Парадокс Бурали-Форти - Burali-Forti paradox

В теория множеств, поле математика, то Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что построение «множества всех порядковые номера "приводит к противоречию и поэтому показывает антиномия в системе, которая позволяет его построение. Он назван в честь Чезаре Бурали-Форти, который в 1897 г. опубликовал статью, доказывающую неизвестную ему теорему, которая противоречила ранее доказанному результату Кантора. Бертран Рассел впоследствии заметил это противоречие, и когда он опубликовал его в своей книге 1903 г. Основы математики, он заявил, что это было предложено ему газетой Бурали-Форти, в результате чего она стала известна под именем Бурали-Форти.

Выражено в ординалах фон Неймана

Мы докажем это с помощью reductio ad absurdum.

1. Позволять ${\displaystyle \Omega }$ - набор, содержащий все порядковые числа.
2. ${\displaystyle \Omega }$ является переходный потому что для каждого элемента ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle \Omega }$ (который является порядковым номером и может быть любым порядковым номером) и каждый элемент ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle x}$ (т.е. по определению Ординалы фон Неймана, для каждого порядкового номера ${\displaystyle y<x}$), имеем ${\displaystyle y}$ является элементом ${\displaystyle \Omega }$ потому что любой порядковый номер содержит только порядковые числа по определению этой порядковой конструкции.
3. ${\displaystyle \Omega }$ хорошо упорядочивается отношением принадлежности, потому что все его элементы также хорошо упорядочены этим отношением.
4. Итак, на шагах 2 и 3 мы имеем ${\displaystyle \Omega }$ является порядковым классом, а также, на шаге 1, порядковым номером, потому что все порядковые классы, являющиеся наборами, также являются порядковыми числами.
5. Отсюда следует, что ${\displaystyle \Omega }$ является элементом ${\displaystyle \Omega }$.
6. По определению ординалов фон Неймана, ${\displaystyle \Omega <\Omega }$ такой же как ${\displaystyle \Omega }$ являясь элементом ${\displaystyle \Omega }$. Последнее утверждение подтверждается шагом 5.
7. Но у нас нет порядкового класса меньше, чем он сам, включая ${\displaystyle \Omega }$ из-за шага 4 (${\displaystyle \Omega }$ порядковый класс), т.е. ${\displaystyle \Omega \nless \Omega }$.

Мы вывели два противоречащих друг другу утверждения (${\displaystyle \Omega <\Omega }$ и ${\displaystyle \Omega \nless \Omega }$) от множества ${\displaystyle \Omega }$ и, следовательно, опровергнул, что ${\displaystyle \Omega }$ это набор.

В более общем плане

Вышеприведенная версия парадокса анахронична, потому что предполагает определение порядковых чисел из-за Джон фон Нейман, в котором каждый порядковый номер представляет собой набор всех предшествующих ординалов, который не был известен в то время, когда парадокс был сформулирован Бурали-Форти. Вот отчет с меньшим количеством предпосылок: предположим, что мы связываем с каждым хороший порядок объект назвал его тип заказа неопределенным образом (типы заказов - порядковые номера). Сами типы порядка (порядковые номера) естественным образом упорядочены, и это упорядочение должно иметь тип порядка. ${\displaystyle \Omega }$. Это легко показать внаивная теория множеств (и остается верным в ZFC но не в Новые основы ), что тип порядка всех порядковых номеров меньше фиксированного ${\displaystyle \alpha }$ является ${\displaystyle \alpha }$ Таким образом, порядок всех порядковых номеров меньше ${\displaystyle \Omega }$ является ${\displaystyle \Omega }$ сам. Но это означает, что ${\displaystyle \Omega }$, являясь типом порядка надлежащего начального сегмента ординалов, строго меньше, чем тип порядка всех ординалов, но последний ${\displaystyle \Omega }$ сам по определению. Получили противоречие.

Если мы воспользуемся определением фон Неймана, согласно которому каждый порядковый номер идентифицируется как набор всех предшествующих порядковых номеров, парадокс неизбежен: оскорбительное утверждение, что тип порядка всех порядковых номеров меньше фиксированного ${\displaystyle \alpha }$ является ${\displaystyle \alpha }$ сам по себе должен быть правдой. Коллекция ординалов фон Неймана, как и коллекция в Парадокс Рассела, не может быть набором ни в какой теории множеств с классической логикой. Но набор типов порядков в New Foundations (определяемых как классы эквивалентности хороших порядков при сходстве) на самом деле является набором, и парадокса можно избежать, потому что тип порядка порядковых номеров меньше, чем ${\displaystyle \Omega }$оказывается не ${\displaystyle \Omega }$.

Разрешение парадокса

Современное аксиомы формальной теории множеств такие как ZF и ZFC, обходят эту антиномию, не позволяя конструировать наборы, используя такие термины, как "все наборы со свойством ${\displaystyle P}$", как это возможно в наивная теория множеств и как это возможно с Готтлоб Фреге аксиомы - в частности, Основной закон V - в «Grundgesetze der Arithmetik». Система Куайна Новые основы (NF) использует другое решение. Россер (1942 ) показал, что в исходной версии системы Куайна «Математическая логика» (ML), являющейся расширением New Foundations, можно вывести парадокс Бурали-Форти, показывающий, что эта система была противоречивой. Пересмотр Куайном ML после открытия Россера не страдает этим недостатком, и действительно, впоследствии было доказано, что оно равно совместимо с NF. Хао Ван.

Смотрите также

• Абсолютная бесконечность

Рекомендации

• Бурали-Форти, Чезаре (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 11: 154–164, Дои:10.1007 / BF03015911
• Ирвинг Копи (1958) "Парадокс Бурали-Форти", Философия науки 25(4): 281–286, Дои:10.1086/287617
• Мур, Грегори Н; Гарсиадьего, Алехандро (1981), «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его происхождения», Historia Mathematica, 8 (3): 319–350, Дои:10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Россер, Баркли (1942), "Парадокс Бурали-Форти", Журнал символической логики, 7 (1): 1–17, Дои:10.2307/2267550, JSTOR  2267550, МИСТЕР  0006327

внешняя ссылка

• Стэнфордская энциклопедия философии: "Парадоксы и современная логика "- Андреа Кантини.