Абсолютная бесконечность - Absolute Infinite

В Абсолютная бесконечность (символ: Ω) является расширением идеи бесконечность предложено математик Георг Кантор.

Его можно представить как число, которое больше любой мыслимой или немыслимой величины, конечной или конечной. трансфинитный.

Кантор связал Абсолютное Бесконечное с Бог,[1] и считал, что в нем есть различные математический свойства, в том числе принцип отражения: каждое свойство Абсолютного Бесконечного также принадлежит некоторому меньшему объекту.[2]

Точка зрения Кантора

Кантор сказал:

Актуальное бесконечное различалось тремя отношениями: во-первых, как оно реализовано в высшем совершенстве, в полностью независимом, внеземном существовании, в Део, где я называю это абсолютным бесконечным или просто абсолютным; во-вторых, в той степени, в которой он представлен в зависимом, творческом мире; в-третьих, поскольку это может быть задумано in abstracto в мышлении как математическая величина, число или тип порядка. В последних двух отношениях, где он, очевидно, проявляется как ограниченный и способный к дальнейшему распространению и, следовательно, знакомый конечному, я называю его Трансфинитум и резко противопоставить это абсолюту.[3]

Кантор также упоминал об этой идее в своих письмах к Ричард Дедекинд (текст в квадратных скобках отсутствует в оригинале):[6]

А множественность называется хорошо организованный если он удовлетворяет условию, что каждая подмножественность имеет первую элемент; такое множество я называю для краткости «последовательностью».

...

Теперь я представляю себе систему всех [порядковых] чисел и обозначаю ее Ω.

...

Система Ω в своем естественном порядке по величине - это «последовательность».
Теперь добавим к этой последовательности 0 как дополнительный элемент и, очевидно, поместим его на первую позицию; то получим последовательность Ω ′:

0, 1, 2, 3, ... ω0, ω0+1, ..., γ, ...
из которых легко убедиться, что каждое число γ, встречающееся в нем, является типом [т. е. порядковым типом] последовательности всех его предшествующих элементов (включая 0). (Последовательность Ω этим свойством обладает сначала для ω0+1. [ω0+1 должно быть ω0.])

Сейчас же Ω ′ (а значит, и Ω) не может быть непротиворечивой кратностью. Ибо если Ω ′ были последовательными, тогда как хорошо упорядоченный набор, число δ ему соответствовали бы, что было бы больше, чем все числа системы Ω; номер δ, однако, тоже принадлежит к системе Ω, потому что он включает в себя все числа. Таким образом δ будет больше, чем δ, что противоречит. Следовательно:

Система всех [порядковых] чисел Ω является противоречивой, абсолютно бесконечной кратностью.

Парадокс Бурали-Форти

Основная статья: Парадокс Бурали-Форти

Идея о том, что совокупность всех порядковых чисел не может существовать логически, кажется парадоксальный слишком много. Это связано с «Парадокс» Чезаре Бурали-Форти в котором говорится, что не может быть величайшего порядковый номер. Все эти проблемы можно проследить до идеи, что для каждого свойства, которое может быть определено логически, существует набор всех объектов, обладающих этим свойством. Однако, как и в аргументе Кантора (выше), эта идея приводит к затруднениям.

В более общем плане, как отмечает А. В. Мур, не может быть конца процессу набор формирование, и, следовательно, нет такой вещи, как совокупность всех наборов, или установить иерархию. Любая такая совокупность сама должна быть набором, таким образом лежащим где-то в пределах иерархия и, таким образом, не вмещает каждый набор.

Стандартное решение этой проблемы находится в Теория множеств Цермело, что не позволяет неограниченно формировать множества из произвольных свойств. Скорее, мы можем сформировать набор всех объектов, которые имеют данное свойство и лежат в некотором заданном наборе (Зермело Аксиома разделения ). Это позволяет формировать наборы на основе свойств в ограниченном смысле, сохраняя при этом (надеюсь) непротиворечивость теории.

Хотя это решает логическую проблему, можно утверждать, что философская проблема остается. Кажется естественным, что группа индивидов должна существовать, пока существуют индивиды. В самом деле, наивная теория множеств можно сказать, что он основан на этом понятии. Хотя исправление Цермело позволяет учебный класс для описания произвольных (возможно, «больших») объектов эти предикаты метаязык могут не иметь формального существования (т.е. как набор) в теории. Например, класс всех наборов будет правильный класс. Некоторых это не устраивает с философской точки зрения и побуждает к дополнительной работе в теория множеств и другие методы формализации основ математики, такие как Новые основы к Уиллард Ван Орман Куайн.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ §3.2, Игнасио Жане (май 1995 г.). «Роль абсолютного бесконечного в канторовской концепции множества». Erkenntnis. 42 (3): 375–402. Дои:10.1007 / BF01129011. Кантор (1) рассматривал абсолют как проявление Бога [...] Когда абсолют впервые вводится в Grundlagen, он связан с Богом: «истинное бесконечное или абсолютное, которое находится в Боге, не допускает какого-либо определения. "(Cantor 1883b, p. 175) Это не случайное замечание, поскольку Кантор очень ясно и настойчиво говорит об отношении между абсолютом и Богом.
  2. ^ Бесконечность: новые исследования и рубежи Майкла Хеллера и У. Хью Вудина (2011), п. 11.
  3. ^ https://www.uni-siegen.de/fb6/phima/lehre/phima10/quellentexte/handout-phima-teil4b.pdf
    Переведенная цитата с немецкого:

    Es wurde das Aktual-Unendliche (A-U.) Nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, в Deo realisiert Absolute; wo ichur es zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern es als Mathematische Größe, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in abstracto aufgefaßt werden kann. In den beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nenne ich es Трансфинитум Унд setze es dem Absoluten усиливает entgegen.

    [Ca-a, p. 378].
  4. ^ Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts, Георг Кантор, изд. Эрнст Цермело, биография - Адольф Френкель; ориг. паб. Берлин: Verlag von Julius Springer, 1932; переиздано Hildesheim: Georg Olms, 1962 и Berlin: Springer-Verlag, 1980, ISBN  3-540-09849-6.
  5. ^ Повторное открытие переписки Кантора и Дедекинда, И. Граттан-Гиннесс, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 (1974/75), pp. 104–139, at p. 126 сл.
  6. ^ Gesammelte Abhandlungen,[4] Георг Кантор, изд. Эрнст Цермело, Хильдесхайм: Георг Олмс Верлагсбухандлунг, 1962, стр. 443–447; переведено на английский язык От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг., изд. Жан ван Хейеноорт, Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, 1967, стр. 113–117. Обе эти ссылки предполагают письмо Кантора Дедекинду от 28 июля 1899 года. Айвор Граттан-Гиннесс обнаружил,[5] это на самом деле объединение редактора Кантора, Эрнст Цермело из двух писем Кантора Дедекинду, первое датировано 28 июля, а второе - 3 августа.

Библиография