешние ссылки

• СМИ, связанные с Материал условный в Wikimedia Commons
• Эджингтон, Дороти. «Условные». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.