Трансфинитное число - Transfinite number

В математика, трансфинитные числа числа, которые "бесконечный "в том смысле, что они больше всех конечный числа, но не обязательно абсолютно бесконечный. К ним относятся трансфинитные кардиналы, которые Количественные числительные используется для количественной оценки размера бесконечных множеств, а трансфинитные ординалы, которые порядковые номера используется для упорядочивания бесконечных множеств.^[1][2][3] Период, термин трансфинитный был придуман Георг Кантор в 1915 г.,^[4] кто хотел избежать некоторых значений слова бесконечный в связи с этими объектами, которые, тем не менее, не конечный. Мало кто из современных писателей разделяет эти сомнения; теперь принято использовать для обозначения трансфинита кардиналы и порядковые как «бесконечный». Тем не менее, термин «трансфинит» также остается в употреблении.

Определение

Любое конечное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и кардинальное. Кардинальные числа определяют размер наборов (например, мешок из пяти шариков), тогда как порядковые числа указывают порядок членов в упорядоченном наборе.^[5] (например, "третий мужчина слева" или "двадцать седьмой день января "). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия становятся различными. Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества,^[3] в то время как трансфинитный порядковый номер используется для описания местоположения в бесконечно большом упорядоченном множестве.^[5] Наиболее заметными порядковыми и количественными числами являются, соответственно:

• ${\displaystyle \omega }$ (Омега ): наименьший трансфинитный порядковый номер. Это также тип заказа из натуральные числа в их обычном линейном порядке.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (Алеф-ноль ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также мощность из бесконечный набор натуральных чисел. Если аксиома выбора держится, следующее по величине кардинальное число алеф-он, ${\displaystyle \aleph _{1}.}$ Если нет, то могут быть и другие кардиналы, несравнимые с алеф-уном и более крупные, чем алеф-ноль. В любом случае, между aleph-naught и aleph-one нет кардиналов.

В гипотеза континуума утверждение, что нет промежуточных кардинальных чисел между ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и мощность континуума (мощность множества действительные числа ):^[3] или что то же самое ${\displaystyle \aleph _{1}}$ - мощность множества действительных чисел. В Теория множеств Цермело – Френкеля, ни гипотеза континуума, ни ее отрицание не могут быть доказаны без нарушения согласованности.

Некоторые авторы, в том числе П. Суппес и Дж. Рубин, используют термин трансфинитный кардинал ссылаться на мощность Дедекинд-бесконечное множество в контекстах, где это не может быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или не известно, чтобы иметь место. Учитывая это определение, все следующие эквиваленты:

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ трансфинитный кардинал. То есть есть бесконечное множество дедекиндов ${\displaystyle A}$ такая, что мощность ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• Есть кардинал ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ такой, что ${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

Примеры

В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемника.^[6] Следующее целое число после всех обычных, то есть первое бесконечное целое число, называется ${\displaystyle \omega }$. В контексте, ${\displaystyle \omega +1}$ больше чем ${\displaystyle \omega }$, и ${\displaystyle 2\omega }$, ${\displaystyle \omega ^{2}}$ и ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ еще больше. Арифметические выражения, содержащие ${\displaystyle \omega }$ указать порядковый номер, и его можно рассматривать как набор всех целых чисел до этого числа. У данного числа обычно есть несколько выражений, которые его представляют, однако есть уникальное Нормальная форма Кантора что представляет это^[6], по сути, конечная последовательность цифр, которые дают коэффициенты при убывающих степенях ${\displaystyle \omega }$.

Однако не все бесконечные целые числа могут быть представлены нормальной формой Кантора, и первое, что не может быть задано пределом ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$ и называется ${\displaystyle \epsilon _{0}}$.^[6] ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ наименьшее решение ${\displaystyle \omega ^{\epsilon }=\epsilon }$, и следующие решения ${\displaystyle \epsilon _{1},...,\epsilon _{\omega },...,\epsilon _{\epsilon _{0}},...}$ давать более крупные порядковые номера, и можно следовать, пока не будет достигнут предел ${\displaystyle \epsilon _{\epsilon _{\epsilon _{...}}}}$, что является первым решением ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=\alpha }$. Это означает, что для того, чтобы иметь возможность определять все трансфинитные целые числа, нужно придумать бесконечную последовательность имен: потому что, если бы нужно было указать единственное наибольшее целое число, тогда всегда можно было бы упомянуть его более крупного преемника. Но, как отмечает Кантор,^[6] даже это позволяет достичь низшего класса трансфинитных чисел: тех, чей размер наборов соответствует количественному числу ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Смотрите также

• Абсолютно бесконечно
• Актуальная бесконечность
• Число Алеф
• Число Бет
• количественное числительное
• Числа Эпсилона (математика)
• Бесконечность плюс один
• Бесконечно малый
• Порядковый номер
• Бесконечная логика

Рекомендации

1. "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-04.
2. "Определение трансфинитного числа | Dictionary.com". www.dictionary.com. Получено 2019-12-04.
3. «Трансфинитные числа и теория множеств». www.math.utah.edu. Получено 2019-12-04.
4. "Георг Кантор | Биография, вклад, книги и факты". Энциклопедия Британника. Получено 2019-12-04.
5. Вайсштейн, Эрик В. "Порядковый номер". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-04.
6. Вольфрам, Стивен. «Трансфинитные числа». Новый вид науки в Интернете. Получено 2019-03-06.

Библиография

• Леви, Азриэль, 2002 (1978) Основная теория множеств. Dover Publications. ISBN  0-486-42079-5
• О'Коннор, Дж. Дж. И Э. Ф. Робертсон (1998) "Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор," Архив истории математики MacTutor.
• Рубин, Жан Э., 1967. "Теория множеств для математика". Сан-Франциско: Холден-Дэй. Основанный в Теория множеств Морса – Келли.
• Руди Ракер, 2005 (1982) Бесконечность и разум. Princeton Univ. Нажмите. В первую очередь исследование философского значения канторовского рая. ISBN  978-0-691-00172-2.
• Патрик Суппес, 1972 (1960) "Аксиоматическая теория множеств ". Дувр. ISBN  0-486-61630-4. Основанный в ZFC.