Актуальная бесконечность - Actual infinity

в философия математики, то абстракция из действительный бесконечность предполагает принятие (если аксиома бесконечности включено) бесконечных сущностей как данных, фактических и завершенных объектов. Они могут включать в себя набор натуральные числа, расширенные действительные числа, трансфинитные числа, или даже бесконечная последовательность рациональное число.^[1] Актуальная бесконечность противопоставляется потенциальная бесконечность, в котором непрерывный процесс (например, «прибавить 1 к предыдущему числу») создает последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное число шагов. В результате потенциальная бесконечность часто формализуется с использованием понятия предел.^[2]

Анаксимандр

Основная статья: Апейрон (космология)

Древнегреческий термин для обозначения потенциальной или несобственной бесконечности был апейрон (неограниченный или неопределенный), в отличие от действительного или надлежащего бесконечного афоризмон.^[3] Апейрон противостоит тому, что имеет Перас (предел). Эти понятия сегодня обозначаются потенциально бесконечный и на самом деле бесконечно, соответственно.

Анаксимандр (610–546 до н. Э.) Считал, что апейрон был принципом или главным элементом, составляющим все вещи. Ясно, что «апейрон» был своего рода основным веществом. Платон представление о апейрон более абстрактный, имеющий отношение к неопределенной изменчивости. Основные диалоги, в которых Платон обсуждает «апейрон», - это поздние диалоги. Парменид и Филебус.

Аристотель

Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:

"Только Пифагорейцы помещают бесконечное среди чувственных объектов (они не считают число отделимым от них) и утверждают, что то, что находится за пределами небес, бесконечно. Платон, с другой стороны, считает, что внешнего тела нет (формы не находятся снаружи, потому что они нигде), но что бесконечное присутствует не только в чувственных объектах, но также и в формах »(Аристотель).^[4]

Эту тему выдвинуло рассмотрение Аристотелем апейрона - в контексте математики и физики (исследования природы):

«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что люди говорят. Бесконечно не то, что« то, что не имеет ничего сверх себя », а то, что всегда имеет что-то за пределами себя». (Аристотель)^[5]

Вера в существование бесконечного происходит главным образом из пяти соображений:^[6]

1. От природы времени - ибо оно бесконечно.
2. От деления величин - для математиков тоже употребляется понятие бесконечности.
3. Если возникновение и исчезновение не выдаются, то только потому, что то, из чего возникают вещи, бесконечно.
4. Потому что ограниченное всегда в чем-то находит предел, так что не должно быть предела, если все всегда ограничено чем-то отличным от него самого.
5. Прежде всего, причина, которая особенно уместна и представляет трудности, которые испытывают все - не только числа, но и математические величины, и то, что находится за пределами небес, предполагается бесконечным, потому что они никогда не выдаются в наших мыслях. (Аристотель)

Аристотель постулировал, что реальная бесконечность невозможна, потому что если бы это было возможно, то что-то достигло бы бесконечной величины и было бы «больше неба». Однако, по его словам, математика, относящаяся к бесконечности, не была лишена своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам не нужно бесконечное для своих теорем, а только конечная произвольно большая величина.^[7]

Возможное и актуальное различие Аристотеля

Аристотель рассмотрел тему бесконечности в Физика И в Метафизика. Он различал действительный и потенциал бесконечность. Актуальная бесконечность является завершенным и определенным, и состоит из бесконечного множества элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полным: элементы можно добавлять всегда, но никогда не бывает бесконечно много.

«Ибо обычно бесконечное имеет такой способ существования: одна вещь всегда берется за другой, и каждая вещь, которая берется, всегда конечна, но всегда различна».

— Аристотель, Физика, книга 3, глава 6.

Аристотель различал бесконечность относительно сложения и деления.

Но у Платона есть две бесконечности: Большая и Малая.

— Физика, книга 3, глава 4.

"В качестве примера потенциально бесконечного ряда в отношении увеличения, одно число всегда можно добавить за другим в серии, которая начинается 1,2,3, ... но процесс добавления все большего и большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен . "^{[нужна цитата ]}

Что касается деления, может начаться потенциально бесконечная последовательность делений, например 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс деления не может быть исчерпан или завершен.

«Потому что тот факт, что процесс разделения никогда не заканчивается, гарантирует, что эта деятельность существует потенциально, но не то, что бесконечное существует отдельно».

— Метафизика, книга 9, глава 6.

Схоластические философы

Подавляющее большинство схоластические философы придерживался девиза Infinitum act non datur. Это означает, что есть только (развивающийся, неправильный, "синкатегорематический") потенциальная бесконечность но не (фиксированный, правильный, "категорематический") актуальная бесконечность. Однако были исключения, например, в Англии.

«Хорошо известно, что в средние века все схоластические философы отстаивали« infinitum act non datur »Аристотеля как неопровержимый принцип». (Г. Кантор )^[8]

Его истинная мера - это количество точек в отрезке длиной в один корень. (Р. Гроссетесте [9, с. 96])

Актуальная бесконечность существует в количестве, времени и количестве. (Дж. Бэконторп [9, с. 96])

В эпоху Возрождения и в начале Нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редки.

На самом деле континуум состоит из бесконечного множества неделимых (Г. Галилей [9, с. 97])

Я так сторонник актуальной бесконечности. (G.W. Лейбниц [9, с. 97])

Большинство^{[нужна цитата ]} согласился с известной цитатой Гаусса:

Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то законченного, что никогда не допускается в математике. Бесконечность - это просто способ говорить, истинный смысл - это предел, к которому одни отношения приближаются бесконечно близко, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений.^[9] (К.Ф. Гаусс [в письме Шумахеру от 12 июля 1831 г.])

Резкое изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 веке.

Бернар Больцано кто ввел понятие набор (на немецком: Менге) и Георг Кантор, который представил теория множеств выступил против общего отношения. Кантор выделил три области бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он назвал «absolutum»), (2) бесконечность реальности (которую он назвал «природой») и (3) трансфинитные числа и множества математики. .

Множество, превышающее любое конечное множество, то есть множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является только его частью, я назову бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])

Фокусов вдвое больше, чем центров эллипсов. (Б. Больцано [2а, § 93])

Соответственно, я различаю вечную нетварную бесконечность или absolutum, которая обусловлена ​​Богом и его атрибутами, и сотворенную бесконечность или transfinitum, которая должна использоваться везде, где в сотворенной природе должна быть замечена актуальная бесконечность, например, в отношении: по моему твердому убеждению, фактически бесконечное количество сотворенных индивидуумов как во Вселенной, так и на нашей Земле и, наиболее вероятно, даже в каждом сколь угодно маленьком протяженном клочке пространства. (Георг Кантор)^[10] (Г. Кантор [8, с. 252])

Одно доказательство основано на представлении о Боге. Во-первых, исходя из высочайшего совершенства Бога, мы делаем вывод о возможности создания трансфинитного, затем, исходя из Его милосердия и великолепия, мы делаем вывод о необходимости того, что создание трансфинитного действительно произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])

Числа - свободное творение человеческого разума. (Р. Дедекинд [3а, с. III])

Оппозиция школы интуиционизма

Математическое значение термина «актуальный» в актуальная бесконечность является синонимом определенный, завершенный, расширенный или же экзистенциальный,^[11] но не ошибиться физически существующий. Вопрос в том, естественный или же действительные числа образуют определенные множества, поэтому не зависит от вопроса о том, существуют ли бесконечные вещи физически в природа.

Сторонники интуиционизм, из Кронекер и далее отвергайте утверждение, что на самом деле существует бесконечное количество математических объектов или множеств. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, чтобы не допустить существования актуальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ принимает существование завершенной бесконечности целых чисел.

Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциал; термины, синонимичные этому понятию, становление или же конструктивный.^[11] Например, Стивен Клини описывает понятие Машина Тьюринга лента как «линейная« лента », (потенциально) бесконечная в обоих направлениях».^[12] Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает читать голову вдоль нее за конечное число шагов: лента поэтому только «потенциально» бесконечна, поскольку, хотя всегда есть возможность сделать еще один шаг, сама бесконечность никогда не достигается.^[13]

Математики обычно принимают действительные бесконечности.^[14] Георг Кантор является наиболее значительным математиком, защищавшим актуальные бесконечности, приравнивая Абсолютная бесконечность с Богом. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (которая утверждает, что актуальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то он не участвует ни в каких противоречие.

Философская проблема актуальной бесконечности состоит в том, является ли понятие последовательным и эпистемически правильным.

Классическая теория множеств

Классическая теория множеств принимает понятие актуальных, завершенных бесконечностей. Однако некоторые финишер философы математики и конструктивисты возражают против этого понятия.

Если положительное число п становится бесконечно большим, выражение 1 /п идет в ноль (или становится бесконечно малым). В этом смысле говорят о несобственном или потенциально бесконечном. В резком и ясном контрасте только что рассмотренное множество представляет собой легко законченное, замкнутое бесконечное множество, зафиксированное в себе, содержащее бесконечно много точно определенных элементов (натуральных чисел) ни больше ни меньше. (А. Френкель [4, с. 6])

Таким образом, покорение актуальной бесконечности можно рассматривать как расширение нашего научного горизонта не менее революционным, чем Система Коперника или чем теория относительности, или даже квантовая и ядерная физика. (А. Френкель [4, с. 245])

Взглянуть на вселенную всех множеств не как на фиксированную сущность, а как на сущность, способную «расти», т.е. мы можем «производить» все большие и большие множества. (А. Френкель и др. [5, с. 118])

(Брауэр ) утверждает, что настоящий континуум, который нельзя перечислить, может быть получен как среда свободного развития; другими словами, помимо точек, которые существуют (готовы) в силу их определения законами, такими как е, пи и т. д., другие точки континуума не готовы, а развиваются как так называемые последовательность выбора. (А. Френкель и др. [5, с. 255])

Интуиционисты отвергают само понятие произвольной последовательности целых чисел как обозначение чего-то законченного и определенного как незаконного. Такая последовательность считается только растущим объектом, а не законченным. (А. Френкель и др. [5, с. 236])

До этого никто не предполагал, что бесконечности могут иметь разные размеры, и, более того, математикам не нужна была «актуальная бесконечность». Аргументы, использующие бесконечность, включая дифференциал Исчисление из Ньютон и Лейбниц, не требуют использования бесконечных множеств. (Т. Джеч [1] )

Благодаря гигантским одновременным усилиям Фреге, Дедекинд и Кантор, Бесконечность восседала на троне и упивалась своим полным триумфом. В своем смелом полете бесконечность достигла головокружительных высот успеха. (Д. Гильберт [6, с. 169])

Одна из наиболее энергичных и плодотворных областей математики, [...] рай, созданный Кантором, из которого никто никогда не изгонит нас [...] самый замечательный цветок математического разума и, в целом, одно из выдающихся достижений чисто человеческого разума. интеллектуальная деятельность. (Д. Гильберт по теории множеств [6])

Наконец, давайте вернемся к нашей исходной теме и сделаем вывод из всех наших размышлений о бесконечности. Общий результат таков: бесконечное нигде не реализуется. Он не присутствует ни в природе, ни в качестве основы нашего рационального мышления - замечательной гармонии между бытием и мышлением. (Д. Гильберт [6, 190])

Бесконечные тотальности не существуют ни в каком смысле этого слова (то есть ни в действительности, ни в идеале). Точнее, любое упоминание или предполагаемое упоминание бесконечных тотальностей буквально бессмысленно. (А. Робинсон [10, с. 507])

В самом деле, я думаю, что существует реальная потребность в формализме и в других сферах, чтобы связать наше понимание математики с нашим пониманием физического мира. (А. Робинсон)

Грандиозный мета-рассказ Георга Кантора «Теория множеств», созданный им почти в одиночку в течение примерно пятнадцати лет, больше напоминает произведение высокого искусства, чем научную теорию. (Ю. Манин [2] )

Таким образом, изысканный минимализм выразительных средств используется Кантором для достижения возвышенной цели: постижения бесконечности, а точнее бесконечности бесконечностей. (Ю. Манин [3] )

Не существует актуальной бесконечности, которую канторианцы забыли и попали в ловушку противоречий. (Х. Пуанкаре [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. моральное состояние 14 (1906) стр. 316])

Когда предметом обсуждения являются лингвистические [...] сущности, то этот набор сущностей может изменяться в результате обсуждения о них. Следствием этого является то, что «натуральные числа» сегодня не то же самое, что «натуральные числа» вчерашнего дня. (Д. Айлз [4] )

Есть по крайней мере два разных взгляда на числа: как на завершенную бесконечность и как на неполную бесконечность ... рассмотрение чисел как неполной бесконечности предлагает жизнеспособную и интересную альтернативу рассмотрению чисел как завершенную бесконечность, которая приводит к к большим упрощениям в некоторых областях математики, и это тесно связано с проблемами вычислительной сложности. (Э. Нельсон [5] )

В эпоху Возрождения, особенно с Бруно, актуальная бесконечность переходит от Бога к миру. Модели конечного мира современной науки ясно показывают, как эта сила идеи актуальной бесконечности прекратилась в классической (современной) физике. В этом аспекте включение актуальной бесконечности в математику, которое явно началось с Г. Кантора только в конце прошлого века, кажется неприятным. В интеллектуальной общей картине нашего века ... актуальная бесконечность производит впечатление анахронизма. (П. Лоренцен[6] )

Смотрите также

• Предел (математика)
• Мощность континуума

Рекомендации

1. "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-12.
2. Шехтер, Эрик (5 декабря 2009 г.). «Возможная и завершенная бесконечность». math.vanderbilt.edu. Получено 2019-11-12.
3. Фенвес, Питер Дэвид (2001). Арестованный язык: от Лейбница до Бенджамина. Издательство Стэнфордского университета. п. 331. ISBN  9780804739603.
4. Томас, Кеннет У .; Фома, Фома, Аквинский (01.06.2003). Комментарий к физике Аристотеля. A&C Black. п. 163. ISBN  9781843715450.
5. Падован, Ричард (11 сентября 2002). Пропорции: наука, философия, архитектура. Тейлор и Фрэнсис. п. 123. ISBN  9781135811112.
6. Томас, Кеннет У .; Фома, Фома, Аквинский (01.06.2003). Комментарий к физике Аристотеля. A&C Black. ISBN  9781843715450.
7. "Виртуальная библиотека логотипов: Аристотель: Физика, III, 7". logoslibrary.org. Получено 2017-11-14.
8. Кантор, Георг (1966). Цермело, Эрнст (ред.). Gesammelte abhandlungen: математические и философские идеи. Георг Ольмс Верлаг. п. 174.
9. Стивен Клини 1952 (издание 1971 г.): 48 относит первое предложение этой цитаты к (Werke VIII, стр. 216).
10. Кантор, Георг (1966). Цермело, Эрнст (ред.). Gesammelte abhandlungen: математические и философские вдохновения. Георг Ольмс Верлаг. п. 399.
11. Клини 1952/1971: 48.
12. Клини 1952/1971: 48 стр. 357; также «машина ... снабжена лентой с (потенциально) бесконечной печатью ...» (стр. 363).
13. Или «лента» может быть закреплена, а считывающая «головка» может двигаться. Роджер Пенроуз предлагает это, потому что: «Со своей стороны, я чувствую себя немного неудобно из-за того, что наше конечное устройство перемещает потенциально бесконечную ленту назад и вперед. Независимо от того, насколько легок его материал, бесконечный ленту может быть трудно сдвинуть! »На рисунке Пенроуза изображена закрепленная головка ленты с надписью« TM », читающая вялую ленту из коробок, простирающихся до визуально исчезающей точки (см. страницу 36 в Roger Penrose, 1989, стр. Новый разум императора, Oxford University Press, Oxford UK, ISBN  0-19-851973-7). Другие авторы решают эту проблему, наклеивая больше ленты, когда машина вот-вот закончится.
14. Фактическая бесконечность следует, например, из принятия концепции целых чисел как множества, см. JJ O'Connor and EF Robertson, [ "Бесконечность".

Источники

• "Бесконечность" в архиве истории математики MacTutor, рассматривая историю понятия бесконечности, включая проблему актуальной бесконечности.
• Аристотель, Физика [7]
• Бернар Больцано, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Реклам, Лейпциг.
• Бернар Больцано 1837, Wissenschaftslehre, Зульцбах.
• Георг Кантор в Э. Цермело (ред.) 1966, Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts, Ольмс, Хильдесхайм.
• Ричард Дедекинд в 1960 г. Was sind und was sollen die Zahlen?, Vieweg, Брауншвейг.
• Адольф Авраам Френкель 1923, Einleitung in die Mengenlehre, Спрингер, Берлин.
• Адольф Абрахам Френкель, Ю. Бар-Гиллель, А. Леви 1984, Основы теории множеств, 2-е изд., Северная Голландия, Амстердам, Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини 1952 г. (издание 1971 г., 10-е издание), Введение в метаматематику, Издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк. ISBN  0-444-10088-1.
• Х. Мешковский 1981, Георг Кантор: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
• Х. Мешковски, В. Нильсон (Hrsg.) 1991, Георг Кантор - Брифе, Спрингер, Берлин.
• Авраам Робинсон 1979, Избранные статьи, Vol. 2, W.A.J. Люксембург, С. Кернер (Hrsg.), Северная Голландия, Амстердам.