Парадоксы материального подтекста - Paradoxes of material implication - Wikipedia

В парадоксы материального подтекста группа формулы это правда классическая логика но интуитивно проблематичны.

Корень парадоксы заключается в несоответствии толкования действительности логическое следствие на естественном языке и его формальном интерпретация в классической логике, восходящей к Джордж Буль Алгебраическая логика. В классической логике значение описывает условные операторы if-then с использованием истинно-функциональный интерпретация, т.е. «p подразумевает q» определяется как «это не тот случай, когда p истинно, а q ложно». Кроме того, «p подразумевает q» эквивалентно «p ложно или q истинно». Например, «если идет дождь, я принесу зонт» эквивалентно «сейчас не идет дождь, или я принесу зонтик, или и то, и другое». Эта функциональная интерпретация импликации называется материальной импликацией или материальной условностью.

Парадоксы - это логические утверждения, которые верны, но истина которых интуитивно удивляет людей, которые с ними не знакомы. Если термины «p», «q» и «r» означают произвольные предложения то формально основные парадоксы выражаются следующим образом:

1. Все они эквивалентны ${\displaystyle (p\lor \neg p)\lor q}$:
   1. ${\displaystyle (\neg p\land p)\to q}$, p и его отрицание подразумевают q. Это парадокс следствия.
   2. ${\displaystyle \neg p\to (p\to q)}$ или же ${\displaystyle p\to (q\lor p)}$, если p ложно, то оно влечет каждое q, и в этом случае утверждение ${\displaystyle p\to q}$ как говорят пусто правда; или если p истинно, то оно подразумевает себя или каждое q, поскольку ${\displaystyle p\to p}$ эквивалентно ${\displaystyle p\lor \neg p}$. Это называется «взрывом».
2. ${\displaystyle p\to (q\to p)}$ [${\displaystyle \neg p\lor (\neg q\lor p)}$], если p истинно, то оно подразумевается каждым q. Другими словами, Напрашивается вопрос основан на парадоксе. По аналогии с ${\displaystyle \neg p\to (p\to q)}$ будучи упомянутым как «взрыв», это могло бы быть упомянуто как «имплозия». В этих случаях заявление ${\displaystyle q\to p}$ как говорят пусто правда.
3. ${\displaystyle p\to q,\;p/\neg q\;\;\vdash \ p\to (q\lor r)[p\to (\neg q\to r)]}$ {${\displaystyle ((p\to q)\land p/\neg q)\to (p\to (q\lor r)[p\to (\neg q\to r)])}$}, p влечет q, поэтому альтернативно может означать любое r, не эквивалентное q. Поскольку r может быть p или отрицанием p или q, можно вывести парадокс из прямого вывода.
   1. ${\displaystyle p\to (q\lor \neg q)}$ [${\displaystyle \neg p\lor (q\lor \neg q)}$], либо q, либо его отрицание истинно, поэтому их дизъюнкция подразумевается каждым p; и его расширение ${\displaystyle (p\to [q\lor r])\lor (q\to r)}$ [${\displaystyle (\neg p\lor [q\lor r])\lor (\neg q\lor r)}$], если p, q и r - три произвольных предложения, то либо p влечет либо q, либо r, либо q влечет r; или, что то же самое, либо q, либо его отрицание влечет r. Это потому, что если q истинно, то p подразумевает это, а если ложно, то q подразумевает любое другое утверждение. Поскольку r может быть p, отсюда следует, что при двух произвольных предложениях одно должно подразумевать другое, даже если они взаимно противоречат друг другу, другими словами, принцип тотальности для материального значения является парадоксом. Например, «Надя в Барселоне» подразумевает, что Надя в Мадриде, или «Надя в Мадриде» подразумевает, что Надя в Барселоне ». Этот трюизм звучит как чепуха в обычном дискурсе.
4. ${\displaystyle \neg (p\to q)\to (p\land \neg q)}$ [${\displaystyle (\neg p\lor q)\lor (p\land \neg q)}$], если из p не следует q, то p истинно, а q ложно. NB, если p было ложным, то это означало бы q, поэтому p истинно. Если бы q также было истинным, то p означало бы q, следовательно, q ложно. Этот парадокс особенно удивителен, потому что он говорит нам, что если одно предложение не подразумевает другого, то первое истинно, а второе ложно.

Парадоксы материальной импликации возникают из-за функционального определения материальной импликации, которое считается истинным просто потому, что предшествующий ложно или последующий правда. Согласно этому критерию, «если луна сделана из зеленого сыра, значит, наступает конец света», верно только потому, что луна не сделана из зеленого сыра. В более широком смысле, любое противоречие влечет за собой что угодно, поскольку противоречие никогда не бывает истинным. (Все паранепротиворечивая логика должен по определению отклонить (1) как недействительный). тавтология подразумевается чем угодно, поскольку тавтология всегда верна.

Подводя итог, хотя это обманчиво похоже на то, что мы подразумеваем под «логически следует» в обычном использовании, материальный смысл не улавливает значение «если ... то».

Парадокс следствия

Как самый известный из парадоксов и наиболее формально простой, парадокс логическое следствие делает лучшее представление.

На естественном языке возникает пример парадокса следования:

Идет дождь

И

дождь не идет

Следовательно

Джордж Вашингтон сделан из граблей.

Это происходит из принцип взрыва, закон классическая логика утверждение, что противоречивые посылки всегда делают аргумент действительным; то есть несовместимые посылки подразумевают любые вывод вообще. Это кажется парадоксальным, потому что, хотя приведенный выше аргумент является логически верным, он не звук (не все его посылки верны).

Строительство

Срок действия определяется в классической логике следующим образом:

An аргумент (состоящий из предпосылки и вывод) действительно если и только если не может быть ситуации, в которой все посылки верны, а вывод ложен.

Например, допустимый аргумент может выполняться:

Если идет дождь, вода есть (1-я посылка)

Идет дождь (2-я посылка)

Вода существует (Вывод)

В этом примере нет возможной ситуации, в которой посылки верны, а заключение ложно. Поскольку нет контрпример, аргумент действителен.

Но можно построить аргумент, в котором предпосылки непоследовательный. Это удовлетворило бы тест на действительный аргумент, поскольку было бы невозможна ситуация, в которой все предпосылки верны и поэтому невозможна ситуация, в которой все предпосылки верны, а заключение ложно.

Например, аргумент с противоречивыми предпосылками может выполняться:

Определенно идет дождь (1-я посылка; правда)

дождь не идет (2-я посылка; ложь)

Джордж Вашингтон сделан из граблей (Вывод)

Поскольку не существует возможной ситуации, когда обе посылки могли бы быть истинными, то, конечно, не может быть ситуации, в которой посылки могли бы быть истинными, в то время как заключение было ложным. Таким образом, аргумент действителен независимо от вывода; из противоречивых посылок следует все выводы.

Объяснение

Странность парадокса логическое следствие исходит из того факта, что определение действительности в классическая логика не всегда соглашается с использованием этого термина в обычном языке. В повседневном использовании срок действия говорит о том, что помещения согласованы. В классической логике дополнительное понятие прочность вводится. Веский аргумент - это веский аргумент со всеми истинными предпосылками. Следовательно, веский аргумент с непоследовательным набором предпосылок никогда не может быть здравым. Предлагаемое усовершенствование понятия логической достоверности для устранения этого парадокса: соответствующая логика.

Упрощение

Формулы классического парадокса тесно связаны с формулой

• ${\displaystyle (p\land q)\to p}$

принцип упрощения, который может быть довольно легко выведен из формул парадокса (например, из (1) путем импорта). Кроме того, существуют серьезные проблемы с попыткой использовать материальный смысл как представление английского «if ... then ...». Например, действительными выводами являются следующие:

1. ${\displaystyle (p\to q)\land (r\to s)\ \vdash \ (p\to s)\lor (r\to q)}$
2. ${\displaystyle (p\land q)\to r\ \vdash \ (p\to r)\lor (q\to r)}$

но сопоставление их с английскими предложениями с использованием «если» дает парадоксы. Первое можно прочитать так: «Если Джон в Лондоне, то он в Англии, а если он в Париже, то он во Франции. Следовательно, либо верно, что (а) если Джон в Лондоне, то он во Франции, или (б) что если он в Париже, то он в Англии ». Используя материальный смысл, если Джон действительно находится в Лондоне, тогда (поскольку его нет в Париже) (б) верно; тогда как если он находится в Париже, то (а) верно. Поскольку он не может находиться в обоих местах, заключение о том, что хотя бы одно из (а) или (б) верно.

Но это не соответствует тому, как «если ... то ...» используется в естественном языке: наиболее вероятный сценарий, в котором можно было бы сказать: «Если Джон находится в Лондоне, то он в Англии», если он не знает где Джон, но тем не менее знает, что если он в Лондоне, он в Англии. Согласно этой интерпретации, обе посылки верны, но оба пункта заключения ложны.

Второй пример можно прочитать так: «Если и переключатель A, и переключатель B замкнуты, то свет горит. Следовательно, верно либо то, что если переключатель A замкнут, свет горит, либо если переключатель B замкнут, свет горит ". Здесь наиболее вероятной интерпретацией «если ... то ...» на естественном языке было бы «в любое время переключатель А замкнут, горит свет ", и"в любое время выключатель B замкнут, свет горит ». Опять же, в соответствии с этой интерпретацией оба пункта заключения могут быть ложными (например, в последовательной цепи, с лампочкой, которая загорается только тогда, когда обе выключатели замкнуты).

Смотрите также

• Корреляция не подразумевает причинно-следственной связи
• Ложная дилемма
• Список парадоксов
• Луна сделана из зеленого сыра

Рекомендации

• Беннетт, Дж. Философское руководство по условным операторам. Оксфорд: Clarendon Press. 2003 г.
• Условные, изд. Фрэнк Джексон. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 1991 г.
• Этчменди, Дж. Концепция логического следствия. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. 1990 г.
• «Строгое исчисление импликации», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Сэнфорд, Д. Если P, то Q: Условия и основы рассуждения. Нью-Йорк: Рутледж. 1989 г.
• Священник, Г. Введение в неклассическую логику, Издательство Кембриджского университета. 2001 г.