Парадоксы Зеноса - Zenos paradoxes - Wikipedia

«Парадокс стрелы» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Стрелка парадокс (значения).

Парадоксы Зенона представляют собой набор философский проблемы, которые обычно считались изобретенными Греческий философ Зенон Элейский (ок. 490–430 до н. э.) для поддержки Парменид 'доктрина, которая вопреки свидетельствам наших чувств, вера в множество и изменение ошибочно, и в частности, что движение не что иное, как иллюзия. Обычно предполагается, исходя из Платона Парменид (128a – d), что Зенон взял на себя проект создания этих парадоксы потому что другие философы создавали парадоксы против взглядов Парменида. Таким образом, Платон заставил Зенона сказать, что цель парадоксов «состоит в том, чтобы показать, что их гипотеза о том, что существует множество сущностей, при правильном рассмотрении, приводит к еще более абсурдным результатам, чем гипотеза о том, что они являются одним целым».[1] Платон Сократ утверждают, что Зенон и Парменид, по сути, аргументировали одно и то же.[2]

Некоторые из девяти сохранившихся парадоксов Зенона (сохранились в Аристотеля Физика[3][4]и Симплициуса комментарий к нему) по существу эквивалентны друг другу. Аристотель предложил опровержение некоторых из них.[3] Три самых сильных и знаменитых - Ахиллеса и черепахи. Дихотомия аргумент и аргумент летящей стрелы - подробно представлены ниже.

Аргументы Зенона, возможно, являются первыми примерами метода доказательства, называемого сокращение до абсурда, также известный как доказательство от противного. Они также считаются источником диалектика метод, используемый Сократом.[5]

Некоторые математики и историки, такие как Карл Бойер, считают парадоксы Зенона просто математическими проблемами, решение которых исчисление дает математическое решение.[6]Немного философы однако говорят, что парадоксы Зенона и их вариации (см. Лампа Томсона ) остаются актуальными метафизический проблемы.[7][8][9]

Истоки парадоксов несколько неясны. Диоген Лаэртиус, четвертый источник информации о Зеноне и его учении со ссылкой на Favorinus, говорит, что учитель Зенона Парменид был первым, кто ввел парадокс Ахилла и черепахи. Но в более позднем отрывке Лаэртиус приписывает происхождение парадокса Зенону, объясняя, что Фаворин не согласен.[10]

Парадоксы движения

Парадокс дихотомии

То, что находится в движении, должно достигнуть промежуточной стадии, прежде чем достигнет цели.

— как рассказывает Аристотель, Физика VI: 9, 239b10

Предполагать Аталанта хочет пройти до конца пути. Прежде чем она сможет добраться туда, она должна пройти половину пути. Прежде чем она сможет пройти половину пути, она должна пройти четверть пути. Прежде чем проехать квартал, она должна проехать одну восьмую; перед восьмым - одна шестнадцатая; и так далее.

Дихотомия

Результирующая последовательность может быть представлена ​​как:

Это описание требует выполнения бесконечного количества задач, что, по мнению Зенона, невозможно.[11]

Эта последовательность также представляет вторую проблему в том, что она не содержит первой дистанции для бега при любых возможных (конечный ) первое расстояние можно разделить пополам и, следовательно, не будет первым. Следовательно, путешествие не может даже начаться. Тогда парадоксальным выводом будет то, что путешествие на любое конечное расстояние не может быть ни завершено, ни начато, и поэтому любое движение должно быть иллюзия.[12]

Этот аргумент называется "Дихотомия "потому что он включает в себя многократное разделение расстояния на две части. Пример с первоначальным смыслом можно найти в асимптота. Он также известен как Гоночная трасса парадокс.

Ахиллес и черепаха

"Ахиллес и черепаха" перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Ахиллес и черепаха (значения).
Смотрите также: Бесконечность § Зенон: Ахилл и черепаха
Ахиллес и черепаха

В гонке самый быстрый бегун никогда не может обогнать самого медленного, так как преследователь должен сначала достичь точки, откуда преследуемый начал, так что более медленный всегда должен удерживать лидерство.

— как рассказывает Аристотель, Физика VI: 9, 239b15

В парадоксе Ахиллес и черепаха, Ахилл в гонке с черепахой. Ахиллес позволяет черепахе, например, стартовать на 100 метров. Предположим, что каждый гонщик начинает бежать с некоторой постоянной скоростью, один быстрее другого. По прошествии некоторого конечного времени Ахиллес пробежит 100 метров, приведя его к исходной точке черепахи. За это время черепаха пробежала гораздо меньшее расстояние, скажем, 2 метра. Тогда Ахиллу потребуется некоторое время, чтобы пробежать это расстояние, и к этому времени черепаха продвинется дальше; а затем еще время, чтобы достичь этой третьей точки, пока черепаха движется вперед. Таким образом, всякий раз, когда Ахиллес прибывает туда, где была черепаха, ему еще нужно пройти некоторое расстояние, прежде чем он сможет даже добраться до черепахи. Как заметил Аристотель, этот аргумент подобен дихотомии. [13] Однако в нем отсутствует очевидный вывод о неподвижности.

Стрелка парадокс

Стрелка
Не путать с другие парадоксы с таким же названием.

Если все, занимая равное пространство, находится в покое в этот момент времени, и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна в этот момент времени и в следующий момент. времени, но если оба момента времени приняты как один и тот же момент или непрерывный момент времени, то он находится в движении.[14]

— как рассказывает Аристотель, Физика VI: 9, 239b5

В парадоксе стрел Зенон утверждает, что для того, чтобы движение произошло, объект должен изменить положение, которое он занимает. Он приводит пример летящей стрелы. Он утверждает, что в любой момент времени (без продолжительности) стрелка не движется ни туда, где она есть, ни туда, где ее нет.[15]Он не может переместиться туда, где его нет, потому что не проходит времени, чтобы переместиться туда; он не может переместиться туда, где он есть, потому что он уже там. Другими словами, в каждый момент времени движения не происходит. Если в каждое мгновение все неподвижно, а время целиком состоит из мгновений, движение невозможно.

В то время как первые два парадокса делят пространство, этот парадокс начинается с разделения времени - и не на сегменты, а на точки.[16]

Три других парадокса в изложении Аристотеля

Парадокс места

От Аристотеля:

Если всему, что существует, есть место, то и место будет, и т. Д. до бесконечности.[17]

Парадокс проса

Описание парадокса из Философский словарь Рутледжа:

Аргумент состоит в том, что единственная крупица просо при падении не издает звука, но тысячи крупинок издают звук. Отсюда тысяча пустяков становится чем-то абсурдным.[18]

Опровержение Аристотеля:

Зенон ошибается, говоря, что нет ни одной части проса, которая не издавала бы звука: потому что нет причины, по которой любая такая часть не должна в течение какого-либо промежутка времени переставать двигаться в воздухе, при падении которого движется весь бушель. Фактически, он сам по себе не перемещает даже такое количество воздуха, как он двигался бы, если бы эта часть была сама по себе: поскольку никакая часть даже не существует иначе, как потенциально.[19]

Описание от Ника Хаггетта:

Это Парменидов аргумент, что нельзя доверять своему слуху. Кажется, что ответ Аристотеля состоит в том, что даже неслышимые звуки могут усилить слышимый звук.[20]

Движущиеся ряды (или стадион)

Движущиеся строки

От Аристотеля:

... что касается двух рядов тел, каждый ряд состоит из равного числа тел равного размера, проходящих друг через друга по гоночной трассе, поскольку они движутся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях, причем один ряд первоначально занимал пространство между цель и средняя точка трассы, а другая - между средней точкой и стартовой стойкой. Это ... предполагает вывод, что половина данного времени равна удвоению этого времени.[21]

Для расширенного изложения аргументов Зенона, представленных Аристотелем, см. Симплициуса комментарий О физике Аристотеля.[требуется полная цитата ]

Предлагаемые решения

Диоген Циник

В соответствии с Симплициус, Диоген Циник ничего не сказал, услышав аргументы Зенона, но встал и пошел, чтобы продемонстрировать ложность выводов Зенона (см. Solvitur Ambulando ). Однако, чтобы полностью разрешить любой из парадоксов, нужно показать, что не так в аргументе, а не только в выводах. На протяжении всей истории было предложено несколько решений, среди самых ранних записанных были решения Аристотеля и Архимеда.

Аристотель

Аристотель (384 BC-322 BC) отметили, что по мере уменьшения расстояния время, необходимое для преодоления этих расстояний, также уменьшается, так что необходимое время также становится все меньше.[22][неудачная проверка ][23]Аристотель также отличал «вещи, бесконечные в отношении делимости» (такие как единица пространства, которая может быть мысленно разделена на все меньшие единицы, оставаясь при этом пространственно неизменными) от вещей (или расстояний), которые бесконечны в протяженности («относительно их конечности »).[24]Возражение Аристотеля против парадокса стрелы заключалось в том, что «Время не состоит из неделимых моментов больше, чем любая другая величина состоит из неделимых».[25]

Архимед

До 212 г. до н. Э. Архимед разработал метод получения конечного ответа для суммы бесконечного числа членов, которые становятся все меньше. (Видеть: Геометрическая серия, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, Квадратура параболы.) Его аргумент, применяя метод истощения Доказать, что бесконечная сумма, о которой идет речь, равна площади определенного квадрата, в значительной степени геометрическая, но довольно строгая. Сегодняшний анализ достигает того же результата, используя пределы (видеть сходящийся ряд ). Эти методы позволяют строить решения на основе условий, установленных Зеноном, т.е. количество времени, затрачиваемого на каждый шаг, геометрически уменьшается.[6][26]

Фома Аквинский

Фома Аквинский, комментируя возражение Аристотеля, писал: «Мгновения не являются частями времени, поскольку время состоит из мгновений не больше, чем величина состоит из точек, как мы уже доказали. Отсюда не следует, что вещь не находится в движение в данный момент времени только потому, что оно не находится в движении ни в какой момент этого времени ".[27]

Бертран Рассел

Бертран Рассел предложил то, что известно как «теория движения на атаку». Он соглашается с тем, что не может быть движения «в течение» непродолжительного момента, и утверждает, что все, что требуется для движения, - это чтобы стрелка была в одной точке в один момент, в другой точке в другой раз и в соответствующих точках между этими двумя точками. за промежуточные времена. С этой точки зрения движение - это просто изменение положения с течением времени.[28][29]

Герман Вейль

Другое предлагаемое решение - поставить под сомнение одно из предположений, которые Зенон использовал в своих парадоксах (в частности, Дихотомии), а именно, что между любыми двумя разными точками в пространстве (или времени) всегда есть другая точка. Без этого предположения существует только конечное число расстояний между двумя точками, следовательно, нет бесконечной последовательности движений, и парадокс разрешен. В соответствии с Герман Вейль, предположение о том, что пространство состоит из конечных и дискретных единиц, является предметом еще одной проблемы, определяемой выражением "аргумент плитки "или" задача функции расстояния ".[30][31]Согласно этому, длина гипотенузы прямоугольного треугольника в дискретизированном пространстве всегда равна длине одной из двух сторон, что противоречит геометрии. Жан Поль Ван Бендегем утверждал, что аргумент плитки может быть разрешен, и поэтому дискретизация может устранить парадокс.[6][32]

Анри Бергсон

Альтернативный вывод, предложенный Анри Бергсон в его книге 1896 года Материя и память, состоит в том, что, хотя путь делится, движение - нет.[33] Согласно этому аргументу, моменты времени и мгновенные величины физически не существуют. Объект, находящийся в относительном движении, не может иметь мгновенное или определенное относительное положение, и поэтому его движение нельзя разделить на части.

Питер Линдс

В 2003 году Питер Линдс выдвинул очень похожий аргумент: все парадоксы движения Зенона разрешаются выводом о том, что мгновений во времени и мгновенных величин физически не существует.[34][35][36][37]Линдс утверждает, что объект, находящийся в относительном движении, не может иметь мгновенное или определенное относительное положение (поскольку, если бы это было так, он не мог бы двигаться), и поэтому его движение не может быть дробно рассечено, как если бы оно было, как предполагается в парадоксах. Подробнее о невозможности определения скорости и местоположения см. Принцип неопределенности Гейзенберга.

Ник Хаггетт

Ник Хаггетт утверждает, что Зенон предполагая заключение когда он говорит, что объекты, занимающие то же пространство, что и в состоянии покоя, должны находиться в состоянии покоя.[16]

Парадоксы современности

Теоретически бесконечные процессы оставались в математике проблематичными до конца XIX века. В эпсилон-дельта версия Weierstrass и Коши разработал строгую формулировку используемой логики и исчисления. Эти работы разрешили математику, включающую бесконечные процессы.[38][39]

Хотя математика может вычислить, где и когда движущийся Ахиллес настигнет Черепаху из парадокса Зенона, такие философы, как Кевин Браун[7] и Moorcroft[8]утверждают, что математика не обращается к центральному пункту аргументации Зенона и что решение математических проблем не решает всех проблем, которые поднимают парадоксы.

Популярная литература часто искажает аргументы Зенона. Например, Зенон часто утверждал, что сумма бесконечного числа членов должна быть бесконечной, в результате чего не только время, но и расстояние, которое нужно пройти, становятся бесконечными.[40] Юмористический взгляд предлагает Том Стоппард в своей пьесе «Прыгуны» (1972), главный герой которой, профессор философии Джордж Мур, предполагает, что, согласно парадоксу Зенона, Святой Себастьян, христианский святой 3-го века, замученный стрелами, скончался от испуга. Однако ни в одном из оригинальных древних источников Зенон не обсуждает сумму каких-либо бесконечных рядов. Симплициус Зенон сказал: «Невозможно пройти бесконечное количество вещей за конечное время». Это представляет проблему Зенона не с поиском сумма, а скорее с отделка задача с бесконечным количеством шагов: как можно когда-либо перейти от A к B, если может быть идентифицировано бесконечное количество (не мгновенных) событий, которые должны предшествовать прибытию в B, и невозможно достичь даже начала «последнее событие»?[7][8][9][41]

Споры продолжаются по вопросу о том, разрешены ли парадоксы Зенона. В История математики: введение (2010) Бертон пишет: «Хотя аргумент Зенона сбил с толку его современников, удовлетворительное объяснение включает в себя уже знакомую идею - понятие« сходящийся бесконечный ряд »».[42]

Бертран Рассел предложили «решение» парадоксов, основанное на работе Георг Кантор,[43] но Браун заключает: «Учитывая историю« окончательных решений », начиная с Аристотеля, вероятно, безрассудно думать, что мы достигли конца. Возможно, аргументы Зенона о движении из-за их простоты и универсальности всегда будут служить Что-то вроде 'Образ Роршаха' на которые люди могут проецировать свои самые фундаментальные феноменологические проблемы (если таковые имеются) ».[7]

Аналогичное древнекитайское философское соображение

Древний китайский философы из Моистская школа имён вовремя Период Воюющих царств Китая (479-221 гг. До н.э.) разработал эквиваленты некоторых парадоксов Зенона.[44] Ученый и историк Сэр Джозеф Нидхэм, в его Наука и цивилизация в Китае, описывает древний китайский парадокс выживших Моистская школа имён книга логики, в которой говорится, в архаичный древнекитайское письмо, «одноногая палка, убирай каждый день половину, через мириады веков она не иссякнет». Известно несколько других парадоксов этой философской школы (точнее движения), но их современная интерпретация более умозрительна.

Квантовый эффект Зенона

Основная статья: Квантовый эффект Зенона

В 1977 г.[45] физики Э. С. Джордж Сударшан и Б. Мисра обнаружили, что динамическая эволюция (движение) квантовой системы может быть затруднена (или даже подавлена) посредством наблюдения за системой.[46] Этот эффект обычно называют «квантовым эффектом Зенона», поскольку он сильно напоминает парадокс стрел Зенона. Впервые этот эффект был теоретизирован в 1958 году.[47]

Зенон поведение

В области проверки и проектирования рассчитанный и гибридные системы, поведение системы называется Зенон если он включает бесконечное количество дискретных шагов за конечный промежуток времени.[48] Немного формальная проверка методы исключают такое поведение из анализа, если оно не эквивалентно поведению, отличному от Зенона.[49][50] В проектирование систем это поведение также часто исключается из системных моделей, поскольку они не могут быть реализованы с помощью цифрового контроллера.[51]

Льюис Кэрролл и Дуглас Хофштадтер

Что Черепаха сказала Ахиллу,[52] написано в 1895 г. Льюис Кэрролл, было попыткой раскрыть аналогичный парадокс в области чистой логики. Если аргумент Кэрролла верен, то подразумевается, что парадоксы движения Зенона, по сути, не являются проблемами пространства и времени, а непосредственно затрагивают суть самого рассуждения. Дуглас Хофштадтер сделал статью Кэрролла центральным элементом своей книги Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса, написать еще много диалогов между Ахиллом и Черепахой, чтобы прояснить его аргументы. Хофштадтер связывает парадоксы Зенона с Теорема Гёделя о неполноте в попытке продемонстрировать, что проблемы, поднятые Зеноном, распространены и проявляются в формальной теории систем, вычислениях и философии разума.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Парменид 128d
  2. ^ Парменид 128a – b
  3. ^ а б Аристотеля Физика "Физика" Аристотеля в переводе Р. П. Харди и Р. К. Гая.
  4. ^ «Греческий текст« Физики »Аристотеля (см. §4 в верхней части видимой области экрана)». Архивировано из оригинал на 2008-05-16.
  5. ^ ([фрагмент 65], Диоген Лаэртиус. IX 25ff и VIII 57).
  6. ^ а б c Бойер, Карл (1959). История математического анализа и его концептуальное развитие. Dover Publications. п.295. ISBN  978-0-486-60509-8. Получено 2010-02-26. Если парадоксы выражаются таким образом в точной математической терминологии непрерывных переменных (...), кажущиеся противоречия разрешаются сами собой.
  7. ^ а б c d Браун, Кевин. «Зенон и парадокс движения». Размышления о теории относительности. Архивировано из оригинал на 2012-12-05. Получено 2010-06-06.
  8. ^ а б c Муркрофт, Фрэнсис. «Парадокс Зенона». Архивировано из оригинал 18 апреля 2010 г.
  9. ^ а б Папа-Гримальди, Альба (1996). «Почему математические решения парадоксов Зенона упускают из виду суть: взаимосвязь« один и множество »Зенона и запрет Парменида» (PDF). Обзор метафизики. 50: 299–314.
  10. ^ Диоген Лаэртиус, Жизни, 9.23 и 9.29.
  11. ^ Линдберг, Дэвид (2007). Начало западной науки (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. п. 33. ISBN  978-0-226-48205-7.
  12. ^ Хаггетт, Ник (2010). "Парадоксы Зенона: 3.1 Дихотомия". Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 2011-03-07.
  13. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.2 Ахилл и черепаха». Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 2011-03-07.
  14. ^ Аристотель. «Физика». Архив интернет-классики. Однако рассуждения Зенона ошибочны, когда он говорит, что если все, занимая одинаковое пространство, находится в состоянии покоя и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна. Это неверно, поскольку время состоит из неделимых моментов не больше, чем любая другая величина состоит из неделимых.
  15. ^ Лаэртий, Диоген (ок. 230). "Пиррон". Жизни и мнения выдающихся философов. IX. Отрывок 72. ISBN  1-116-71900-2.
  16. ^ а б Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.3 Стрела». Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 2011-03-07.
  17. ^ Аристотель Физика IV: 1, 209a25
  18. ^ Майкл Праудфут, A.R. Кружево. Философский словарь Рутледжа. Рутледж 2009, стр. 445
  19. ^ Аристотель Физика VII: 5, 250a20
  20. ^ Хаггетт, Ник, «Парадоксы Зенона», Стэнфордская энциклопедия философии (издание зима 2010 г.), Эдвард Н. Залта (ред.), http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil
  21. ^ Аристотель Физика VI: 9, 239b33
  22. ^ Аристотель. Физика 6.9
  23. ^ Наблюдение Аристотеля о том, что дробные времена также становятся короче, не всегда гарантирует, что задача может быть выполнена. Один случай, когда это не выполняется, - это тот случай, когда дробные времена уменьшаются в гармонический ряд, в то время как расстояния уменьшаются геометрически, например: 1/2 с для усиления 1/2 м, 1/3 с для следующего усиления на 1/4 м, 1/4 с для следующего усиления на 1/8 м, 1/5 с для следующее усиление на 1/16 м, 1/6 с для следующего увеличения на 1/32 м и т. д. В этом случае расстояния образуют сходящийся ряд, но времена образуют расходящийся ряд, сумма которых не имеет предела.[оригинальное исследование? ] Архимед разработал более явный математический подход, чем Аристотель.
  24. ^ Аристотель. Физика 6.9; 6.2, 233a21-31
  25. ^ Аристотель. Физика. VI. Часть 9 стих: 239b5. ISBN  0-585-09205-2.
  26. ^ Джордж Б. Томас, Исчисление и аналитическая геометрия, Эддисон Уэсли, 1951.
  27. ^ Аквинский. Комментарий к физике Аристотеля, книга 6.861
  28. ^ Хаггетт, Ник (1999). Космос от Зенона до Эйнштейна. ISBN  0-262-08271-3.
  29. ^ Лосось, Уэсли К. (1998). Причинно-следственная связь и объяснение. п. 198. ISBN  978-0-19-510864-4.
  30. ^ Ван Бендегем, Жан Поль (17 марта 2010 г.). «Конечность в геометрии». Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 2012-01-03.
  31. ^ Коэн, Марк (11 декабря 2000 г.). «АТОМИЗМ». История античной философии, Вашингтонский университет. Архивировано из оригинал 12 июля 2010 г.. Получено 2012-01-03.
  32. ^ ван Бендегем, Жан Поль (1987). «Обсуждение: парадоксы Зенона и аргумент плитки». Философия науки. Бельгия. 54 (2): 295–302. Дои:10.1086/289379. JSTOR  187807.
  33. ^ Бергсон, Анри (1896). Matière et Mémoire [Материя и память] (PDF). Перевод 1911 года Нэнси Маргарет Пол и У. Скотт Палмер. Джордж Аллен и Анвин. С. 77–78 PDF-файла.
  34. ^ «Парадоксы Зенона: своевременное решение». Январь 2003 г.
  35. ^ Линдс, Питер. Время, классическая и квантовая механика: неопределенность против прерывности. Письмо «Основы физики» (том 16, выпуск 4, 2003 г.). DOI: 10.1023 / A: 1025361725408
  36. ^ Время вверх, Эйнштейн, Джош МакХью, Проводной журнал, Июнь 2005 г.
  37. ^ С. Э. Роббинс (2004) На время, память и динамическую форму. Сознание и познание 13(4), 762-788: «Линдс, его рецензенты и консультанты (например, Дж. Джей Си Смарт), очевидно, не знают о его полном превосходстве над Бергсоном»
  38. ^ Ли, Гарольд (1965). «Парадоксы Зенона основаны на ошибке?». Разум. Издательство Оксфордского университета. 74 (296): 563–570. Дои:10.1093 / разум / LXXIV.296.563. JSTOR  2251675.
  39. ^ Б. Рассел (1956) Математика и метафизики в «Мире математики» (ред. Дж. Р. Ньюман ), стр 1576-1590.
  40. ^ Бенсон, Дональд С. (1999). Момент доказательства: математические прозрения. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.14. ISBN  978-0195117219.
  41. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 5. Влияние Зенона на философию». Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 2011-03-07.
  42. ^ Бертон, Дэвид, История математики: введение, Макгроу Хилл, 2010, ISBN  978-0-07-338315-6
  43. ^ Рассел, Бертран (2002) [Впервые опубликовано в 1914 году издательством Open Court Publishing Company]. «Лекция 6. Проблема бесконечности в историческом аспекте». Наше познание внешнего мира: как область научного метода в философии. Рутледж. п. 169. ISBN  0-415-09605-7.
  44. ^ "Школа имен> Разные парадоксы (Стэнфордская энциклопедия философии)". plato.stanford.edu. Получено 2020-01-30.
  45. ^ Сударшан, Э.; Мисра, Б. (1977). «Парадокс Зенона в квантовой теории» (PDF). Журнал математической физики. 18 (4): 756–763. Bibcode:1977JMP .... 18..756M. Дои:10.1063/1.523304.
  46. ^ W.M. Itano; Д.Дж. Хейнсен; J.J. Боккингер; Д.Дж. Вайнленд (1990). «Квантовый эффект Зенона» (PDF). Физический обзор A. 41 (5): 2295–2300. Bibcode:1990ПхРвА..41.2295И. Дои:10.1103 / PhysRevA.41.2295. PMID  9903355. Архивировано из оригинал (PDF) в 2004-07-20. Получено 2004-07-23.
  47. ^ Халфин, Л.А. (1958). "Вклад в теорию распада квазистационарного состояния". Советская физ. ЖЭТФ. 6: 1053. Bibcode:1958JETP .... 6.1053K.
  48. ^ Пол А. Фишвик, изд. (1 июня 2007 г.). «15.6« Классы патологического поведения »в главе 15« Гибридные динамические системы: моделирование и выполнение »Питера Дж. Мостермана, The Mathworks, Inc.». Справочник по моделированию динамических систем. Chapman & Hall / CRC Computer and Information Science (издание в твердом переплете). Бока-Ратон, Флорида, США: CRC Press. С. 15–22–15–23. ISBN  978-1-58488-565-8. Получено 2010-03-05.
  49. ^ Лэмпорт, Лесли (2002). Определение систем (PDF). Microsoft Research. Эддисон-Уэсли. п. 128. ISBN  0-321-14306-X. Получено 2010-03-06.
  50. ^ Чжан, Цзюнь; Йоханссон, Карл; Лигерос, Джон; Састри, Шанкар (2001). «Гибридные системы Zeno» (PDF). Международный журнал робастного и нелинейного управления. 11 (5): 435. Дои:10.1002 / rnc.592. Архивировано из оригинал (PDF) 11 августа 2011 г.. Получено 2010-02-28.
  51. ^ Франк, Кассез; Хенцингер, Томас; Раскин, Жан-Франсуа (2002). «Сравнение задач управления синхронизированными и гибридными системами». Архивировано из оригинал 28 мая 2008 г.. Получено 2010-03-02. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  52. ^ Кэрролл, Льюис (1895-04-01). "Что черепаха сказала Ахиллу". Разум. IV (14): 278–280. Дои:10.1093 / mind / IV.14.278. ISSN  0026-4423.

Рекомендации

внешняя ссылка