Ложь (логика) - False (logic)

Смотрите также: Ложь

В логика, ложный или же неправда это состояние обладания отрицательным значение истины или нулевой логическая связка. В истинно-функциональный система логики высказываний, это одна из двух постулируемых ценности истины вместе с его отрицание, правда.^[1] Обычные обозначения ложного 0 (особенно в Логическая логика и Информатика ), O (в префиксная запись, Opq), а вверх галс символ${\displaystyle \bot }$.^[2][3][4]

Другой подход используется для нескольких формальные теории (например., интуиционистское исчисление высказываний ), где пропозициональная константа (т. е. нулевая связка),${\displaystyle \bot }$, значение истинности которого всегда ложно в указанном выше смысле.^[5][6][7] Это утверждение можно рассматривать как абсурдное, и его часто называют абсурдом.

В классической логике и булевой логике

В Логическая логика, каждая переменная обозначает значение истины которое может быть либо истинным (1), либо ложным (0).

В классический пропозициональное исчисление, каждый предложение будет присвоено значение истинности либо истина, либо ложь. Некоторые системы классической логики включают специальные символы для ложных (0 или ${\displaystyle \bot }$),^[2] в то время как другие вместо этого полагаются на такие формулы, как п ∧ ¬п и ¬(п → п).

И в булевой логике, и в классической логической системе истина и ложь противоположны по отношению к отрицание; отрицание ложного дает истину, а отрицание истины дает ложь.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \neg x}$
истинный	ложный
ложный	истинный

Отрицание ложного эквивалентно истине не только в классической логике и булевой логике, но и в большинстве других логических систем, как объясняется ниже.

Ложь, отрицание и противоречие

В большинстве логических систем отрицание, материальный условный и false связаны как:

¬п ⇔ (п → ⊥)

Фактически, это определение отрицания в некоторых системах,^[8] Такие как интуиционистская логика, и может быть доказано в исчислении высказываний, где отрицание является фундаментальной связкой. Потому что п → п обычно является теоремой или аксиомой, следствием этого является то, что отрицание ложного (¬ ⊥) правда.

А противоречие это ситуация, которая возникает, когда утверждение что предполагается истинным, показано влекут за собой ложь (т.е. φ ⊢ ⊥). Используя указанную выше эквивалентность, факт противоречия φ может быть выведен, например, из ⊢ ¬φ. Утверждение, которое само по себе влечет за собой ложь, иногда называют противоречием, а противоречия и ложь иногда не различают, особенно из-за латинский срок ложь используется в английском языке для обозначения того и другого, но ложь - это одна конкретная предложение.

Логические системы могут содержать или не содержать принцип взрыва (ex falso quodlibet в латинский ), ⊥ ⊢ φ для всех φ. По этому принципу противоречия и ложь эквивалентны, поскольку одно влечет за собой другое.

Последовательность

Основная статья: Последовательность

А формальная теория с использованием "${\displaystyle \bot }$"связка определяется как непротиворечивая тогда и только тогда, когда ложь не входит в число ее теоремы. В отсутствие пропозициональные константы^{[необходимо разрешение неоднозначности ]}, некоторые заменители (например, описано выше ) может использоваться вместо этого для определения согласованности.

Смотрите также

• Противоречие
• Логическая правда
• Тавтология (логика) (для символики логической истины)
• Таблица истинности

Рекомендации

1. Дженнифер Фишер, О философии логики, Томсон Уодсворт, 2007, ISBN  0-495-00888-5, п. 17.
2. «Исчерпывающий список логических символов». Математическое хранилище. 2020-04-06. Получено 2020-08-15.
3. Уиллард Ван Орман Куайн, Методы логики, 4-е изд., Издательство Гарвардского университета, 1982 г., ISBN  0-674-57176-2, п. 34.
4. "Правдивость | логика". Энциклопедия Британника. Получено 2020-08-15.
5. Джордж Эдвард Хьюз и Д. Лондей, Элементы формальной логики, Метуэн, 1965 г., п. 151.
6. Леон Хорстен и Ричард Петтигрю, Континуум, компаньон философской логики, Международная издательская группа Continuum, 2011 г., ISBN  1-4411-5423-X, п. 199.
7. Грэм Прист, Введение в неклассическую логику: от если к есть, 2-е изд., Cambridge University Press, 2008 г., ISBN  0-521-85433-4, п. 105.
8. Дов М. Габбай и Франц Гентнер (редакторы), Справочник по философской логике, том 6, 2-е изд., Springer, 2002 г., ISBN  1-4020-0583-0, п. 12.